VI.2. Second modèle
VI.2.5. Résultats obtenus par le modèle mathématique
La résolution des équations de bilan est réalisée par le solveur d’équations différentielles ODE23s du logiciel de calcul Matlab version 6.1.0.450. La résolution des équations nécessite l’introduction des caractéristiques de l’air (chaleur spécifique cpair, conductivité thermique λthair, masse volumique ρair), et de la chaleur de vaporisation de l’eau Lv, ces grandeurs sont dépendantes de la température (T en K) et sont donc recalculées par les équations VI.29 à VI.32 à chaque variation de température :
3 7 2 0, 9774 0,1124 10 0,19035 10 pair c = + ⋅ − T + ⋅ − T (J kg-1 K-1) (VI.29) 5 4 10 0, 0246 thair T λ = ⋅ − + (W m-1 K-1) (VI.30) 341, 25 air T ρ = (kg m-3) (VI.31) 3173 2, 48 v L = − T (kJ kg-1) (VI.32)
Les Figures VI.15 à VI.17 présentent les courbes modélisées (traits pleins rouges) et expérimentales (points bleus) des trois variables X (humidité du solide), Y (humidité de l’air de séchage) et T (température de l’air de séchage) en fonction du temps respectivement pour les expériences Sclf20, Sclf21 et Sclf21012 dont les paramètres opératoires sont repris dans le Tableau VI.5 :
Nom de l’essai Sclf20 Sclf 21 Sclf 210 Masse de levures avant séchage
(g)
602 416 453
Taille des grains (mm) 1 1 1,5
Humidité du solide avant séchage (%)
71 71 71 Débit d’air (kg s-1) expérimental 0,048 0,06 0,038 Débit d’air (kg s-1) utilisé dans
le modèle
0,04 0,04 0,038 Humidité de l’air de séchage à
l’entrée du lit fluidisé Ye (g d’eau/kg d’air)
9 9,7 variable
Température de l’air de séchage à l’entrée du lit fluidisé Te (K)
301 298 variable
Tableau VI.5 : Données expérimentales et utilisées dans le modèle mathématique pour les essais Sclf20, Sclf21 et Sclf210.
Lors des essais Sclf20 et Sclf21, les caractéristiques d’entrée de l’air de séchage sont maintenues constantes pendant tout l’essai. Par contre l’essai Sclf210 se caractérise par une humidité et une température de l’air de séchage à l’entrée du lit fluidisé variant dans le temps. Cet essai se rapproche des conditions industrielles de séchage. En effet, en début de séchage l’air de séchage est très chaud et pas totalement sec (pré-séchage), ensuite l’air de séchage est refroidi et son humidité relative est nulle (séchage final) (cf. Partie VII. Optimisation).
12
Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.37
Les valeurs des paramètres ajustés, lors des simulations présentées en Figures VI.15 à VI.17, sont 1,7 10-4 m pour l’épaisseur de la couche de gaz stagnante dg et 10 pour la tortuosité τ. L’humidité critique Xcr est prise égale à 1,2 (H7).
Figure VI.15 : Evolution de l’humidité absolue et de la température de l’air à la sortie du lit fluidisé ainsi que de l’humidité absolue de la levure en fonction du temps. Courbes modélisées (courbes rouges) par le second modèle et points
Figure VI.16 : Evolution de l’humidité absolue et de la température de l’air à la sortie du lit fluidisé ainsi que de l’humidité absolue de la levure en fonction du temps. Courbes modélisées (courbes rouges) par le second modèle et points
expérimentaux (points bleus) pour l’essai .Sclf21.
Figure VI.17 : Evolution de l’humidité absolue et de la température de l’air à la sortie du lit fluidisé ainsi que de l’humidité absolue de la levure en fonction du temps. Courbes modélisées (courbes rouges) par le second modèle et points
Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.39
Le temps de séchage (temps nécessaire pour atteindre une valeur déterminée de l’humidité du solide X) prédit par le modèle est de l’ordre de grandeur de celui observé expérimentalement. Ce modèle permet de simuler l’évolution de l’humidité du solide sur l’entièreté de la durée de séchage. Il permet également de simuler l’évolution de l’humidité et de la température de l’air de séchage de la phase de séchage à vitesse constante13. Le passage de la phase de séchage à vitesse constante (phase 2) à la phase de séchage à vitesse décroissante (phase 3) intervient lorsque l’humidité du solide atteint l’humidité critique Xcr. Au début de la phase 3 de séchage, la vitesse de séchage simulée ralentit plus fortement comparé à celle observée expérimentalement provoquant une diminution plus rapide de l’humidité de l’air de séchage et une augmentation également plus rapide de la température de l’air de séchage simulée. Ensuite, les évolutions en fonction du temps de l’humidité et de la température de l’air de séchage simulées et expérimentales sont similaires.
