Constructions universelles

Constructions universelles

0. Quelques mots du vocabulaire de la th´eorie des cat´egories SoientC etDdeux cat´egories ; soientF :C → D etG:C → Ddeux foncteurs de C dans D.

Un morphisme fonctoriel ν de F dans G (on dit aussi une transformation naturelle) est la donn´ee pour tout objet cde C d’un morphisme de D

ν_c :F(c)→G(c)

telle que pour tout morphisme α :c₀ →c₁ deC le diagramme F(c₀) −−−→^νc0 G(c₀)

F(α)





 y

G(α)





 y

F(c1) −−−→^νc0 G(c1) est commutatif.

On dit que ν est unisomorphisme fonctoriel siνc est un isomorphisme pour tout c.

Exemple

Soit u un objet fix´e de C, on pose

R_u(c) := HomC(u, c) ;

R_u est un foncteur de C dans la cat´egorie des ensembles, disons Ens.

Un morphisme µ : v → u de C fournit une transformation naturelle de R_u vers R_v.

Le lemme suivant (abstrait ...mais trivial) dit que toutes les transformations naturelles de R_u vers R_v sont de ce type.

Lemme 0.1. L’application

ν 7→ν_u(id_u)

induit une bijection entre les transformations naturelles de R_u dans R_v et l’ensemble HomC(v, u).

D´emonstration.Le lemme ci-dessus est une sp´ecialisation du lemme ci-dessous (tout aussi abstrait. . . et tout aussi trivial), appel´e lemme de Yoneda.

Lemme 0.2(de Yoneda).SoientC une cat´egorie etF :C → Ensun foncteur de C dans la cat´egorie des ensembles, alors l’application

ν 7→ν_u(id_u)

induit une bijection entre les transformations naturelles de Ru dans F et l’ensemble F(u) dont l’inverse est l’application qui fait correspondre `a un

´

el´ement ϕ de F(u) la transformation naturelle

Ru(c) := HomC(u, c)→F(c) , f 7→F(f)(ϕ) .

D´emonstration.Il ne s’agit pas en fait d’une d´emonstration mais d’une v´erifi- cation : il faut se convaincre de ce que les deux applications qui apparaissent dans l’´enonc´e ci-dessus, disons Y₁ et Y₂, sont bien inverses l’une de l’autre.

Soientνune transformation naturelle de R_udansF etf un ´el´ement de R_u(c), c’est-`a-dire un morphisme u→c dans la cat´egorie C; pour se convaincre de ce que la compos´eeY₂◦ Y₁ est l’identit´e il suffit de contempler le diagramme commutatif ci-dessous (diagramme dans la cat´egorie des ensembles)

R_u(u) := HomC(u, u) −−−→^νu F(u)

Ru(f)





 y

F(f)





 y

R_u(c) := HomC(u, c) −−−→^νc F(c)

et de consid´erer l’image de idu par les deux applications compos´eesF(f)◦νu

et ν_c◦R_u(f). La v´erification de ce que la compos´ee Y₁ ◦ Y₂ est l’identit´e, encore plus triviale que la v´erification pr´ec´edente, est laiss´ee au lecteur.

La notion de foncteur repr´esentable

SoientC une cat´egorie etF :C → Ensun foncteur deC dans la cat´egorie des ensembles. On dit que F est repr´esentables’il existe un objet u de C tel que F est isomorphe `a R<sub>u</sub>; on dit dans ce cas queF estrepr´esent´e paru. SiF est repr´esentable alors l’objetudeC qui le repr´esente est unique `a isomorphisme pr`es. Plus pr´ecis´ement, soient u et u⁰ deux objets de C qui repr´esentent F et ν : R_u → F et ν⁰ : R_u⁰ → F deux isomorphismes fonctoriels ; alors l’isomorphisme fonctoriel ν⁻¹ ◦ν⁰ : R_u⁰ → R_u d´etermine (Lemme 0.1) un isomorphisme de u suru⁰ dans la cat´egorie C.

Probl`emes universels

On peut reformuler ce qui pr´ec`ede de la fa¸con ci-apr`es.

Soient C une cat´egorie et F : C → Ens un foncteur de C dans la cat´egorie des ensembles. Le probl`eme universel associ´e `aF, disonsP_F, est le suivant : Existe-t-il un objet u deC et un ´el´ement γ deF(u) tels que l’application

HomC(u, c)→F(c) , f 7→F(f)(γ) est une bijection pour tout objet c deC?

