Première partie

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/17

X Maths 2 PC 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et David Lecomte (Université de Stanford).

L’étude de l’application déterminant est une partie importante du programme des classes préparatoires scientifiques. Le problème présenté par l’École Polytech- nique y ajoute la notion de pfaffien d’une matrice antisymétrique, dont la propriété fondamentale est d’avoir le déterminant pour carré.

• Une première partie est consacrée à des exercices d’introduction sur les matrices antisymétriques répondant à certaines propriétés, qui se termine par la présentation d’une forme particulièrement simple de matrice congruente à toute matrice antisymétrique.

• La deuxième introduit les formesn-linéaires alternées et plus particulièrement le pfaffien, ainsi que plusieurs de ses propriétés dans des cas particuliers.

• La troisième partie permet enfin de démontrer la formule principale (le carré du pfaffien est le déterminant) et de faire des approches par réduction qui permettront le moment venu de calculer réellement sa valeur.

Le problème n’est pas insurmontable, même s’il comporte des questions très tech- niques, en particulier la dernière. Il permet de manipuler des notions inhabituelles (formes n-linéaires alternées, pfaffien) et d’en établir quelques propriétés intéres- santes.

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Indications

Première partie

2 Il faut échanger des vecteurs colonnes pour simplifier le déterminant.

4.e Considérer une famille orthonormée (v1, . . . , vp, f(v1), . . . , f(vp)) de cardinal maximal et montrer qu’alorsp=m.

6.a Penser à traiter séparément les sous-espaces propres def², comme le suggère la question 5. Commef²est une homothétie sur chacun d’entre eux, des résultats similaires à ceux de la question 4 (dans laquellef²= I2m) permettent de trouver la base demandée sur chaque sous-espace propre def², et il ne reste plus qu’à reconstituer la base demandée en recollant les bases obtenues sur chaque sous- espace.

Deuxième partie

7.b La question demande d’admettre que la dimension de Altn(E) est 1. Il suffit donc d’exhiber une formen-linéaire alternée non nulle pour avoir une base.

8.b Faire une démonstration par récurrence. La propriété(A)pourω^(p+1)doit être traitée séparément suivant que l’on est dans le cas x1 = x2 ou dans le cas xi=xi+1 aveci>2.

10.b D’après la définition du pfaffien, on a

∀(x1, x2, x3, x4)∈E⁴ ωf(2)(x1, x2, x3, x4) = P(A)det^B(x1, x2, x3, x4) oùB= (e1, e2, e3, e4)est la base canonique deR⁴. Évaluer cette expression en (e1, e2, e3, e4).

10.c Utiliser la même méthode que ci-dessus en calculant (ωf)^(m)(e1, . . . , e2m) où (e1, . . . , e2m)est la base canonique deR^2m.

Troisième partie 11.b Utiliser l’égalité x

f^∗gf(y)

= f(x) gf(y)

, résultant de la définition de l’adjoint.

12 Utiliser les questions 2, 6.a, 10.c et 11.b.

15.b Procéder par récurrence. La formule recherchée est : P(A) = P(A1)P(A2)

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Première partie

1 SoitA une matrice d’ordrenimpair. D’après le cours,Aet sa transposée ont le même déterminant. Ainsi,

det A = det(^tA) = det(−A) = (−1)ⁿdet A =−det A

d’où det A = 0

2 SoitDune matrice diagonale d’ordremdont les coefficients diagonaux sont notés d1, . . .,dm. Posons

A =

0m −D D 0m

On va calculer le déterminant deA. Pour toutj compris entre 1 etm, on échange la j-ième colonne deAavec la(m+j)-ième. Chacune de ces opérations change le signe du déterminant deA et après les avoir toutes appliquées, on obtient

det A = (−1)^m

−D 0m

0m D

Cette matrice étant diagonale, son déterminant est simplement le produit des élé- ments diagonaux :

det A = (−1)^m

m

i=1

Π

(−di)×

m

i=1

Π

di= (−1)^2m ^m

i=1

Π

di

2

det A = (det D)² Il faut résister à la tentation d’écrire

A B C D

= det(A) det(D)−det(B) det(C) Cette formule est fausse : par exemple, ici elle donnerait

0 −D

D 0

=−det(D) det(−D) = (−1)^m+1(det D)² ce qui est tout à fait inexact dans le cas oùmest pair.

Notons, par contre, que siC = 0, on peut écrire

A B

0 D

= det(A) det(D) et on a le même résultat avecB = 0.

On démontre cette formule en remarquant que A B

0 D

= I 0

0 D

×

A B 0 I

et en écrivant que le déterminant d’un produit de deux matrices carrées est le produit des déterminants.

3 Utilisons le fait quef^∗=−f et f²= 0:

∀x∈E ||f(x)||²= f(x) f(x)

= f^∗f(x) x

= −f²(x)

| {z }

=0

x

= 0

ce qui montre que f = 0

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4.a On suppose maintenant quef^∗=−f et f²=−idE, ce qui se réécrit IE=−f²=f f^∗=f^∗f

f est donc inversible, d’inverse son adjointf^∗. D’après le cours, f est un automorphisme orthogonal.

4.b (detf)²est un carré dansR, donc un réel positif. Par ailleurs, 06(detf)²= det(f²) = det(−idE) = (−1)^dim^E

d’où l’on déduit que Eest de dimension paire.

4.c Soitv un vecteur non nul de E. Comme f est un automorphisme orthogonal d’après la question 4.a, on a

||f(v)||=||v|| 6= 0 De plus,f(v)etv sont orthogonaux,

v f(v)

= f^∗(v) v

=− f(v) v

=− v f(v)

d’où v

f(v)

= 0 Ainsi, v, f(v)

est une famille orthogonale dans laquelle nivnif(v)n’est nul. Elle est donc libre. On en conclut que

vet f(v)sont linéairement indépendants si et seulement sivn’est pas nul.

4.d Soitv un vecteur non nul deE. NotonsE1 le sous-espace deEengendré parv etf(v), etFl’orthogonal deE1. On remarque alors que

f^∗(v) =−f(v)∈E1

et f^∗(f(v)) =−f²(v) =v∈E1

Ainsi,E1est stable par f^∗et il s’ensuit, d’après le cours, que Fest stable par f. f(F)⊂F

4.e On suppose que E est de dimensionn = 2m avec m ∈N^∗. Considérons l’en- semble

F =

B ={v1, . . . , vp} ⊂E

p∈N^∗et

v1, . . . , vp, f(v1), . . . , f(vp) est orthonormée D’après la question 4.c, si v est un élément de E, de norme 1, (v, f(v)) est une famille orthonormée. DoncF n’est pas vide. De plus, si{v1, . . . , vp}appartient àF, alors

v1, . . . , vp, f(v1), . . . , f(vp) est une famille libre, puisqu’elle est orthonormée ; commeEest de dimension finie2m, le cardinal de cette famille,2p, est inférieur à2m.

Choisissons{v1, . . . , vp}un élément deF de cardinal maximal (inférieur àm) et notons

H =Vect v1, . . . , vp, f(v1), . . . , f(vp) Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.