Partie VI. Modélisation mathématique de l’opération de séchage.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.1

Partie VI.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage.

Le dispositif de séchage en lit fluidisé construit au laboratoire (cf. Partie III) est pourvu de sondes qui permettent de suivre l’évolution de la température et de l’humidité durant toute l’opération de séchage, aussi bien à l’entrée du lit fluidisé qu’à sa sortie. La matière sèche de solide et la viabilité sont également suivies pendant le séchage grâce à des prélèvements effectués dans le sécheur en cours d’opération. La durée de traitement¹ de ces prélèvements est non négligeable par rapport à celle d’un essai de séchage (de l’ordre de 8%), ce qui limite le nombre de mesures de matière sèche et de viabilité. Le développement d’un modèle mathématique reliant paramètres opératoires et résultats permettra d’optimiser les conditions de séchage sans effectuer de nombreuses expériences et de compléter les mesures off-line (viabilité et matière sèche).

Deux modèles mathématiques distincts ont été développés. Ils ont pour objectif de prédire l’évolution temporelle de la température et de l’humidité de l’air de séchage ainsi que l’humidité du solide durant toute l’opération de séchage.

Le premier modèle repose d’une part sur les bilans de matière (eau) en phase gazeuse et en phase solide et d’autre part sur le bilan enthalpique du système. Le second modèle tente de décrire le phénomène d’évaporation à l’intérieur d’un grain de levures poreux. Ce modèle repose sur les bilans enthalpique et massique (eau) à l’interface entre l’eau et la phase gazeuse considérée à l’équilibre thermodynamique, les bilans enthalpique et massique (eau) sur la phase gazeuse ainsi que sur le bilan massique (eau) sur le solide. Le modèle prend en compte les échanges au niveau de l’interface liquide-gaz, considérée à l’équilibre thermodynamique, ce qui permet de relier la température et le titre massique en vapeur d’eau à cette interface.

Ce modèle a la particularité de tenir compte des différents types d’eau (type C et D) présents dans la levure hydratée et mis en évidence dans la partie précédente de ce travail. Dans ces modèles simples, le lit fluidisé est considéré homogène, c’est-à-dire que la présence des bulles de gaz qui traversent la phase émulsion n’est pas prise en compte. La phase émulsion est considérée parfaitement mélangée. La taille des grains est considérée invariante pendant le séchage.

1 Pesée pour la détermination de la matière sèche ainsi que pesée et dissolution de la levure dans de l’eau peptonée pour la détermination de la viabilité.

VI.1. Premier modèle.

Le modèle est constitué des équations de bilan de matière en phase gazeuse et phase solide et du bilan enthalpique du système en considérant les hypothèses suivantes.

VI.1.1. Hypothèses.

H1. Le sécheur est assimilé à un réacteur parfaitement mélangé, du point de vue de chacune des phases (solide et gaz). La température et l’humidité de l’air à l’intérieur et à la sortie du sécheur sont donc identiques. Cette hypothèse est justifiée par les essais de mélange réalisés à partir de deux couches de sable de différentes couleurs montrant que les deux couches de sable étaient indiscernables après quelques secondes de mélange (cf. III.4.1), et par les mesures de température à l’intérieur du lit fluidisé².

H2. Le lit fluidisé est considéré comme homogène, c’est-à-dire qu’il n’existe qu’une seule phase émulsion. Par opposition, la présence de bulles de gaz est prise en compte lorsque l’on considère le lit fluidisé hétérogène. Le lit fluidisé est qualifié d’hétérogène lorsque des grosses bulles d’air se forment et éclatent projetant des particules de solide au-dessus de la surface du lit de particules en fluidisation, typiquement lorsque la vitesse de l’air de séchage est supérieure à 10 umf [Kunii, et al. ,1991].

H3. Le sécheur est considéré adiabatique. Les échanges de chaleur avec l’extérieur, autres que ceux associés aux débits d’air d’entrée et de sortie, sont négligeables.

Cette hypothèse est réaliste pour nos conditions de séchage puisque la température de l’air de séchage est très proche de la température ambiante durant les essais, ce qui limite les échanges de chaleur avec le milieu environnant.

H4. La température dans les grains de levures est uniforme. Toute modification de température en surface du grain se répercute « instantanément » dans l’entièreté du grain. Le temps nécessaire pour que la température du grain soit uniforme peut être évalué en posant le nombre de Fourier égal à 1. En effet, le nombre de Fourier compare le temps physique t au temps que mettrait une perturbation thermique pour se propager dans la demi-épaisseur du matériau :

2 th 1

o

sol psol gr

F t

c r λ

= ρ (VI.1)

où λth : conductivité thermique (W m^-1 K^-1) ( ≈ 0,78 W m^-1 K^-1) [Lyde ,1997]

ρsol : masse volumique du solide (kg m^-3) ( ≈ 1080 kg m^-3) [CWBI]

cpsol : chaleur spécifique du solide (J kg^-1 K^-1) ( ≈ 4000 J kg^-1 K^-1) [Perry ,1984]

rgr : rayon du grain de levures (m) ( ≈ 0,001 m)

2 Un thermocouple placé à l’intérieur du lit fluidisé permet de mesurer la température dans le lit fluidisé pendant les essais de séchage. Les températures mesurées dans le lit fluidisé ne différent pas des températures mesurées en sortie du lit fluidisé, aux erreurs de mesures près.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.3

Le temps t nécessaire pour qu’un grain de levures soit uniforme en température est donc évalué à 5 secondes. Ce temps est comparé au temps caractéristique de modification de la température du gaz entourant le grain. Ce dernier est estimé expérimentalement par le rapport de la température du gaz par la vitesse de variation de cette température pendant les essais. L’ordre de grandeur de ce rapport est la dizaine de minutes (cf. Partie IV).

H5. Les grains sont assimilés à des sphères, toutes de diamètre identique et invariant durant le séchage. La levure avant d’être séchée est mise sous forme soit de petites sphères de 1 ou 1,5 mm de diamètre par extrusion et sphéronisation, soit de petits cylindres par tamisage de filaments de levures de 0,5 mm de diamètre (cf.

III.3.1). L’hypothèse de l’invariance du diamètre des grains de levures est peu réaliste au vu de la Figure VI.1 mais elle permet dans une première approche de simplifier l’écriture des équations mathématique du modèle .

(a) (b)

Figure VI.1 : Photographies prises au microscope électronique (a) de grains de levures humides et (b) de grains de levures après séchage (92 % de matière

sèche) .

