PRO 0

(1)

Exercices résolus de mathématiques.

PRO 0

EXPRO000 – EXPRO009

http://www.matheux.be.tf

Jacques Collot

1 avril 03

(2)

EXPRO001 – Liège, septembre 2000.

A) Démontrer les formules

    

0

1 1

1 1 2 1

et ²

2 6

n n

k k

n n n n n

k k n N

 

  

  

 

On pourra éventuellement utiliser la méthode par récurrence.

B) Déduire de A) la valeur de la somme :

m n  m n  n m  m n N m n

mn 1 1  2 2 ...1.  1 ,  ₀  C) calculer pour m = 7 et n = 10.

 

         

 

  

1

) 1

2

Soit 1 2 3 4 ... 1

1 ... 2 1

2 1 1 1 ... 1 1

1 1 2

1 2 1

² 6

Par récurrence :

On vérifie pour 1 ² 1 2

n

k n

k

n

k

n

k

n

k

A k n n

k n n

k n n n n n

n n k n n

n n n

k

n k



 

       

     

          

 

  

 



  



 

3 1 6

On suppose la formule vraie pour n 1 .

 



(3)

   

  

1

1 1

1

Démontrons qu'elle est vraie pour

1 2 1

² ² ² ²

6

2 ³ 2 ² ² 6 ² 2 ³ 3 ²

6 6

1 2 1

² 6

n n

k k

n

k

n n n n

k k n n

n n n n n n n n

n n n

k



 



 

    

     

 

 

 

 



       

     

        

 

       

     

 

2

1 1

) 1 1 2 2 ...1. 1

1 2 2 4 3 3 9 ...

1 2 3 ... 1 1 4 9 ... 1

² ²

1 1 2 1

² 2 6

6 3 1 1 2 1

6

6 1 (3

6

m m

k k

B mn m n m n n m

mn mn m n mn m n mn m n

m mn m n m m

m n m n k k

m m m m m

m n m n

m mn m n m m m

m mn m n

 

 

        

             

            

   

  

   

        

   

 

 

  

1

) Vérifions pour 7 et 10

1) 7 10 6 9 5 8 4 7 3 6 2 5 1 4

70 54 40 28 18 10 4 224

2) Formule

6 1 (3 1

6

7 6 7 10 7 1 (3 10 7 1

6 224

m

C m n

m mn m n m

  

 

 

            

      



     

 

         



(4)

METHODE ALTERNATIVE

Voici une méthode alternative. Proposons-nous de trouver les formules donnant les sommes suivantes

n n n

2 3 4

0

1 1 1

, ,

k k k n

  

 

     

 

           

2

3 2

3 2 3 2

3

n 2

1

1) Démontrons qu'il esiste un unique polynôme de degré 3 tel

1 et que 1 0

Soit ce polynôme .

Comme 1 0 0

De plus ,

1 1 1 1

P x

x P x P x x P

P x ax bx cx d

P a b c d

P x P x a x b x c x d ax bx cx d

ax

k

     

   

     

            





 

2 2

3 2

2 2

2

3 3

2

3 3 2

Qui doit être égale à . Or deux polynômes sont identiques si les coefficients des mêmes puissances sont égales. On identifie les coefficient

ax ax a bx bx b cx c d ax bx cx d

ax a b x a b c x

  

 



   

     

 

  ³ ²  ²  ^ ^ ^

s et on obtient

3 1

1 1 1

3 2 0 , , 0

3 2 6

0

La solution de ce système étant unique le polynôme est unique

1 1 1

2 3 1 1 2 1

3 2 6 6 6

a

a b a b c d

a b c

P x

x x

P x x x x x x x x

 

         

 

    



         

(5)

   

     

   

 

2 2

2

2 2

2) Calculons maintenant la somme des carrés, en appliquant 1

1 2 1

2 3 2

...

1 1

1

En additionnant membre à membre, on obtient, compte tenu que 1 0 1

P x P x x

P P

n P n P n

P

  

 

   

  



   

  

2 2 2 2 2

1

2 1

2 ... 1 1

Il suffit maintenant de développer le polynôme

1 2 1

6

n

n n k P n

n n n

k

      

 





       

             

3 4 3 2

4 3 2 4 3 2

4 3 2

3

n 3

1

1) On applique la même méthode, mais cette fois on cherche un polynôme de dégré 4

1 avec et 1 0

1 1 1 1 1

4 6 4

P x P x x P x ax bx cx dx e P

P x P x a x b x c x d x e ax bx cx dx e

ax ax ax ax a bx

k

        

               

    

 



   

2 2

3 3 2

3 2

2 2

4 3 2

3 3

2

4 6 3 4 3 2 0

4 1

6 3 0 1 1 1

Ce qui donne le système : , , , 0 0

4 3 2 0 4 2 4

0

1 1 1

4 2 4 4 1

bx x b cx cx c dx d e ax bx cx dx e

ax a b x a a c x a b c d

a a b

a b c d e

a a c

a b c d

P x x x x x x

 

  

 



    

          

 

  

        

    

    



     

(6)

   

     

   

 

3 3

3

3 3

3

2) Calculons maintenant la somme des cubes, en appliquant 1

1 2 1

2 3 2

...

