Procédure avec GéoGébra

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Procédure avec GéoGébra

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pour réaliser la modélisation d’un nuage de points par une fonction linéaire

Une série de mesures peut permettre d’étudier la relation entre deux grandeurs physiques :

Exemple de série de mesure pour étudier la relation entre la masse et le poids

m (kg) 0,1 0,25 0,4 … P (N) 0,98 2,47 3,88 …

On peut alors réaliser une représentation graphique de cette série de mesures dans un repère en plaçant une des grandeurs en abscisse et l’autre en ordonnée. On obtient ce que l’on appelle un nuage de points :

On peut ensuite rechercher quelle fonction mathématique peut correspondre au nuage de points. En classe de seconde, on connaît certaines fonctions appelées fonctions de référence : fonction linéaire (droite passant par l’origine), fonction affine (droite), fonction carré, etc…

En physique, on dira que la fonction modélise le nuage de points.

La méthode présentée ci-dessous illustre le cas simple où les grandeurs physiques sont proportionnelles, c’est à dire où la fonction qui modélise le nuage de points est une fonction linéaire (loi d’Ohm, par exemple).

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

P (N)

m (kg)

(2)

I. Méthode

 On cherche la droite d’équation 𝑦 = 𝑎 𝑥 dont le nuage de points s’écarte le moins possible.

 Il reste à trouver le coefficient directeur 𝑎 de la droite.

 Pour chaque abscisse expérimentale 𝑥

_𝑒𝑥𝑝

, il existe un écart entre le point expérimental d’ordonnée 𝑦

_𝑒𝑥𝑝

et le point sur la droite d’ordonnée𝑦 = 𝑎 𝑥

_𝑒𝑥𝑝

.

Cet écart, noté 𝑒, se calcule ainsi : 𝑒 = 𝑦

_𝑒𝑥𝑝

− 𝑦.

La « meilleure » droite modélisant le nuage de points est celle dont la moyenne des carrés des écarts est la plus petite.

 Les étapes de la procédure sont les suivantes :

 Construire le nuage de points ;

 Créer le coefficient directeur 𝑎 de la droite ;

 Tracer la droite d’équation 𝑦 = 𝑎 𝑥 ;

 Pour chaque abscisse expérimentale, calculer le carré de l’écart : 𝑦

_𝑒𝑥𝑝

− 𝑦

²

où 𝑦 = 𝑎 𝑥

_𝑒𝑥𝑝

;

 Calculer la moyenne 𝑚 des carrés des écarts ;

 Modifier la valeur de 𝑎 pas à pas de manière à trouver la valeur qui minimise la

moyenne 𝑚.

(3)

II. Réalisation

 Entrer les valeurs des grandeurs expérimentales dans le tableur de GéoGébra

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puis les sélectionner. Cliquer droit sur la sélection et créer une liste de points.

 Créer le curseur 𝑎 (coefficient directeur de la droite) en ajustant l’incrément (le pas) à la précision souhaitée (plus l’incrément sera petit, plus la précision sera importante).

 Tracer la droite d’équation 𝑦 = 𝑎 𝑥 en

écrivant dans la ligne de saisie : y = a*x.

(4)

 Dans le tableur, sur une nouvelle colonne, dans la première ligne de valeurs, calculer le carré de l’écart en écrivant = (B2- a*A2)^2 si la case B2 contient la première valeur d’ordonnée et si la case A2 contient la première valeur d’abscisse (adapter si nécessaire).

 Pour calculer les écarts suivants : prendre et tirer le coin en bas à droite de la cellule jusqu’à la dernière ligne du tableau.

 Créer une liste avec la colonne des carrés des écarts.

 Calculer la moyenne 𝑚 des carrés des écarts en écrivant dans la ligne de saisie : m = moyenne[ liste2 ]

 Faire varier le coefficient directeur 𝑎 à l’aide du curseur pour trouver la valeur qui minimise la moyenne 𝑚. Il ne reste alors qu’à lire la valeur de 𝑎.