H6. Le transfert de l’eau des grains de levures vers l’air se fait sous forme vapeur et non sous forme liquide. Le flux de matière est un flux de vapeur d’eau qui quitte le solide pour se diriger vers le gaz. En effet, le modèle de diffusion liquide, proposé par Sherwood [Sherwood ,1931] et exprimé par une loi de Fick, n’a permis à aucun auteur d’obtenir des évolutions d’humidité de l’air de séchage expérimentales et théoriques concordantes pour le séchage de solide (cf. II.4.1.2). Le modèle de diffusion de vapeur pour le séchage de produits alimentaires a d’abord été proposé par King [King ,1971] et a ensuite été retenu par de nombreux chercheurs comme moyen de transfert d’humidité interne [Fortes, et al. ,1980] [Chen, et al. ,1989].

H7. La diffusion de la vapeur d’eau dans le grain n’est pas limitante, le temps mis par la vapeur d’eau présente à l’intérieur des grains pour arriver en surface est supposé extrêmement court par rapport au temps nécessaire à la vapeur d’eau pour passer de la surface du grain au gaz de séchage. Ce dernier est estimé à partir du temps caractéristique d’évolution de l’humidité de l’air de séchage, évalué expérimentalement par le rapport de la masse d’eau transférée au gaz de séchage par la vitesse d’évaporation. Ce temps caractéristique est de l’ordre de la dizaine de minutes.

Quant au temps caractéristique de diffusion de la vapeur d’eau dans les grains, il peut être évalué par le rapport du carré du rayon du grain rgr2

au coefficient de diffusion de la vapeur d’eau dans les pores du grain. Le coefficient de diffusion à considérer est celui de la vapeur d’eau dans l’air, soit 2,5 10^-5 m² s^-1, puisque la diffusion moléculaire est d’application et non celle de Knudsen³.

Le libre parcours moyen des particules de vapeur d’eau est obtenu par la relation (VI.2) :

2

2 4 2

B

T

k T P λ

π

= ⎛ ⎞Σ

⎜ ⎟⎝ ⎠

(VI.2)

où λ : libre parcours moyen (m)

kB : constante de Boltzmann (=1,38 10^-23 J K^-1) [Perry ,1984]

T : température (K)

PT : pression totale du gaz (Pa)

Σ : diamètre moléculaire (m) (≈ 3 10^-10 m) [Wen, et al. ,1966]

Le temps caractéristique obtenu pour la diffusion dans le grain est donc de 10^-2s pour un rayon des grains de levures de 5 10^-4 m. Cette valeur est largement inférieure au temps caractéristique de l’évolution de l’humidité de l’air de séchage, la diffusion de la vapeur d’eau dans les grains de levures est donc considérée comme non limitante.

VI.1.2. Equations.

Les équations du modèle sont constituées des bilans de matière (eau) sur le gaz et le solide et du bilan enthalpique sur le sécheur (la température du solide est égale à la température du gaz à tout instant (H4)). La forme mathématique des bilans est dictée par le type de réacteur auquel est assimilé le lit fluidisé : un réacteur parfaitement mélangé (H1). Cela implique que les caractéristiques de l’air de séchage (température et humidité) sont identiques à l’intérieur et à la sortie du réacteur.

VI.1.2.1. Bilan de matière sur la phase gazeuse.

Le bilan de matière sur la vapeur d’eau dans le gaz de séchage (air) s’écrit : Débit d’eau dans

l’air à l’entrée

= Débit d’eau dans l’air à la sortie

+ Masse d’eau accumulée par unité de temps dans l’air

- Débit d’eau transférée de la levures vers l’air

(GYe) (GY) (dY _l² _{fl fl air})

dt πr H ε ρ ⁽a r Hπ l² fl⁽¹−εfl⁾Jv⁾

3 Le diamètre des pores des grains (≈ 2 10^-5 m) est supérieur au libre parcours moyen des particules de vapeur d’eau (≈ 10^-7 m).

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.5

Ce bilan peut s’exprimer sous la forme :

2 2

( _e ) _{l fl}(1 _fl) _v

l fl fl air

G Y Y a r H J

dY

dt r H

π ε

π ε ρ

− + −

= (VI.3)

où t : temps (s)

G : débit d’air humide (kg s^-1), supposé comme constant car la fraction d’eau captée par le gaz de séchage est faible (≈ 1 %)

Ye : humidité de l’air de séchage à l’entrée (kg de vapeur d’eau kg^-1 d’air humide)

Y (t) : humidité de l’air de séchage à l’instant t (kg de vapeur d’eau kg^-1 d’air humide)

rl : rayon du réacteur (m) Hfl : hauteur du lit fluidisé (m)

εfl : porosité du lit fluidisé (fraction volumique du gaz) (-) ρair : masse volumique de l’air (kg m^-3)

a : surface d’échange solide-gaz dans le sécheur (m² m^-3) Jv : flux de vapeur d’eau (kg d’eau m^-2 s^-1)

VI.1.2.2. Bilan de matière sur la phase solide.

Le bilan de matière d’eau sur le solide traduit l’évolution temporelle de l’humidité du solide contenue dans le lit fluidisé :

Débit d’eau transférée de la levure vers l’air

+ Masse d’eau accumulée par unité de temps dans le solide

= 0

(a r Hπ _l2 _fl(1−ε_fl)J_v) (dX _sol) dt m

2 2

(1 )

(1 )

l fl fl v

sol l fl fl

a r H J

dX

dt r H

π ε

ρ π ε

= − −

− ^(VI.4)

où a : surface d’échange (m² m^-3) rl : rayon du réacteur (m) Hfl : hauteur du lit fluidisé (m)

εfl : porosité du lit fluidisé (fraction volumique du gaz) (-) Jv : flux de vapeur d’eau (kg d’eau m^-2 s^-1)

X (t) : eau contenue dans le solide à l’instant t (kg d’eau kg^-1 de solide sec) t : temps (s)

msol : masse de solide sec (kg )

VI.1.2.3. Bilan enthalpique sur le sécheur.