Si (u;γ) est une solution de P_F alors la donn´ee de γ fournit (lemme de Yoneda) une transformation naturelle ν : R_u →F qui est un isomorphisme fonctoriel. R´eciproquement, si ν : R_u → F est un isomorphisme fonctoriel alors (u;ν_u(id_u)) est une solution du probl`eme universel P_F.

Si (u;γ) et (u⁰;γ⁰) sont deux solutions de P_F, alors on dispose, comme nous l’avons d´ej`a vu ci-dessus, d’un isomorphisme, uniquement d´etermin´e, de u sur u⁰ dans la cat´egorie C. Expliquons ab initio comment d´eterminer cet isomorphisme :

– L’application HomC(u, u⁰) → F(u⁰), f 7→ F(f)(γ) est une bijection. Il existe donc en particulier un unique morphismeφ:u→u⁰ dans la cat´egorieC tel que l’on a F(φ)(γ) =γ⁰.

– De mˆeme, il existe un unique morphisme φ⁰ : u⁰ → u dans la cat´egorie C tel que l’on a F(φ⁰)(γ⁰) = γ.

– On a φ⁰ ◦φ = idu et φ◦φ⁰ = idu⁰. V´erifions la premi`ere ´egalit´e. Puisque l’application HomC(u, u)→F(u), f 7→F(f)(γ) est une bijection, il suffit de

v´erifier que id_u et φ⁰ ◦φ ont mˆeme image par cette application. L’image de id_u est clairement γ; on a d’autre part

F(φ⁰◦φ)(γ) = F(φ⁰)(F(φ)(γ)) = F(φ⁰)(γ⁰) = γ .

Avertissement 1

Il ne faut pas placer la th´eorie d´evelopp´ee pr´ec´edemment sur un piedestal.

En effet le lecteur aura observ´e que son contenu math´ematique est vraiment t´enu : d`es qu’un ´enonc´e est d´egag´e alors sa d´emonstration est imm´ediate (`a condition de ne pas se prendre les pieds dans le tapis de l’abstraction !).

Cependant cette th´eorie fournit un langage et une fa¸con de penser unifica- teurs qui peuvent s’av´erer tr`es f´econds.

Avertissement 2

Il ne faut pas croire que tous les foncteurs `a valeurs dans la cat´egorie des en- sembles soient repr´esentables. Le lecteur trouvera des exemples de foncteurs non repr´esentables dans les exercices ci-dessous.

Exercice 0.3.

1) On consid`ere la cat´egorie, disons Ab, dont les objets sont les groupes ab´eliens et les morphismes les homomorphismes de groupes, et le foncteur de AbdansEnsqui associe `a un groupe ab´elien l’ensemble sous-jacent. Montrer que ce foncteur est repr´esentable.

2) On consid`ere cette fois la cat´egorie, disons Ab<sub>f</sub>, dont les objets sont les groupes ab´eliens finis et les morphismes les homomorphismes de groupes, et le foncteur de Ab<sub>f</sub> dans Ens qui associe `a un groupe ab´elien fini l’ensemble sous-jacent. Montrer que ce foncteur n’est pas repr´esentable.

[Indication. Soient A et B deux groupes ab´eliens finis non nuls ; observer que si les car- dinaux deA etB sont premiers entre eux alors le seul homomorphisme deAdansB est l’homomorphisme nul.]

Exercice 0.4.SoitSun ensemble, on note C_S :Ens→Ensle foncteur d´efini par C_S(E) =S pour tout ensemble E et C_S(f) = id_S pour toute application f :E₀ →E₁. Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) le foncteur C_S est repr´esentable ;

(ii) l’ensemble S est un singleton.

QuandSest un singleton, par quel ensemble le foncteur C_Sest-il repr´esent´e ?

Premiers exemples

1) SoitGrla cat´egorie dont les objets sont les groupes et dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes. Soit F : Gr → Ens le foncteur qui associe `a un groupeGle sous-ensemble deGconstitu´e des ´el´ements v´erifiant g<sup>n</sup> = 1 (on laisse au lecteur le soin de pr´eciser la valeur de F sur les mor- phismes de Gr). Alors (Z/n; ¯1) (¯1 d´esignant la classe de 1 dans Z/n) est une solution du probl`eme universelP_F. En d’autres termes, le foncteur F est repr´esent´e par le groupe Z/n et la transformation naturelle

ν_G : Hom_Gr(Z/n, G)→F(G) , f 7→f(¯1) est un isomorphisme fonctoriel.