1 1

1

En additionnant membre à membre, on obtient, compte tenu que 1 0 1

P x P x x

P P

n P n P n

P

  

 

   

  



   

 

   

3 3 3 3

1

2 2 2

2 3

1 1

2 ... 1 1

Il suffit maintenant de remplacer par 1 dans

1 1

4 2

n

n n

n n k P n

x n P x

n n n n

k k

      



     

    

 



 

     

 

4

5 4 3 2

n 4

1

1) On cherche maintenant un polynôme du 5ème degré

1 avec 1 0

En partant de , on arrive au système

5 1

10 4 0

1 1

10 6 3 0 , ,

5 2

5 4 3 2 0

0

P x P x x P

P x ax bx cx dx ex f a

a b

a b c a b

a b c d

a b c d e

k

   

     

 

  

       

    

     





   ⁴ ³ ²  ^{ } ^ ^ ^ ² 

1 1

, 0, 0

3 30

6 15 10 1 1 2 1 3 3 1

30 30

Horner

c d e f

x x

P x x x x P x x x x x

      



          

(7)

   

     

   

4 4

4

4 4

2) Calculons maintenant la somme des puissance 4, en appliquant 1

1 2 1

2 3 2

...

1 1

1

En additionnant membre à membre, on obtient, compte tenu que

P x P x x

P P

n P n P n

  

 

   

  

 

   

 

   

4 4 4 4 4

1

2 4

1

1 0

1 2 ... 1 1

Il suffit maintenant de remplacer par 1 dans

1 2 1 3 3 1

30

n

P

n n k P n

x n P x

n n n n n

k



      



   





Résolu le 15 janvier 2002, Modifié le 8 octobre 06

(8)

EXPRO002 – Liège, septembre 1996.

A) Démontrer la relation

1

1 si 1

k k

n n

k C nC _^ n k

B) En déduire la valeur de la somme :

n n n

n

n C C nC

C¹ 2 ² 3 ³...

     

 

       

 

1 1

1 2 3 4

0 1 2

1 1 1

0 1 2 1

1 1 1 1

! !

) ! ! 1 ! !

1 ! !

1 ! ! 1 ! !

) 2 3 4 ...

...

Le facteur entre pare

k k

n n

k k

n n

k k

n n

n

n n n n n

n n n

n

n n n n

n n

A C k C

k n k k n k

n n

C n C

k n k k n k

k C n C

B C C C C n C

n C n C n C

n C C C C

 



  



   

  

  

   

   

 

    

   

    

  ¹

1

nthéses est une ligne du triangle de Pascal.

La somme des termes d'une ligne de rang -1 est égale à 2 2

n

n n



 

Résolu le 15 janvier 2002

(9)

EXPRO003 – Liège, juillet 1998. Bruxelles, juillet 2002.

Calculer l’expression

...

10 8

6 4 2

0  _n  _n  _n  _n  _n 

n C C C C C

C

Vérifier le résultat obtenu pour n = 9.

Suggestion calculer ( 1 + i ) ⁿ de deux façons différentes.

 

0 2 4 6 8 10

0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

0 1 2 3 4

0 2 4 6 1 3 5 7

...

Appliquons le binôme de Newton

1 1 1 1 1 1 ...

...

... ...

D'aut

n n n n n n

n n n n n

n n n n n n n n

C C C C C C

i C i C i C i C i C i

C C i C C i C

C C C C i C C C C

   

     

      

     

       

   

 

   

0 2 4 6

0 2 4 6 8

9 9 9 9 9

9 9

re part : 1 2 cis 1 2 cis

2 cos sin

... 2 cos

Vérification pour 9

9! 9! 9! 9! 9!

9! 0! 7! 2! 5! 4! 3! 6! 1!8!

1 36 126 84 9 16

2 cos 9 2 2 16

2

n n

n

n n n n

i i n

n i n

C C C C n

n

C C C C C

 

    

 

 

 

   

     





        

     

  



(10)

EXPRO004 – Liège, Juillet 1996.

Calculer l'expression

Vérifier le résultat obtenu pour n = 9. Suggestion : calculer ( 1 + i ) ⁿ de deux façons différentes.

...

11 9

7 5

3

1  _n  _n  _n  _n  _n 

n C C C C C

C

 

1 3 5 7 9 11

0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

0 1 2 3 4

0 2 4 6 1 3 5 7

...

Appliquons le binôme de Newton :

1 1 1 1 1 1 ...

...

... ...

D'a

n n n n n n

n n n n n

n n n n n n n n

C C C C C C

i C i C i C i C i C i

C C i C C i C

C C C C i C C C C

   

     

      

     

       

   

 

   

1 3 5 7

1 3 5 7 9

9

9 9

utre part : 1 2 cis 1 2 cis

4 4

2 cos sin

4 4

.... 2 sin 4 Vérifions pour 9 :

9! 9! 9! 9! 9!