Aucun échange n’est considéré entre le sécheur et le milieu extérieur par pertes à travers les parois du lit fluidisé (H3), le bilan enthalpique s’écrit donc :

Enthalpie du gaz (air/vapeur d’eau) à l’entrée

- Enthalpie du gaz (air/vapeur d’eau) à la sortie

= Variation au cours du temps de la quantité d’enthalpie totale dans le sécheur

GHe GH_s dH

dt

, ,

, ,

, ,

(1 ) ( ) ( )

(1 ) ( ) ( )

( )

réf réf

réf réf

réf

T T

e f air pair e réf e f vap pvap e réf

T T

f air pair réf f vap pvap réf

T

sol f sol psol réf sol f eauliq

G Y H c T T GY H c T T

G Y H c T T GY H c T T

m H c T T m X H

d dt

⎡ − ⎡⎣Δ + − ⎤⎦+ ⎡⎣Δ + − ⎤⎦⎤

⎣ ⎦

⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎤

−⎣ − ⎣Δ + − ⎦+ ⎣Δ + − ⎦⎦

⎡Δ + − ⎤+ Δ

⎣ ⎦

=

, ,

( )

(1 ) ( ) ( )

réf

réf réf

T

pl réf

T T

air f air pair réf air f vap pvap réf

c T T

Y m H c T T m Y H c T T

⎡ ⎡⎣ + − ⎤⎦ ⎤

⎢ ⎥

⎢+ − ⎡Δ + − ⎤+ ⎡Δ + − ⎤⎥

⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎥

⎣ ⎦

(VI.5)

où G : débit d’air humide (kg s^-1)

Ye : humidité de l’air de séchage à l’entrée du lit fluidisé (kg de vapeur d’eau kg^-1 d’air humide)

ΔHf : enthalpie de formation (J kg^-1) cp : chaleur spécifique (J kg^-1 K^-1)

Te : température de l’air à l’entrée du lit fluidisé (K)

Y : humidité de l’air de séchage dans et à la sortie du lit fluidisé (kg de vapeur d’eau kg^-1 d’air humide)

T : température dans et à la sortie du lit fluidisé (K) Tréf : température de référence (K)

msol : masse de solide sec dans le sécheur (kg)

X : teneur en eau de la matière sèche (kg d’eau kg^-1 de solide sec) mair : masse d’air humide dans le sécheur (kg)

Les indices sol, air et vap sont respectivement relatifs à la phase solide, la phase air sec et la phase vapeur d’eau.

L’expression peut être simplifiée :

- en négligeant les deux derniers termes du membre de droite par rapport aux deux premiers termes. En effet, la masse d’air dans le sécheur (mair ≈ 3 10^-3 kg) est faible par rapport à la masse de solide (msol ≈ 0,15 kg). La différence entre les masses d’air dans le sécheur et de solide est accentuée par leurs termes multiplicatifs. En effet, la teneur en eau du solide est plus élevée que celle de l’air de séchage (X ≈ 2,5 et Y ≈ 1 10^-2 ) alors que l’enthalpie de formation de l’eau à l’état liquide est du même ordre de grandeur que celle à l’état vapeur (ΔH^Tréff,eauliq

≈ 1,5 10⁷ J kg^-1, ΔH^Tréff,vap ≈ 1,3 10⁷ J kg^-1 (⁴)) et que les chaleurs spécifiques considérées sont du même ordre de grandeur.

4 Enthalpie de formation à 25°C [McQuarrier, et al. ,2000].

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.7

L’enthalpie de formation du solide est de ΔH^Tréff,sol ≈ 3 10⁵ J kg^-1 et celle de l’air⁵ ΔH^Tréff,sol ≈ 5 10³ J kg^-1. Le membre de droite de l’équation (VI.5) se réduit donc à :

, ( ) , ( )

réf réf

T T

sol f sol psol réf sol f eauliq pl réf

d m H c T T m X H c T T

dt

⎡ ⎡⎣Δ + − ⎤⎦+ ⎡⎣Δ + − ⎤⎦⎤

⎣ ⎦

- en négligeant l’humidité de l’air de séchage devant 1 aussi bien à l’entrée Ye qu’à l’intérieur et à la sortie du lit fluidisé Y. En effet, l’ordre de grandeur de Ye et Y est de 1 10^-2 (<<1).

( )

, ,

(1 _e) ^T_{f air}^réf _pair( _{e réf}) (1 ) ^T_{f air}^réf _pair( _réf) _{pair e}

G −Y ⎡⎣ΔH +c T −T ⎤⎦−G −Y ⎡⎣ΔH +c T −T ⎤⎦≈Gc T −T - en posant l’enthalpie de formation de l’eau vapeur à 273 K (=Tréf) nulle. Sachant

que la chaleur latente de vaporisation à la température T est la variation d’enthalpie de l’unité de masse du corps passant de l’état liquide à l’état vapeur :L_v = ΔH_{f vap,} − ΔH_{f eauliq,} , le bilan enthalpique simplifié sur le sécheur devient :

( ) ^{( )}

( )

pvap e e e réf réf pair e

sol psol sol pl sol v sol pl réf

Gc Y T Y T YT YT Gc T T

dT dX dX

m c m Xc m L m c T T

dt dt dt

− − + + −

⎡ ⎤

= ⎣ + ⎦− + −

- en négligeant le terme comportant la chaleur spécifique de l’eau liquide devant celui comportant la chaleur latente de vaporisation. En effet, Lv = 2,5 10⁶ J kg^-1 et cpl = 4,18 10³ J kg^-1 et la différence de température (T-Tréf) avec Tréf = 273 K vaut en moyenne dans le sécheur 20 K.

On obtient alors l’équation simplifiée suivante décrivant l’évolution de la température de l’air de séchage dans et à la sortie du lit fluidisé au cours du temps :

( ) ^{( )}

1

pvap e e e réf réf pair e sol v

sol psol sol pl

dT dX

Gc Y T Y T YT YT Gc T T m L

dt m c m Xc dt

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢⎣ + ⎥ ⎢⎦⎣ − − + + − + ⎥⎦

(VI.6)

5 Enthalpie de formation à 300K [Lyde ,1997].

VI.1.2.4. Expression de l’isotherme de désorption.

Les bilans de matière sur le solide et le gaz sont reliés par le flux de matière Jv qui est exprimé par la relation (VI.7) ci-dessous :

( )

v g R

J =kρ Y −Y (VI.7)

où k : coefficient de transfert de matière (m s^-1)

YR : humidité de l’air à la surface humide du grain (kg d’eau kg^-1 d’air sec) L’humidité de l’air à la surface du grain YR est obtenue par la relation (VI.8). Cette dernière exprime l’humidité relative de l’air HR par le rapport de l’humidité de l’air à la surface du grain YR par l’humidité de l’air à saturation Ysat :

R sat

HR Y

=Y (VI.8)

La relation entre la quantité d’eau absolue du solide X et l’humidité relative de l’air peut s’exprimer par une isotherme de désorption. Pour la levure étudiée, une isotherme de désorption a été obtenue à 25°C (cf. Figure V.6, Partie V.2.4) et a été modélisée par la relation GAB⁶(V.4).

