Minimisation de la variation totale

(1)

Minimisation de la variation totale

Dans ce TP, on consid` ere diff´ erentes approches pour minimiser l’´ energie : Z

Ω

|Du| + 1

2µ kf − uk

²

(1)

1 Fonctionnelle approch´ ee

Dans cette premi` ere partie, on regarde l’approximation suivante du mod` ele ROF :

Z

Ω

p |∇u|

²

+

²

+ 1

2µ kf − uk

²

(2)

1.1 Descente de gradient

Calculer l’´ equation d’Euler-Lagrange associ´ ee ` a la fonctionnelle ci-dessus.

Calculer le minimiseur par une m´ ethode de descente de gradient.

Choisir une image, la bruiter (et la sauver). D´ eterminer empiriquement la vitesse de convergence de l’algorithme.

1.2 M´ ethode de type quasi-Newton

Utiliser la m´ ethode de quasi-Newton pour minimiser la fonctionnelle. D´ eterminer empiriquement la vitesse de convergence de l’algorithme. On peut montrer qu’une telle m´ ethodde converge lin´ eairement. N´ eanmoins, en pratique, on observe souvent une vitesse de convergence quadratique.

2 Algorithmes de projection

On rappelle que la solution du mod` ele (1) est donn´ ee par :

u = f − P

G_µ

(f ) (3)

Il suffit donc de savoir calculer la projection sur la boule de rayon µ dans G pour calculer u.

2.1 Algorithme d’Antonin Chambolle

On peut calculer la projection en utilisant une m´ ethode de point fixe ` a partir des relations de Kuhn et Tucker.

Le probl` eme discret ` a r´ esoudre pour calculer la projection est le suivant : min

kµdiv (p) − f k

²_X

: p / |p

i,j

| ≤ 1 ∀i, j = 1, . . . , N (4)

1

(2)

On le r´ esout par une m´ ethode de point fixe : p

⁰

= 0, and p

ⁿ⁺¹_i,j

= p

ⁿ_i,j

+ τ(∇(div (p

ⁿ

) − f /µ))

i,j

1 + τ|(∇(div (p

ⁿ

) − f /µ))

i,j

| (5) Si le param` etre τ v´ erifie τ < 1/8, alors µdiv (p

ⁿ

) converge vers P

Gµ

(f ) lorsque n → +∞.

En pratique, on observe la convergence pour τ < 1/4.

V´ erifier num´ eriquement ces assertions. Regarder la vitesse de convergence empirique.

2.2 Algorithme de gradient projet´ e

On peut aussi calculer la projection en utilisant un algorithme de gradient projet´ e.







v

^m

=

^f_µ

+ div p

^m

p

^m+1_i,j

=

^p

m

i,j+τ(∇v^m)i,j

max

{

^1,|pⁿi,j+τ(∇v^m)_i,j|

}

(6) et si τ < 1/4, on montre que µv

^m

converge vers la solution de (1).

2.3 Extension au cas de la d´ econvolution

On consid` ere le cas de la d´ econvolution : 1

2µ kAu − f k

²

+ Z

Ω

|Du| (7)

o` u A est un op´ erateur de flou (num´ eriquement, on pourra prendre pour A un noyau gaussien).

On peut montrer que le sch´ ema suivant permet de calculer la solution u avec νkA

^∗

Ak ≤ 1 :

( v

n

= u

n

+ νA

^∗

(f − Au

n

) u

_n+1

= argmin

_u

1

2µν

kv

_n

− uk

²

+ R

|Du| (8)

Programmer cette m´ ethode. Comparer sa vitesse avec les m´ ethodes pour la focntionnelle approch´ ee.

3 Algorithme de Nesterov

Une nouvelle classe d’algorithme du premier ordre particuli` erement efficace est apparue r´ ecemment. L’algorithme suivant permet de calculer la solution de (1).

1. Set k = 0, v

0

= 0, x

0

= 0, L = µkdiv k

²

= 8µ.

2. Set k = k + 1, and compute η

k

= −∇ (f − µdiv (x

k

)).

3. Set y

k

= P

K

(x

k

− η

k

/L), with K =

x ∈ L

²

× L

²

/ kxk ≤ 1 .

2

(3)

4. Set v

k

= v

_k−1

+

^k+1₂

η

k

. 5. Set z

k

= P

K

(−v

k

/L).

6. Set x

k+1

=

_k+3²

z

k

+

^k+1_k+2

y

k

.

7. The output of the algorithm is : u = f − µdiv (y

lim

).

Programmer cette m´ ethode. Comparer sa vitesse de convergence avec les autres m´ ethodes ´ etudi´ es dans ce TP.

3