Compl´ements `
a l’expos´e du 12/04/2018
Sylvain Dotti
April 15, 2018
Abstract
Quelques propri´et´es des fonctions num´eriques `a variations born´ees. Exemples de fonctions num´eriques qui ne sont pas `a variations born´ees.
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Fonctions num´
eriques `
a variations born´
ees
D´efinitions :
Soit un intervalle [a, b] ⊂ R o`u −∞ < a < b < +∞, et f : [a, b] → R une fonction. • Soit une subdivision π de [a, b] : a = t0 < t1 < t2< ... < tn= b, la variation totale
de f sur π est le nombre
V (f, a, b, π) =
n−1
X
i=0
|f (ti+1) − f (ti)| .
• La variation totale de f sur [a, b] est le nombre
V (f, a, b) = sup
π: subdivisions de [a,b]
V (f, a, b, π) .
• Si V (f, a, b) < +∞, on dit que f est `a variations born´ees sur [a, b].
Exemples :
Toute fonction f : [a, b] → R lipschitzienne est `a variations born´ees. En notant C > 0 la constante de Lipschitz de f , on a
V (f, a, b) ≤ C(b − a).
Toute fonction croissante g : [a, b] → R est `a variations born´ees. Sa variation totale vaut V (g, a, b) = g(b) − g(a).
Toute fonction h ∈ C1([a, b]; R) est `a variations born´ees. Sa variation totale vaut V (h, a, b) = Z b a f0(x) dx. Propri´et´es :
Si λ ∈ R, f `a variations born´ees sur [a, b] alors λ.f est `a variations born´ees sur [a, b] et V (λ.f, a, b) = |λ|V (f, a, b) .
Si f et g sont `a variations born´ees sur [a, b] alors f + g l’est aussi et V (f + g, a, b) ≤ V (f, a, b) + V (g, a, b) .
Lemme : Soit f : [a, b] → R `a variations born´ees, • l’application x ∈ [a, b] 7→ V (f, a, x) est croissante.
• Les applications x ∈ [a, b] 7→ −f (x) + V (f, a, x)
2 et x ∈ [a, b] 7→
f (x) + V (f, a, x) 2
sont croissantes.
Th´eor`eme caract´eristique :
f : [a, b] → R est `a variations born´ees si et seulement si elle peut s’´ecrire comme la diff´erence de deux fonctions croissantes.
Preuve : f (x) = f (x) + V (f, a, x) 2 − −f (x) + V (f, a, x) 2 , ∀x ∈ [a, b].
Cons´equences non triviales :
Soit f : [a, b] → R `a variations born´ees,
• elle admet des limites `a droite et `a gauche finies en tout point de [a, b], • elle est continue sauf sur un ensemble au plus d´enombrable,
• f est d´erivable au sens classique sauf sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. • x ∈ [a, b] 7→ V (f, a, x) est d´erivable au sens classique sauf sur un ensemble de
mesure de Lebesgue nulle et
V0(f, a, x) = f0(x) pp.
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Exemples de fonctions num´
eriques qui ne sont pas `
a
vari-ations born´
ees
Exemple 1 :
Soit la fonction f : [0, 1] → R d´efinie par
f (x) = x sin x1
si x > 0 f (0) = 0,
Elle est continue, mais pas `a variations born´ees sur [0, 1]. En effet, soit n ∈ N∗ Z 1 1 n f 0 (x) dx = Z 1 1 n sin 1 x − 1 xcos 1 x dx ≥ Z 1 1 n sin 1 x − 1 xcos 1 x dx ≥ Z 1 1 n 1 xcos 1 x dx − 1 = Z n 1 1 y cos (y) dy − 1 Or V (f, 0, 1) ≥ V f,n1, 1 , ∀n ∈ N∗, ainsi V (f, 0, 1) = +∞. Exemple 2 :
La fonction indicatrice 1Q des rationnels n’est `a variation born´ee sur aucun intervalle compact [a, b] avec a < b.
Pour le voir, il suffit de construire une suite πn : a = t0 < t1 < ... < tkn = b de
subdivisions de [a, b] telle que πn+1 soit un raffinement de πn auquel on a rajout´e deux
points (un rationnel, un irrationnel) dans chaque ]ti, ti+1[, de sorte que chaque πn ait
ses points qui soient alternativement rationnels et irrationnels (sauf peut-ˆetre les deux premiers ou les deux derniers). Ainsi
V (1Q, a, b) ≥ V (1Q, a, b, πn) = card(πn) − 1, ∀n ∈ N∗.