L’expression (VI.9) de l’humidité de l’air à la surface du grain YR en fonction de la masse d’eau présente dans le solide X s’obtient à partir de la relation (VI.8) dans laquelle l’humidité relative est remplacée par son expression en fonction de l’activité en eau (II.4, Partie II.2.1.1) qui est elle-même obtenue par la relation GAB (V.4) :

( ) ( )

( )

2 2 2

2

((2 ) ( )) ( 2 ) ( ) 4 1

2 1

G G G G G mc G G G G G mc G G

R sat

G G

k k c X k c X k c k X k c X k X c

Y Y

k c X

⎛ − + − − − − − ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

(VI.9)

L’humidité de l’air à saturation Ysat est fonction de la température. Son expression⁷ (IV.5) découle de la loi de Clapeyron, elle permet une très bonne corrélation (TableauVI.1) entre les valeurs calculées à l’aide de cette relation et celles relevées sur le diagramme de l’air humide (Diagramme de Mollier [Goenaga ,1965]) pour la gamme des températures parcourues expérimentalement.

0,0649

3, 9332 ^Tair

Ysat = e (IV.5)

Température (°C)

Ysat par la relation IV.5

Ysat par le diagramme de

Mollier

10 7,53 7,6 15 10,42 10,8 20 14,40 14,8 25 19,93 20,0 30 27,56 27,4

Tableau VI.1 : Humidité de l’air à saturation en fonction de la température suivant la relation IV.5 et le diagramme de Mollier.

6 Les paramètres de la relation GAB introduits dans le modèle sont Xmc=0,06 kg d’eau kg^-1 de MS, kG=0,97 et cG=32, paramètres obtenus par Bossart à 25°C (cf. V.2.4).

7 La température est exprimée en °C et l’humidité de l’air à saturation en gramme d’eau par kilogramme d’air.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.9

VI.1.3. Conditions initiales et aux limites.

Ce modèle mathématique est donc composé de trois équations de bilan, le bilan de matière sur le gaz (VI.3), le bilan de matière sur le solide (VI.4) et le bilan enthalpique sur le sécheur (VI.6). Ces équations sont exprimées sous forme d’équations différentielles faisant intervenir les dérivées par rapport aux temps des trois grandeurs X (humidité du solide), Y (humidité de l’air à la sortie et donc dans le lit fluidisé) et T (température de l’air à la sortie et dans le lit fluidisé) dont les conditions initiales sont , au temps t = 0 :

- X=Xe

- Y=Ye(t) - T=Te(t)

Les caractéristiques (température, humidité) de l’air de séchage à l’entrée ne sont en effet pas nécessairement maintenues constantes pendant tout le séchage. A chaque pas de temps, de nouvelles valeurs d’humidité et de température de l’air d’entrée, mesurées expérimentalement, sont insérées dans le modèle mathématique.

VI.1.4. Paramètres du modèle.

Les paramètres du modèle sont de trois types :

♦ les paramètres mesurés :

- les caractéristiques de l’air de séchage à l’entrée du lit fluidisé : débit G, humidité Ye et température Te ,

- les caractéristiques initiales du solide à sécher : rayon des grains rgr, humidité des grains en début de séchage Xe,

- la hauteur du lit fluidisé Hfl,

- la surface volumique de contact du solide a, définie comme le rapport entre la surface du grain et son volume,

- le rayon du réacteur rl,

- les paramètres de l’isotherme de désorption Xmc, kG et cG.

♦ les paramètres estimés :

- la porosité du lit déposé ε0 obtenue à partir du graphique de la Figure III.6 qui relie la sphéricité des particules séchées à la porosité du lit fixe (cf..III.3.2.3).

- la porosité du lit fluidisé εfl est calculée à partir de la porosité du lit déposé ε0 et des hauteurs mesurées de lit au repos H0 et en fluidisation Hfl(cf..III.3.2.3) :

0

1 (1 0)

fl

fl

H

ε = −H −ε (III.9)

♦ le paramètre qui a été choisi ajustable dans ce modèle : le coefficient de transfert de masse k.

VI.1.5. Résultats obtenus par le modèle mathématique.

La résolution des équations de bilan est réalisée par le solveur d’équations différentielles ODE23s du logiciel de calcul Matlab, version 6.1.0.450., avec un algorithme basé sur la formule modifiée de Rosenbrock d’ordre 2.

Le paramètre k, coefficient de transfert de matière, est ajusté sur les points expérimentaux en utilisant l’équation (VI.3) dans la phase de séchage à vitesse constante. Ce coefficient de transfert de matière est alors introduit dans le modèle et les évolutions en fonction du temps de l’humidité de l’air Y, l’humidité du solide X et la température de l’air T sont calculées.

VI.1.5.1. Comparaison entre les courbes obtenues par le modèle et les courbes expérimentales.

Trois essais de séchage (Sclf20, Sclf21 et Sclf210) ont été modélisés par ce modèle mathématique. Deux de ces essais (Sclf20, Sclf21) présentent la particularité d’avoir un taux d’humidité et une température de l’air de séchage constants à l’entrée du lit fluidisé pendant toute la durée des tests, quant au troisième essai (Sclf210), l’humidité et la température de l’air de séchage à l’entrée du lit fluidisé évoluent avec le temps (Tableau VI.2).

Nom de l’essai Sclf20 Sclf 21 Sclf 210

Masse de levures avant séchage (g)

602 445 453

Taille des grains (mm) 1 1 1,5

Humidité du solide avant séchage (%)

71 71 71

Débit d’air (kg s^-1) 0,048 0,06 0,038

Vitesse de l’air (umf8

) 6 8 3

Humidité de l’air de séchage à l’entrée du lit fluidisé Ye (g d’eau kg^-1 d’air)

9 9,8 variable

Température de l’air de séchage à l’entrée du lit fluidisé Te (°C)

28 25 variable

Tableau VI.2 : Données expérimentales des essais Sclf20, Sclf21 et Sclf210.

Le coefficient de transfert k ajusté vaut 0,15 m s^-1 pour les trois essais présentés. Les Figures VI.2, VI.3 et VI.4 présentent les courbes expérimentales et modélisées des trois variables Y, T et X en fonction du temps respectivement pour les expériences Sclf20, Sclf21 et Sclf210.