Une modification du coefficient de transfert de masse k est produite par une modification de l’épaisseur de la couche stagnante de gaz dg, d’après la relation(VI.27) . Une diminution du coefficient de transfert de masse k et donc une augmentation de l’épaisseur de la couche stagnante de gaz dg provoque une diminution du flux d’évaporation qui se traduit par un ralentissement de la vitesse de séchage en phase de séchage à vitesse constante (Figure VI.18b). Une augmentation du coefficient de transfert de masse k et donc une diminution de l’épaisseur de la couche stagnante de gaz dg a peu de répercussions sur les courbes d’évolution de l’humidité et de la température de l’air de séchage ainsi que sur l’évolution de l’humidité de la levure (Figure VI.18a).
13
Les premières minutes de séchage correspondent à la première phase de séchage, phase de mise à température de l’installation. Cette phase n’est pas prise en compte dans le modèle mathématique, il ne peut donc pas simuler la température observée.
(a) (b)
Figure VI.18 : Courbes modélisées par le second modèle (dg = 5 10-5 m (a) et dg = 1,7 10-3 m (b), τ = 10 (a et b)) et points expérimentaux pour l’essai Sclf20.
L’épaisseur de la couche stagnante de gaz dg et donc le coefficient de transfert de masse k
modifie le flux d’évaporation mev, dont l’expression finale, obtenue à partir des relations VI.16, VI.17, VI.21, est :
(
4 2)
( )
air ev inter e gr gr air DG m Y dgG r N D Y ρ π ρ = − + (VI.33)Le dénominateur de la relation (VI.33) est la somme de deux termes dont le premier est composé du produit de l’épaisseur de la couche stagnante de gaz dg et du débit d’air G dont l’ordre de grandeur est 10-2 kg s-1, le second terme est un produit de 5 termes dont l’ordre de grandeur est 10-4. Le second terme de la somme masquera donc l’influence du produit de l’épaisseur de la couche stagnante de gaz dg par le débit d’air G lorsque l’épaisseur dg sera inférieure à 10-4 m.
Une augmentation de la tortuosité τ(Figure VI.19a) provoque un ralentissement de la vitesse de séchage en phase 3, en allongeant la distance à parcourir par l’eau sous forme vapeur (Figure VI.13). La durée de séchage simulée nécessaire pour obtenir de la levure de même matière sèche qu’expérimentalement est donc plus grande. Une diminution de la tortuosité τ (Figure VI.19b) va augmenter la vitesse de séchage en phase 3, ce qui engendre une diminution plus rapide de l’humidité de la levure et donc une diminution également plus rapide de la surface d’échange puisque l’évolution de la surface d’échange est fonction de l’évolution de l’humidité de la levure (relation VI.20).
(a) (b)
Figure VI.19 : Courbes modélisées par le second modèle τ = 20 (a) et τ = 5 (b), dg = 1,7 10-4 m (a et b) et points expérimentaux pour l’essai Sclf20.
Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.41
VI.2.6. Conclusions.
L’allure générale des courbes de séchage pour X (humidité du solide), Y (humidité du gaz de séchage) T (température de l’air de séchage), simulées par ce second modèle, reproduit l’évolution des points expérimentaux pour une tortuosité τ de 10 et une couche stagnante de gaz dg de 1,7 10-4 m.
La phase de séchage à vitesse constante est particulièrement bien simulée, peu de différences existent entre les valeurs des trois variables étudiées obtenues par le modèle 2 et leurs valeurs expérimentales. Seul le début de cette phase présente des différences entre la simulation et l’expérience en raison de l’impossibilité de modéliser la mise à température de l’installation qui a lieu en début d’opération de séchage et qui constitue la phase 1 de séchage, la phase de mise en régime.
Le passage de la phase de séchage à vitesse constante (phase 2) à la phase de séchage à vitesse décroissante (phase 3) est provoqué lorsque l’humidité du solide atteint l’humidité appelée critique Xcr. L’humidité critique dépend du solide séché (nature et forme) et de la vitesse de séchage en phase 2, sa valeur est évaluée expérimentalement (peu de mesures de l’humidité du solide en cours de séchage).
Quant à la phase de séchage à vitesse décroissante, l’évolution de la simulation suit l’évolution des points expérimentaux mais avec un léger décalage (de l’ordre de 1°C pour la température de l’air de séchage, 0,0007 pour l’humidité de l’air de séchage et 0,05 pour l’humidité du solide).
Les différences entre la modélisation de la phase de séchage à vitesse constante et la modélisation de la phase de séchage à vitesse décroissante sont l’augmentation du chemin que doit parcourir la vapeur d’eau pour quitter les grains de levures et la diminution de la surface d’évaporation. La modélisation de la troisième phase de séchage tient compte également de la courbure de l’interface eau-gaz dans les pores des grains de levures.
VI.3. Conclusions.