2) Soit T op la cat´egorie dont les objets sont les espaces topologiques et dont les morphismes sont les applications continues. Soient X₁ et X₂ deux es- paces topologiques ; on note F :T op→ Ensle foncteur d´efini sur les objets par F(Y) = HomT op(X1, Y)×HomT op(X1, Y), ou encore, avec les notations de la discussion g´en´erale F(Y) = R_X1(Y)×R_X2(Y). Cette derni`ere ´egalit´e rend ´evidente la d´efinition de F sur les morphismes. Alors le foncteur F est repr´esent´e par la r´eunion disjointe X1`

X2 des espaces topologiques X1

et X₂. Pr´ecisons. Soient ι₁ : X₁ → X₁^{`</sup>X<sub>2</sub> et ι<sub>2</sub> : X<sub>1</sub> → X<sub>1</sub><sup>`}X₂ les ap- plications continues canoniques, alors (X₁<sup>`</sup>X<sub>2</sub>; (ι<sub>1</sub>, ι<sub>2</sub>)) est une solution du probl`eme universel PF.

3) La notion de colimite

Soit I une cat´egorie. On dit que I est petite si la classe ob_I des objets de I est en fait un ensemble ; du coup la classe morI des morphismes de I est aussi un ensemble (observer que l’on a ob_I =^`_{(i,j)∈obI×obI}Hom_I(i, j)).

Soient I une petite cat´egorie et F un foncteur de I dans une cat´egorie C.

Soit c un objet de C; on note comme pr´ec´edemment C_c : I → C le fonc- teur “constant `a valeur c” : C<sub>c</sub>(i) = c pour tout i dans ob<sub>I</sub> et C<sub>c</sub>(α) = id<sub>c</sub> pour tout α dans mor<sub>I</sub>. On note Φ<sub>F</sub> le foncteur de C dans Ens qui `a un objet c de C associe l’ensemble des transformations naturelles de F dans C_c (l`a encore, la valeur de Φ_F sur les morphismes de C est ´evidente). De fa¸con moins p´edante : l’ensemble Φ_F(c) est le sous-ensemble du produit

Q

i∈obIHomC(F(i), c) constitu´e des familles (fi)i∈obI v´erifiant fj = fi◦F(α) pour tout α:i→j dans mor_I.

Si (`;γ) est une solution du probl`eme universel P_ΦF alors on dit que (`;γ) est une colimite du foncteurF. La th´eorie g´en´erale dit que l’objet ` deC est unique, `a isomorphisme uniquement d´etermin´e pr`es ; on ´ecrit

` ∼= colim

I F

et on dit souvent, abusivement, que ` est la colimite du foncteur F :I → C. Pour en finir avec cet exemple on prend pour C la cat´egorie des modules sur un anneau A. Dans ce cas l’existence d’une solution pour le probl`eme universel P_ΦF est garantie `a peu de frais.

Soient ι_i :F(i)→^L_i∈obI F(i) les homomorphismes (injectifs) de A-modules canoniques, alors, par d´efinition mˆeme d’une somme de A-modules, l’appli- cation

ν_M : Hom_A(^M

i∈ob_I

F(i), M)→ ^Y

i∈ob_I

Hom_A(F(i), M) , f 7→(f◦ι_i)i∈ob_I

est une bijection pour tout A-module M, fonctorielle enM.

Soit maintenant α un morphisme deI; on note respectivement s(α) et b(α) les objets de I source et but de α (de telle sorte que α est un morphisme de s(α) dans b(α)). On note d_α : F(s(α)) → ^L_i∈obIF(i) l’homomorphisme de A-modules ι_b(α)◦F(α)−ι_s(α); on note enfin

d : ^M

α∈mor_I

F(s(α))→ ^M

i∈obI

F(i) l’homomorphisme de A-modules induit par les dα.

On a tout fait pour que l’application ν_M consid´er´ee plus haut induise une bijection

Hom_A(coker d, M)→Φ_F(M)

pour toutA-moduleM, fonctorielle enM (on rappelle que la notation coker d d´esigne le A-module quotient (^L_i∈obIF(i))/im d). En d’autres termes, les applications ν_M induisent un isomorphisme fonctoriel R_{coker d}∼= ΦF.

En conclusion on a un isomorphisme canonique de A-modules colim

I F ∼= coker d .

A suivre ?