8 Vitesse minimale de fluidisation.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.11

Figure VI.2 : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour l’essai Sclf20.

Figure VI.3 : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour l’essai Sclf21.

Figure VI.4 : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour l’essai Sclf210.

On constate que le modèle mathématique permet de simuler l’évolution de la température T et de l’humidité Y de l’air de séchage de la phase de séchage à vitesse constante (phase 2). Par contre l’évolution observée de l’humidité du solide dans cette phase est systématiquement plus lente que celle simulée par le modèle, ce qui a pour conséquence, un temps de séchage prédit par le modèle beaucoup plus court qu’expérimentalement (de l’ordre de la moitié, Figures VI.2, VI.3 et VI .4).

VI.1.5.2. Etude de la valeur du coefficient de transfert de masse k.

De manière à obtenir une évolution de l’humidité du solide X dans la phase de séchage à vitesse constante plus proche des points expérimentaux, la valeur du coefficient de transfert de masse k devrait être plus faible k = 0,01 m s^-1 (Figure VI.5). Dans ce cas, la deuxième phase de séchage serait plus longue que précédemment, l’humidité de l’air de séchage y serait plus faible et sa température plus élevée puisque l’évaporation est un phénomène endothermique.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.13

Figure VI.5 : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour l’essai Sclf20 pour k=0,01.

La valeur du coefficient de transfert de masse k prédite par la relation de Froessling (IV.1, Partie IV.1.2), respectivement pour les essais Sclf20, Sclf21 et Sclf210, est 0,3 m s^-1, 0,31 m s^-1 et 0,19 m s^-1, soit le double de la valeur estimée par le modèle pour les essais Sclf20 et Sclf21.

Nous avons vérifié qu’une valeur du coefficient de transfert de masse k supérieure à 0,15 m s^-1 n’engendre que peu de modifications des courbes modélisées. Cette observation peut s’expliquer à partir de la formulation mathématique de l’évolution de l’humidité de l’air de séchage en fonction du temps, relation (VI.3) :

2 2

( _e ) _{l fl}(1 _fl) _v

l fl fl g

G Y Y a r H J

dY

dt r H

π ε

π ε ρ

− + −

= (VI.3)

dans laquelle le le flux de matière Jv est remplacé par son expression (relation (VI.7)).

( )

v g R

J =kρ Y −Y (VI.7)

La relation (VI.3) peut se mettre sous la forme : dY AY B

dt + = (VI.10)

où

( )

2

1 _fl

l fl fl g fl

A G ka

r H

ε

π ε ρ ε

= + −

( )

2

1 _fl

e R

l fl fl g fl

B G Y ka Y

r H

ε

π ε ρ ε

= + −

qui est une équation différentielle du premier ordre avec second membre non nul et dont la solution est :

C ^At B

Y e

A

= − + (VI.11)

La valeur de la constante C est obtenue connaissant la valeur de Y au temps t=0, qui est Y=

Ye :

e

C Y B

= − A (VI.12)

La relation (VI.11) devient alors :

At e

B B

Y Y e

A A

⎛ ⎞ −

=⎜⎝ − ⎟⎠ + (VI.13)

Le premier terme de la somme de la relation (VI.13) devient rapidement négligeable devant le second terme de cette relation. En effet, l’exponentielle tend rapidement vers 0 (e^-At ≈ 10^-308 à t=5s) et l’ordre de grandeur de son facteur multiplicatif est 10^-3. Ce facteur multiplicatif est composé du rapport B

Aqui varie pour un essai en phase de séchage à vitesse constante (YR=Ysat) uniquement en fonction de k, les autres paramètres constitutifs de A et B étant des constantes de l’essai (Figure VI.6). De plus, l’ordre de grandeur de Ye est 10^-3.

0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

k (m/s)

B/A

Figure VI.6 : Rapport B /A en fonction de k en phase 2 de séchage pour l’essai Sclf20.

La relation (VI.13) se réduit donc à B Y = A. Lorsque k > 0,15 m s^-1, le rapport B

A tend vers YR. Or, en phase de séchage à vitesse constante, l’humidité de l’air en surface des grains YR est égale à l’humidité de l’air à saturation Ysat(Figure VI.6).

La valeur du coefficient de transfert de masse k permettant de simuler au mieux les courbes de séchage expérimentales pour les 3 grandeurs X, Y et T est 0,15 m s^-1.

D’autres chercheurs [Groenewold, et al. ,1997] [Thonglimp, et al. ,1984] ont déjà observé une telle différence entre la valeur du coefficient de transfert de masse prédite par la relation de Froessling et celle mesurée expérimentalement.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.15

L’explication donnée à cette observation est la présence de bulles d’air dans le lit fluidisé qui diminuerait la quantité de gaz susceptible de participer à l’échange de matière. La quantité d’air participant au séchage serait donc surévaluée entraînant la surévaluation du coefficient de transfert de masse dans la relation de Froessling.

Afin de créditer cette hypothèse, les essais Sclf20 et Sclf21⁹ (dont la vitesse de l’air est respectivement de 6 et 8 umf) vont être à nouveau simulés mais le paramètre à ajuster ne sera plus le coefficient de matière k (fixé à 0,15 m s^-1 comme obtenu lors des simulations précédentes) mais bien le débit d’air G.

Figure VI.7 : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour les essais Sclf20 et Sclf21 (k=0,15 m s^-1, G=0,04 kg s^-1).

La valeur ajustée du débit d’air G pour les simulations présentées en Figure VI.7 est de 0,04 kg s^-1 pour les 2 essais présentés (les débits d’air mesurés expérimentalement pour ces 2 essais sont 0,048 kg s^-1 pour Sclf20 et 0,060 kg s^-1 pour Sclf21). Un débit d’air de 0,04 kg s^-1 correspond à une vitesse de l’air de 5 umf pour des particules de 1 mm de diamètre. La température T et l’humidité de l’air Y ainsi que l’humidité du solide X obtenues par ces simulations sont similaires à celles obtenues expérimentalement en phase 2 de séchage. Mais la durée de cette deuxième phase de séchage est plus longue lors des simulations qu’observé expérimentalement.

