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VOIE TECHNOLOGIQUE

EXERCICE 1 :

1) Limites

 

   

0

0 0

lim lim

lim 0

x

x x

f x g x

x













   

  



  

2

x g x x x

x x

 

        

  

lim2 0 lim 2 ln 1 1 lim

ln 2

lim 0

x

x x

x

x x g x

x x x

x



 



         

2) Dérivée

La fonctiongest dérivable sur













 

x g x 2

     x  , comme somme de termes strictement négatifs

3)

 

 

 

       

continue puisque dérivable sur 0,

strictement décroissante sur 0, l'équation 0 a une seule solution dans 0,

0, , qui contient 0

g

g g x

g



   

    

Cette solution est notée 4)

 

 

1 1 0

3 0 1

2 g

g e ^{ }e ^     e

   

De plus f

 

 

La fonctionfest dérivable sur













 

x f x 2

x

    

La fonctionfest donc strictement décroissante sur





6) P n

 

Initialisation : u0 1 1,2

 

 

 

On a alors 1

 

   

n 2 n

u e f e f u f

       car fest décroissante sur





On obtient 1u_n1edonc P n





7)





 

x f x 2

x

    

Alors





 

x f x 2

    x

Si 1 x ealors 1 1 1 1

e x  (puisque la fonction inverse est décroissante sur









 

2 2

x f x

    x

 

         

La fonction est d rivable sur 1,1, , ' 1 pour tous réels et de 1, , 12 2

f é e

a b e f b f a b a

x e f x

    

   

Prenonsa 

 

 

Il vient que ,

   

n n 2 n

n f u f  u_  u 

      

8)

 





n 2n

Q n u   e

Initialisation : u₀     1   1et ¹₀





 

Hérédité : on suppose que pour unn0, ¹





n 2n

u   e

Alors 1 1 1 1





2 2 2

n n n

u_   u    e soit 1 1

 

1 1

n 2n

u_   _ e doncQ n





Conclusion :  n , ¹





n 2n

u   e

9) 1 1 0

2 2

n

n n

     puisque 1 1 1

  2 donc lim _n

n u 

  ; la suite

 

EXERCICE2 : I. Calcul deu n

1) 1 9 0 1 0 ₂

0 9 0 1

PQ9    I

    est bien une matrice diagonale La matrice

2 2 3 3 6 0 2 0

1 3 1 3

2 2 1 0 3 1

9 1 9 0

3 3

D QAP

   

       

          

est une matrice diagonale

2) PQ I 2doncPest inversible etP^1Q

3) ^* 1 ^{1 1}

2 1 1

0 1

, 1 2 2 1

3 9 9 3

n n n

n n

n n n n

u u u

n X AX

u u u u

 



  

   

      

          

En multipliant à gauche chaque membre de l’égalitéY QX_n _npar la matricePon tire l’égalité

n n

PY PQX soit PY_nX_n

On a alors Yn1QXn1QAXnQAPYnDYn

4) Montrons par récurrence que  n ^*,Y_nD Y^n1₁

Initialisation : D Y D Y I Y Y^{1 1} ₁ ⁰ ₁ _{2 1} ₁donc la proposition est vraie pour n1 Hérédité : pour unn1, on suppose que Y_nD Y^n1₁

AlorsY_n1DY_nDD Y D Y^n1₁ ⁿ ₁, la propriété est bien héréditaire Conclusion :  n ^*,Y_nD Y^n1₁

5) 1 ¹

2

X u u

   

 , ₁

4 4

1 3 0

1 2 3 4 1 34 274

9 9

9 3 27

Y

   

     

  

               

1 1

* 1

1 1 1

2 0 4 4 2

3 27 27 3

, 0 31 274 274 31

n n

n

n n n

n Y D Y

 



 

       

         

   

          

6) On a vu que X_nPY_ndonc

1 1 1

1 1 1

4 2 4 2 4 1

3 3 27 3 9 3 9 3

2 1 4 1 8 2 4 1

27 3 27 3 27 3

n n n

n n n n

X

  

  

          

         

           

                

On a donc 4 2 ¹ 4 1 ¹ 4 2 ¹ 1 ¹

9 3 9 3 9 3 3

n n n n

un

      

       

           

        

II Probabilités 1)

a) On effectue népreuves identiques et indépendantes.

A chaque épreuve deux issues : succès: on obtient pile avec la probabilité2 3 échec





La variable aléatoireXcompte les succès donc ,2 X B n 3

  

 

 

3 3

k n k

k X n P X k n k

    

              

b)

 

 

3 9

E X n V X n 2)

a) On effectue des épreuves identiques et indépendantes

A chaque épreuve deux issues : succès: on obtient pile avec la probabilité2 échec 3





La variable aléatoireYest le temps d’attente du premier succès donc 2 Y G 3

   

 

 

3 3

k

k Y P Y k    ^

             b)

 

 

2 3 4 4

E Y  V X    3)

 

2 ( )2 1 2

v p D p F F =^{p F p F}

   

2

2 2 4

3 9

v    



 ^{ }    

3 1 2 3 1 2 3

v p F F F p F p F p F car les trois évènements sont indépendants Donc 3 1 2 2 4

3 3 3 27 v    

Alors1 2 2 1 1 4 0 4 3

3v 9v    3 9 27v

4) Si au premier lancer on obtient pile, pour que l’évènement Dn_2se réalise (c’est à dire pour obtenir un double pile pour la première fois au rangn 2 3) il faut obtenir face au deuxième lancer, il restera nlancers pour obtenir un double pile pour la première fois.