Procédure avec GéoGébra

Procédure avec GéoGébra

pour réaliser la modélisation d’un nuage de points par une fonction linéaire

Une série de mesures peut permettre d’étudier la relation entre deux grandeurs physiques :

Exemple de série de mesure pour étudier la relation entre la masse et le poids

m (kg) 0,1 0,25 0,4 … P (N) 0,98 2,47 3,88 …

On peut alors réaliser une représentation graphique de cette série de mesures dans un repère en plaçant une des grandeurs en abscisse et l’autre en ordonnée. On obtient ce que l’on appelle un nuage de points :

On peut ensuite rechercher quelle fonction mathématique peut correspondre au nuage de points. En classe de seconde, on connaît certaines fonctions appelées fonctions de référence : fonction linéaire (droite passant par l’origine), fonction affine (droite), fonction carré, etc…

En physique, on dira que la fonction modélise le nuage de points.

La méthode présentée ci-dessous illustre le cas simple où les grandeurs physiques sont proportionnelles, c’est à dire où la fonction qui modélise le nuage de points est une fonction linéaire (loi d’Ohm, par exemple).

I. Méthode

 On cherche la droite d’équation 𝑦 = 𝑎 𝑥 dont le nuage de points s’écarte le moins possible.

 Il reste à trouver le coefficient directeur 𝑎 de la droite.

 Pour chaque abscisse expérimentale 𝑥

, il existe un écart entre le point expérimental d’ordonnée 𝑦

et le point sur la droite d’ordonnée𝑦 = 𝑎 𝑥

.

Cet écart, noté 𝑒, se calcule ainsi : 𝑒 = 𝑦

− 𝑦.

La « meilleure » droite modélisant le nuage de points est celle dont la moyenne des carrés des écarts est la plus petite.

 Les étapes de la procédure sont les suivantes :

 Construire le nuage de points ;

 Créer le coefficient directeur 𝑎 de la droite ;

 Tracer la droite d’équation 𝑦 = 𝑎 𝑥 ;

 Pour chaque abscisse expérimentale, calculer le carré de l’écart : 𝑦

− 𝑦

où 𝑦 = 𝑎 𝑥

;

 Calculer la moyenne 𝑚 des carrés des écarts ;

 Modifier la valeur de 𝑎 pas à pas de manière à trouver la valeur qui minimise la

moyenne 𝑚.

II. Réalisation

 Entrer les valeurs des grandeurs expérimentales dans le tableur de GéoGébra

puis les sélectionner. Cliquer droit sur la sélection et créer une liste de points.

 Créer le curseur 𝑎 (coefficient directeur de la droite) en ajustant l’incrément (le pas) à la précision souhaitée (plus l’incrément sera petit, plus la précision sera importante).

 Tracer la droite d’équation 𝑦 = 𝑎 𝑥 en

écrivant dans la ligne de saisie : y = a*x.

 Dans le tableur, sur une nouvelle colonne, dans la première ligne de valeurs, calculer le carré de l’écart en écrivant = (B2- a*A2)^2 si la case B2 contient la première valeur d’ordonnée et si la case A2 contient la première valeur d’abscisse (adapter si nécessaire).

 Pour calculer les écarts suivants : prendre et tirer le coin en bas à droite de la cellule jusqu’à la dernière ligne du tableau.

 Créer une liste avec la colonne des carrés des écarts.

 Calculer la moyenne 𝑚 des carrés des écarts en écrivant dans la ligne de saisie : m = moyenne[ liste2 ]

 Faire varier le coefficient directeur 𝑎 à l’aide du curseur pour trouver la valeur qui minimise la moyenne 𝑚. Il ne reste alors qu’à lire la valeur de 𝑎.

La régression linéaire donne ici 𝑈 = 2,2 𝑖 (résistance R = 2,2 kΩ puisqu’ici i est en mA).