Les courbes simulées avec un débit d’air correspondant à 5 umf semblent donc mieux décrire l’évolution en fonction du temps des trois grandeurs X, Y et T que lors des simulations avec le débit d’air mesuré expérimentalement pour les essais Sclf20 et Sclf21. Les courbes d’évolution en fonction du temps de l’humidité et de température de l’air de séchage et de l’humidité du solide ont également été simulées pour les essais Sclf15, Sclf18et Sglf04 en fixant le débit d’air G à 0,04 kg s^-1 et le coefficient de transfert de matière k à 0,15 m s^-1 (Figure VI.8a et VI.8b). Ces essais ont été choisis car ils sont les seuls ayant un débit d’air mesuré expérimentalement correspondant à une vitesse de l’air supérieure à 5 umf et durant lesquels de la matière a été prélevée de manière à suivre l’évolution de l’humidité du solide pendant le séchage (cf. Tableaux IV.5 et IV.6).

9 La vitesse de l’air lors de l’essai Sclf210 est de 3 umf, soit proche de la vitesse minimale de l’air pour que la fluidisation soit considérée comme établie (cf. III.3.2.1). Cet essai ne sera donc pas simulé avec comme paramètre à ajuster le débit d’air G.

Sclf20 Sclf21

Figure VI.8a : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour les essais Sclf15 et Sclf18 (k=0,15 m s^-1, G=0,04 kg s^-1).

Figure VI.8b : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour l’essai Sglf04 (k=0,15 m s^-1, G=0,04 kg s^-1).

Lorsque le débit d’air mesuré expérimentalement est inférieur à 0,04 kg s^-1, les valeurs simulées (G correspondant à la valeur mesurée et k=0,15 m s^-1) des 3 grandeurs X, Y et T en phase 2 de séchage correspondent à celles observées expérimentalement (Figure VI.9).

Sclf15 Sclf18

Sglf04

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.17

Figure VI.9 : Courbes modélisées (rouge) et points expérimentaux (points bleus) pour les essais Sclf210 et Sclf215 (k=0,15 m s^-1, G_Sclf210=0,038 kg s^-1, G_Sclf215=0,027 kg s^-1).

VI.1.5.3. Etude de l’isotherme de désorption.

Le passage de la phase 2 à la phase 3 de séchage est provoqué dans le modèle mathématique par une diminution du flux de matière Jv étant elle-même une conséquence de la diminution de l’humidité du solide X. La relation entre l’humidité relative de l’air et l’humidité du solide est exprimée par une isotherme de désorption. L’humidité relative de l’air est exprimée par la relation VI.8 dans laquelle la température de l’air intervient au travers de l’humidité de l’air à saturation Ysat(IVI.5). La relation VI.9 peut donc être source d’erreurs lors de la simulation des courbes de séchage.

L’expression mathématique de l’isotherme de désorption utilisée dans ce modèle est la relation GAB ajustée aux points expérimentaux obtenus pour la levure étudiée. D’autres relations empiriques permettant d’exprimer mathématiquement l’isotherme de désorption peuvent être trouvées dans la littérature (Tableau VI.3).

Auteurs Equations Harkins-Jura (1944)

2

1 2

exp K

HR K

X

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠ GAB (1946)

(Guggenheim, Anderson, de Boer)

(

)(

)

c k HRX

X = k HR k HR k c HR

− − +

Henderson (1952) 1−HR=exp⎡⎣−

(

)

1 2

ln K ^{K X}

HR e

RT

= − −

Iglesias and Chirife (1981)

1 2

1

X K HR K

HR

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠+ Taeymans (1983) HR= −1 e^{−K X1 K2}

où HR : humidité relative, HR=Y_R/Y_sat K1 et K2 : paramètres ajustés

Tableau VI.3 : Equations d’isothermes de désorption.

Sclf210 Sclf215

Les paramètres des équations des isothermes de désorption présentées au Tableau VI.3 ont été obtenus par ajustement de ces modèles aux points expérimentaux obtenus à 25°C au laboratoire par la méthode des sels (cf. III.9.4) sur la levure fournie par Gelka International.

Les six isothermes ainsi obtenues ainsi que les points expérimentaux sont représentées à la Figure VI .10.

0 0,5 1 1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

aw

X (kg d'eau/kg M.S.)

Harkins-Jura(1944) GAB(1946) Henderson(1952) Chung and Pfost(1967) Iglesias and Chirife(1981) Taeymans(1983) Points

expérimentaux

Figure VI.10 : Isothermes de désorption.

Les isothermes obtenues par les relations de Chung and Pfost, d’Henderson et de Taeymans se confondent et tendent vers une activité en eau égale à 1 pour une humidité du solide X > 0,7kg d’eau/kg de MS. L’utilisation de la relation de Taeymans (Figure VI.11, courbes bleues en pointillés) ou de Chung and Pfost (Figure VI.11, courbes brunes) au lieu de la relation GAB (Figure VI.11, courbes vertes) dans le modèle mathématique conduit à une augmentation de la durée de la phase de séchage à vitesse constante¹⁰ ainsi qu’à une diminution de la phase de séchage à vitesse décroissante pour les courbes simulées par rapport aux évolutions expérimentales.

L’introduction dans le modèle mathématique de l’isotherme de Harkins-Jura (Figure VI.11, courbes roses) ou de l’isotherme de Iglesias et Chirife (Figure VI.11, courbes grises en pointillés) au lieu de l’isotherme GAB induit également une augmentation de la phase de séchage à vitesse constante et une diminution de la phase de séchage à vitesse décroissante. Ces isothermes induisent également une diminution de l’humidité de l’air de séchage en sortie du lit fluidisé durant la phase de séchage à vitesse constante et une légère augmentation de la température de l’air de séchage. Ces observations s’expliquent par le fait que les isothermes de Harkins-Jura et de Iglesias et Chirife tendent de façon asymptotique respectivement vers une activité en eau de 0,94 et 0,98 et non de 1.

10 La diminution de l’humidité et l’augmentation de la température de l’air de séchage en sortie du lit fluidisé marque la fin de la phase de séchage à vitesse constante.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.19

Figure VI.11 : Points expérimentaux (points bleus) et courbes modélisées pour l’essai Sclf20 en utilisant l’isotherme de Iglesias and Chirife courbes grises en pointillés), l’isotherme de Harkins-Jura (courbes roses), l’isotherme de Taeymans (courbes bleues en pointillés), l’isotherme de Chung and Pfost (courbes brunes) et l’isotherme de GAB (courbes vertes).