Les hypothèses à la base du premier modèle mathématique développé concernent : - le sécheur : réacteur parfaitement mélangé, adiabatique et homogène,
- la levure : les grains de levures sont des sphères de mêmes dimensions et dont les dimensions ne varient pas pendant le séchage, ils sont uniformes en température, - l’air de séchage : la phase gazeuse est uniforme,
- le transfert de matière : le transfert de l’eau se fait sous forme vapeur et sa diffusion dans les grains n’est pas limitante.
Ce modèle contient un paramètre ajustable k et utilise une isotherme de désorption. Les courbes d’évolution en fonction du temps de l’humidité Y et de la température T de l’air de séchage et de l’humidité de la levure X simulées par ce modèle sont similaires aux courbes expérimentales en ce qui concerne la phase de séchage à vitesse constante. Seule la durée de cette phase diffère. Elle est plus longue lors des simulations. En ce qui concerne la phase de séchage à vitesse décroissante, les courbes simulées n’évoluent pas de la même manière que les courbes expérimentales. En effet, lors de la simulation, la troisième phase de séchage débute lorsque l’humidité du solide atteint la valeur de 0,45. Or expérimentalement cette valeur appelée humidité critique Xcr a été évaluée à environ 1,2. De plus, la durée de la troisième phase de séchage obtenue par simulation à l’aide du premier modèle est beaucoup plus courte en regard de l’expérimentation. La troisième phase de séchage est provoquée par la diminution du flux de matière qui lui-même est induit par l’isotherme de désorption introduite dans le modèle.
Ce premier modèle permet de reproduire la phase 2 de séchage et semble mettre en évidence la présence de bulles d’air dans le lit fluidisé lorsque le débit d’air à l’entrée du lit fluidisé est trop élevé. L’air emprisonné dans ces bulles ne participe pas à l’échange de matière entre le solide et l’air de séchage. Une augmentation de la vitesse de l’air à l’entrée du lit fluidisé supérieure à 5 umf n’augmente plus la vitesse de séchage, une partie de cet air ne participera pas à l’évaporation de l’eau présente dans la levure.
Les courbes obtenues à l’aide du premier modèle ont montré la nécessité de se libérer de l’emploi des isothermes de désorption, qui suppose l’établissement de l’équilibre entre l’air et le solide et dont il est difficile de trouver une expression mathématique reprenant l’ensemble des conditions opératoires. De plus, l’hypothèse de l’invariance de la taille des grains de levures s’avère être à reconsidérer en regard des photos prises au microscope électronique (Figure VI.1).
L’objectif du second modèle est de tenter de contrecarrer les faiblesses rencontrées par le premier modèle et donc d’obtenir des courbes simulées évoluant parallèlement aux courbes expérimentales. Ce second modèle se base sur les hypothèses suivantes :
- le sécheur est considéré comme un réacteur parfaitement mélangé, adiabatique et homogène,
- les grains de levures sont uniformes en température,
- l’évaporation prend place à l’interface gaz-liquide qui est considérée à l’équilibre thermodynamique et en régime quasi-stationnaire,
- le passage de la phase de séchage à vitesse constante à la phase de séchage à vitesse décroissante débute lorsque l’humidité du solide atteint l’humidité critique
Modélisation mathématique de l’opération de séchage. VI.43
L’hypothèse de l’équilibre thermodynamique de l’interface gaz-liquide permet l’emploi de la loi de Clapeyron dans l’expression du flux de matière à l’interface gaz-liquide, ce qui a permis d’éviter l’emploi d’une isotherme de désorption pour relier l’humidité de l’air de séchage à l’humidité du solide
La variation du diamètre des grains de levures n’a pas été pris en compte en tant que telle mais le lieu de l’évaporation (front d’évaporation) évolue en fonction de l’évolution de l’humidité du solide pendant la troisième phase de séchage. La porosité des grains de levures et leur tortuosité sont également considérées. En phase de séchage à vitesse constante, l’humidité de la levure est modélisée par une couche d’eau fictive entourant les grains (la levure est fortement hydratée) dont l’épaisseur a été estimée à 10-5m.
Le second modèle développé permet de simuler aussi bien la phase de séchage à vitesse constante que la phase de séchage à vitesse décroissante.
L’intérêt de la modélisation mathématique de l’opération de séchage est de compléter les données expérimentales plus difficilement mesurables (comme l’évolution de l’humidité du solide) mais surtout de pouvoir observer, sans nécessiter de nouvelles expériences, l’impact de modifications des paramètres opératoires sur le temps de séchage, l’évolution de la matière sèche de la levure et la température dans le lit fluidisé14 .
14
Il a été montré lors de l’étude expérimentale du séchage de la levure (Partie IV) que celle-ci était sensible à la
température ainsi qu’aux changements brusques de température, il donc important d’évaluer l’impact de changements des conditions opératoires sur la température dans le lit fluidisé.