8!1! 6!3! 4!5! 2!7! 0!9!

9 84 126 36 1 16

2 sin 9 2 2 16

4 2

n n

n

n n n n

i i n

n i n

C C C C n

n

C C C C C

 

    

 

 

   

 

     



        

     

  

(11)

EXPRO005 – Liège.

Démontrer par récurrence :

3 2 1

2

1 

  

^M ^M

n

n C

C

2 3

1 2

1

2 3

1

2 2 2 3 2 3

1 1 2 2 2 3

1 1

) On vérifie que la relation est vraie pour 1 car 1

) Suposons que la relation est vraie, démontrons qu' elle est vrai pour 1

M

n M

n

M M

n n M M M M

n n

C C

a M C C

b M

C C C C C C

Ra

 





     

 



  



    



 

1

: Dans le triangle de Pascal, on vérifie que : _n^p _p^p _n^p1

ppel C ^ C C _

(12)

EXPRO006 – Espace Math 66.

Résoudre :

1 2 3

2_n 2_n 2_n 387 0

C C C  n 

 

   

1 2 3

2 2 2

3

2 1

3

2 1

2

387 0

2 387

385 2 1 !

2 1 3 !3! 385

2 1 ! 2 2 ! 2310

2 1 .2 . 2 1 2310 4 1156

17

n n n

n

C C C n

n C n

C n

n n

n

n n

n

n n n n

n n



   

 



 

 

 



  



(13)

EXPRO007 – Mons, questions-types 2000-2001.

Soit une famille de cinq enfants et l’on suppose que pour chacun d’eux, la probabilité d’être un garçon ou une fille est de ½

On demande :

a) la probabilité qu’il y ait exactement deux garçons et trois filles dans la famille.

b) la probabilité qu’il y ait au moins un garçon et au moins deux filles dans la famille.

) Le nombre total de possiblités est de 25 32 Construisons le tableau :

F G

5 0 1

4 1 5

3 2 10

2 3 10

1 4 5

0 5 1

La possibilité 2G 3F correspond à 10 cas.

10 5 La probabilité est donc de :

32 16 b) La possibilité au moins 1G

p n

a

C







et au moins 2 F correspond à la somme des lignes 2, 3 et 4 du tableau : 5 10 10 25

La probabilité est donc de : 25

   

(14)

EXPRO008 – BAC France.

Un aquarium contient :

a. 6 poissons rouges, coûtant 15 F pièces b. 4 poissons jaunes, coûtant 20 F pièces

Un client achète 3 poissons qu’il sort au hasard de cet aquarium. On considère la variable aléatoire X désignant le prix total des 3 poissons.

a) Calculer la probabilité de tirer 2 poissons rouges et 1 jaune, et le prix alors payé.

b) Calculer la probabilité de payer 55 francs pour 3 poissons tirés au hasard.

c) Calculer le prix moyen E ( X )

d) Calculer l’écart-type sigma (X) du prix payé.

2 1

2 3

) La probabilité de tirer un poisson rouge est 3 5 La probabilité de tirer un poisson jaune est 2

5

C'est une distribution binomiale. La probabilité de tirer 2 R et 1 J est donc

3 2

C 0.432

5 5

a

    

   

   

1 2

1 3

0 3 3 0

0 3

3 3

) La seule combinaison permettant de payer 55 F est 1R 2J

3 2

Probabilité : C 0.288

5 5

) Calculons:

3 2 3 2

C 0.064 C 0.216

5 5 5 5

Etablissons le tableau suivant : b

c

et

R



    

   

   

         

       

       

 

         

   

0 1 2 3

3 2 1 0

0.064 0.288 0.432 0.216 le prix moyen est 51 .

60 55 50 45

3.84 15.84 21.6 9.72 ) On calcule la variance :

V x 0.065 60 51 ² 0.288 55 51 ² 0.432 50 51 ² 0.216 45 51 ² 18

i i i

i i

J

p E X p X F

X p X

d

  

        



(15)

EXPRO009 – Exemple.

On forme un comité de 4 membres choisi au hasard parmi 7 personnes dont 2 frères.

a) Calculer la probabilité que les 2 frères soient choisis b) Calculer la probabilité qu’un frère soit choisi

c) Calculer la probabilité pour qu’au moins un frère soit choisi d) Calculer la probabilité pour qu’aucun frère ne soit choisi

2 2

2 5

4 7

1 3

2 5

4 7

) Nombre de frères : 2 Autres personnes : 5 Nombre total : 7

Il faut 2 frères et 2 autres personnes : 0.286

) 0.571

) Soit on considère que c'est la somme de ) et ) : 0.286 0.57 a

p C C C

b p C C

C

c a b p

 

 

4 5

4 7

1 0.857 Soit on considére que c'est le complément de ) : 1 0.143 0.857

) 0.143

: on vérifie que

2 frères 0 286 1 frère 0 571 aucun frère 0 143 total 1 000

d p

d p C C

Note

p .

.



  

 