(G = 0,04 kg s^-1, k = 0,15 m s^-1)

L’isotherme choisie, provenant de l’ajustement de la relation GAB, semble être la plus apte à modéliser la relation existant entre l’humidité du solide et l’air entourant les grains de levures, ce qui peut être observé par l’évaluation de l’erreur relative entre les valeurs de l’humidité du solide mesurées expérimentalement et celles obtenues par chacune des expressions de l’isotherme de désorption (Tableau VI.4). L’erreur relative (relation V.6, paragraphe V.2.4) obtenue lors de l’utilisation de la relation de Harkins-Jura n’a pas été évaluée car cette relation estime l’humidité du solide infinie pour une activité en eau égale à 0,97 (valeur faisant partie des mesures expérimentales).

Erreur relative (%)

GAB 5

Taeymans 18

Iglesias and Chirife 27

Chung and Pfost 18

Tableau VI.4 : Erreurs relatives entre les valeurs de l’humidité su solide mesurées expérimentalement et celles

obtenues par différentes isothermes de désorption..

Bien que les paramètres des isothermes de désorption testées ont été ajustés à partir des couples de points expérimentaux, aucune des isothermes testées n’a permis de simuler la phase de séchage à vitesse décroissante.

VI.1.6. Conclusions.

Le premier modèle mathématique développé permet de reproduire les courbes d’humidité et de température de l’air en sortie du lit fluidisé pendant la phase de séchage à vitesse constante mais par contre ne permet pas de reproduire l’évolution de l’humidité du solide pendant le séchage. Ce modèle sous-estime la durée totale de séchage et il ne permet pas de simuler les courbes expérimentales d’humidité et de température du gaz en sortie du lit fluidisé en phase de séchage à vitesse décroissante. Par contre, les courbes obtenues par le modèle mathématique reproduisent l’évolution des points expérimentaux pour l’humidité et la température de l’air de séchage et pour l’évolution de l’humidité du solide de la phase de séchage à vitesse constante si la valeur du débit d’air introduit dans le modèle correspond à une vitesse de l’air, dans le lit fluidisé, inférieure ou égale à 5 umf. Autrement dit, si le débit d’air mesuré expérimentalement est supérieur à celui correspondant à une vitesse de 5 umf, le débit d’air à considérer lors de la simulation est celui correspondant à 5 umf. En effet, lorsque le débit d’air correspond à une vitesse de l’air supérieure à 5 umf, une partie de cet air ne participerait pas à l’échange de matière et ne doit donc pas être pris en compte dans le modèle. Une vitesse de l’air supérieure à 5 umf n’augmenterait donc pas la vitesse de séchage. Quant au coefficient de transfert de masse k, il a été ajusté à une valeur de 0,15 m s^-

1. Cette valeur permet d’obtenir les mêmes valeurs d’humidité et de température de l’air que celles mesurées lors des essais pendant la phase de séchage à vitesse constante.

Par contre, cette deuxième phase de séchage a une durée plus longue lors des simulations que celle observée expérimentalement. Le passage de la phase de séchage à vitesse constante (phase 2) à la phase de séchage à vitesse décroissante (phase 3) est induit dans le modèle par l’isotherme de désorption. L’isotherme de désorption employée ne permet pas de reproduire l’évolution de la phase de séchage à vitesse décroissante comme observé expérimentalement et induit un début de troisième phase de séchage tardif par rapport à l’expérience. Aucune des autres isothermes de désorption trouvées dans la littérature et testées dans le modèle n’a permis de simuler la phase de séchage à vitesse décroissante.

Le modèle mathématique sous-estime la valeur de l’humidité critique Xcr. En effet, le début de la phase de séchage à vitesse décroissante correspond dans le modèle à une humidité du solide X de 0,45, alors qu’expérimentalement Xcr a été estimée à 1,2-1,4.

Ce modèle mathématique ne permet donc pas de reproduire les courbes expérimentales de séchage dans leur entièreté. L’impossibilité de reproduire les courbes de séchage remet donc en question les hypothèses à la base de ce modèle :

¾ L’hypothèse d’homogénéité du lit fluidisé (H2) n’est acceptable que si la vitesse de l’air dans le lit fluidisé est inférieure à 5 umf. Au-delà de cette valeur, le lit fluidisé est considéré hétérogène (présence de bulles d’air). En effet, seule une partie de l’air participe alors à l’évaporation de l’eau puisque les bulles d’air piègent une partie de l’air. L’air emprisonné dans les bulles d’air ne participe pas à l’échange de matière. La quantité d’air piégé est d’autant plus grande que la taille des bulles d’air est grande, c’est-à-dire que la vitesse de l’air arrivant sur la plaque perforée est grande. Bien que le lit fluidisé ne soit considéré comme hétérogène qu’à partir d’une vitesse de séchage de l’ordre de 10 umf [Kunii, et al.

,1991], il semble qu’à partir d’une vitesse de l’air de 5 umf les bulles d’air formées piègent une partie non négligeable de l’air de séchage.

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.21

¾ L’hypothèse d’invariance des dimensions des grains de levures (H5) semble peu justifiée au vu de la Figure VI.1.

¾ L’hypothèse 7 : les grains de levures sont supposés composés de pores de grandes tailles (macropores) et non tortueux puisque la diffusion de la vapeur d’eau dans le grain est considérée comme non limitante, or les mesures de porosimétrie (Figure IV.8) au mercure ont montré la présence de macropores et de mésopores dans les grains de levures.

¾ L’emploi d’une isotherme de désorption pour relier l’humidité du gaz à l’humidité du solide suppose qu’à tout moment pendant le séchage, l’air et le solide sont en équilibre. Cette supposition est fausse puisque lors du séchage en lit fluidisé, l’équilibre entre l’air et le solide ne peut avoir le temps de s’établir.

Un second modèle a été développé, en tentant de tenir compte des faiblesses de ce premier modèle. Ce second modèle est présenté ci-après.

VI.2. Second modèle.

La comparaison des courbes d’évolution temporelle obtenues par le premier modèle mathématique et de celles obtenues expérimentalement pour les variables Y (humidité de l’air), X (l’humidité du solide) et T (température de l’air) a mené à la remise en question de ce modèle et notamment de l’emploi d’une isotherme de désorption pour exprimer l’humidité de l’air entourant le grain dans l’expression du flux de matière. En conséquence, le second modèle imaginé se base également sur l’écriture des bilans massiques et enthalpiques dans la phase gazeuse et solide dans lesquels le flux d’évaporation est exprimé à l’interface liquide- gaz (Figure VI.12). Cette interface est considérée par hypothèse à l’équilibre thermodynamique, ce qui permet d’établir une relation liant la fraction massique d’eau dans le gaz à l’interface Yinter à la température de l’interface Tinter (par l’intermédiaire de la loi de Clapeyron).