       

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

2, F n _F n _{F F F} n

n p D p F D p F p _ D

    

1( )2 ( )2 1

3 p FF p F  et

1 2( _n2) ( )_{n n}

pF F D p D v et 2, ₁





n 3 n

n p DF _ v

  

5) Si au premier lancer on obtient face, pour que l’évènement D_n₂se réalise (c’est à dire pour obtenir un double pile pour la première fois au rangn 2 3) il restera





lancers pour obtenir un double pile pour la première fois Donc  n 2,p DF₁









6) F¹ et F¹forment un système complet d’événements, la formule des probabilités donne :

      ^{  }

^  

^{ }

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2, _{n n n n F n F n}

n v p D p F D p F D p F p D p F p D

        

Ce qui donne : 2, ₂ 2 1 ₁ 1 2 ₁ 1

3 3 3 9 3

n n n n n

n v v v v v

      

7)

La suite v vérifie 1 0, 2 4

v  v 9 et ^*, 2 2 1 1

9 3

n n n

n v v v

   

La partie I permet d’écrire :

 

9 3 3

n n

n n

v P D

 

    

      

   

 

 

8) pourn2, EnD2 ... Dn union d’événements deux à deux incompatibles On en déduit que pourn2,

  ^{ }

2 n

n k

k

p E p D







^{ }  

2

1 1 ⁿ

n n k

k

p E p E v



   



9)

 

2 1

4 2 1 4 2 1

1 1 .

9 3 3 9 3 3

k k k k

n n

n k k

p E

   

 

         

 





En posanti k 1,

 

0 0 0

4 2 1 4 2 1

1 1

9 3 3 9 3 3

i i i i

n n n

n i i i

p E ^{  }

  

        

 







Finalement

 

2 1

1 1

4 3 3

1 9 1 23 1 31

n n

p En

     

      

 

  

     

  

 

Comme 1 2 1

  3 et 1 1 1 3

   , lim 2 0 3

n

n     etlim 1 0 3

n n

  

 

 

 

lim 1 9 1 4 1 9 3 4 1 3 3 1 1 0

3 3

n_p En

 

     

 

               

   

   

 

EXERCICE 3 :

1)  x













On a

 





^{     }

0, , '( ) ( ) 0, , '

1

x x

x f x e h x x h x f x

e

           







x e^

     , donc la fonctiongest dérivable sur





On a













^

^{  }

x x

x x x x

e e

x g x x g x f x

e e e e

 

 

          



 

2)  A







 

 

 

 

 





A

   ,



 

 

   

3)  A





 

 

On a u x'

 

 

 





















   

           

0^Ah x dx  x f x ^A 0^A f x dx A f A  0^Af x dx A f A g A g  0

  

4)

 

 

   

0

0 0 2

lim 0

0 0 non continue en 0

2 1

lim lim

1 2

x

x x

x x

h x

h h

h x e

e



 



 

 

  



  

 

 5)

a) La fonctionhest continue sur









comme quotient de fonctions continues sur









b)   x



  



  

c) ^h x dx

 

 

 

 





 

1 ^{x x}

x f x

e ^

    

 , puisque lim ^x

x e

  

Donc ₀^A

 

 

  



L’intégrale ^h x dx

 



Conclusion : la fonctionh est une densité de probabilité

6)

   

   

0 si 0

, si 0 1 1 2 1

1 1

x x x

x x

x

x H x h t dt x h t dt f x e

e e



 

  





7)



 

  



  

 

P  Z H H   

 

   

 

ln 2

ln 2 ln8 4 3 2

ln8 ln 2 9 2 3

Z

P Z

P Z

 P Z

      

 8)



  

x H x 2

    





 

1 2

x x x

x

x H x e e e

e

         

 , puisque  x





Nous avons donc

 

2

H x  ex  x

La médiane de la variable aléatoire Z est donc ln3 9) Sous réserve de convergenceE Z

 



 



 

Or  A







 

     





A

   ,

 

1

1 ^{A A A}

A f A A

e e

A A

  

 

En effet lim¹ 0 et lim ^x





x x

e

x x

    

Comme lim_x e^x 0

  , nous avons _Alimg A

 

   

Conclusion ₀^Axh x dx

 

 

  



La variable aléatoire Z admet donc une espéranceE Z

 

 

 

    

            

           

               



     

             

           



           

           

           

 

            

 

          

    

               

     

 

 

        

        

            

           

  

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