En début de séchage, les grains de levures sont fortement hydratés, l’eau de type D (cf. V.2.4) est modélisée par une couche d’eau fictive entourant le grain. L’interface liquide-gaz sépare cette couche d’eau d’épaisseur ceau d’une couche stagnante de gaz d’épaisseur dg (Figure VI.12). Dans la couche stagnante de gaz dg, les transferts sont unidirectionnels. Les transferts de matière se font par diffusion et les transferts de chaleur par conduction [Chen, et al. ,1989].

Les paramètres des équations mathématiques de ce modèle évoluent suivant la phase de séchage considérée. En effet, la phase de séchage à vitesse constante est représentée par la disparition progressive de la couche d’eau ceau (eau de type D). La masse d’eau composant cette couche d’eau fictive est estimée à partir des résultats expérimentaux. En effet, connaissant l’humidité du solide en début de séchage et en fin de séchage à vitesse constante, la quantité d’eau évaporée durant cette phase de séchage est déterminée et est traduite en une épaisseur d’eau entourant les grains de levures. L’ordre de grandeur de cette couche d’eau est de 10^-5 m.

0 dg z

c_eau

Figure VI.12 : Schéma d’un grain de levures en début de séchage.

Surface du grain Interface grain

Couche d’eau ceau

Couche stagnante gaz +vapeur d’eau (dg)

grain rg

r

Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.23

En fin de période de séchage à vitesse constante, la couche d’eau ceau entourant les grains est totalement évaporée et l’évaporation de l’eau (eau de type C (cf. V.2.4)) dans les pores du grain débute, ce qui se traduit mathématiquement par une augmentation de l’épaisseur de la couche stagnante de gaz, appelée alors dgn (Figure VI.13) et par la diminution du rayon de l’interface rinter entre le liquide et le gaz (rinter < rgr). La surface d’évaporation diminue, l’eau n’est plus présente qu’à l’intérieur des pores.

dg dgn

Figure VI.13 : Représentation de la couche de gaz entourant les grains de levures.

Le ralentissement de la vitesse de séchage est supposé provoqué, en phase de séchage à vitesse décroissante, par une diminution de la surface d’évaporation et par l’allongement du trajet dgn à parcourir par la vapeur d’eau, en tenant compte de la tortuosité des pores.

L’introduction dans ce modèle de la diminution de la surface d’évaporation permet de contourner deux des problèmes rencontrés dans le premier modèle que sont l’invariance du diamètre des grains de levures et la non-limitation de la diffusion de vapeur d’eau dans le grain.

VI.2.1. Hypothèses du modèle.

Le modèle mathématique repose sur les hypothèses suivantes dont les quatre premières ont été explicitées précédemment (cf. VI.1.1 Hypothèses du premier modèle) :

H1. Le sécheur est assimilé à un réacteur parfaitement mélangé, à l’exception des fines couches au contact des interfaces.

H2. Le lit fluidisé est considéré homogène, si la vitesse de l’air dans le lit fluidisé est inférieure à 5 umf. Au-delà de cette valeur, le lit fluidisé est considéré hétérogène (présence de bulles d’air) (cf. VI.1.6).

H3. Le sécheur est considéré adiabatique.

H4. La température dans les grains de levures est uniforme.

H5. La phase de séchage à vitesse constante correspond à l’évaporation de l’eau de type D (aw ≈ 1) [Rozis ,1995] [McQuarrier, et al. ,2000] [Davidson, et al. ,2001].

Ce type d’eau est représenté dans ce modèle par une couche d’eau d’épaisseur ceau

entourant le grain (Figure VI.12). L’interface gaz-liquide est à l’équilibre thermodynamique ce qui implique l’égalité des potentiels chimiques de la phase liquide et de la phase gazeuse [Haut ,2000].

grain eau pore

H6. L’interface gaz-liquide est considérée en régime quasi-stationnaire. En effet, bien que l’interface se déplace de manière continue, les profils de concentration et de température retournent de manière « instantanée » à l’expression qu’ils auraient en régime permanent si la position de l’interface ne variait pas [Buchlin ,2001]

H7. Dans le cas du séchage de levures en lit fluidisé, la phase de séchage à vitesse décroissante débute lorsque l’humidité du solide atteint la valeur critique de 1,2-1,4 (= Xcr), valeurs déterminées expérimentalement pour la levure étudiée et dans les conditions de séchage explorées (cf. Partie IV.1.2). Cette phase de séchage se caractérise par l’évaporation de l’eau présente dans les pores des grains de levures (Figure VI.13).

VI.2.2. Equations du modèle.

Les équations du modèle sont constituées des bilans enthalpique et massique à l’interface, des bilans enthalpique et massique dans la phase gazeuse, du bilan massique sur le solide et des bilans enthalpique et massique au niveau de la couche stagnante de gaz. Comme pour le premier modèle, le bilan enthalpique sur le solide n’est pas considéré isolément. Quant à la forme des expressions mathématiques des bilans, elle est à nouveau fixée par le type de réacteur envisagé.

VI.2.2.1. Bilan enthalpique à l’interface.

L’interface sépare l’eau liquide qui imprègne le solide de la couche de gaz (gaz + vapeur d’eau) entourant le solide humide.

Le bilan enthalpique sur l’interface s’écrit : Energie nécessaire à

l’évaporation de l’eau liquide

= Chaleur transférée par conduction dans le gaz à l’interface

- Variation d’enthalpie du mélange (solide- liquide)

4 2

v ev gr gr

L m πr N 4 2

eau

thair gr gr

c

T r N

λ ^⎛_⎜^∂z ^⎞_⎟ π

⎝ ∂ ⎠

dHm

dt où Lv : chaleur latente de vaporisation (J kg^-1)

mev : flux d’évaporation (kg m^-2 s^-1) rgr : rayon du grain (m)

Ngr : nombre de grains (-)

λthair : conductivité thermique de l’air (W m^-1 K^-1) dHm : variation d’enthalpie du mélange solide-liquide (J)

La variation d’enthalpie du mélange est égale à la somme de la variation d’enthalpie du solide et de celle du liquide, la variation d’enthalpie d’un constituant étant égale, à pression constante, à l’énergie calorifique reçue par celui-ci.

( )

m inter l inter

sol psol sol f sol pl inter e sol pl

dH dT dX dX dT

m c m H m c T T Xm c

dt = dt + dt + dt − + dt