UNIVERSITÉ MOHAMED I
Faculté Des Sciences Ann e Universitaire 2011/12
Département De Mathématiques Section SMA, S5
Et Informatique Module de Géométrie et
O u j d a Théorie des groupes
Session ordinaire - Durée : 1H 30
Examen de Théorie des groupes
Questions de Cours : Soient G1 etG2 deux groupes, H1 un sous-groupe normal de G1 et H2 un sous-groupe normal de G2.
1) Montrer que H1× H2 est un sous-groupe normal de G1× G2.
2) Montrer que (G1× G2)/(H1× H2) est isomorphe à (G1H1)× (G2H2). 3) Donner ( à isomorphisme près ) tout les groupes abéliens d'ordre 72.
Exercice I : Soient G un groupe, p un nombre premier divisant l'ordre de G et H un sous-groupe de G.
1) Montrer que si P est un p-sous-groupe de Sylow de G tel que P∩ H 6= {e} alors il existe g ∈Gtel que gP g−1∩H est un p-sous-groupe de Sylow de H.
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2) Montrer que si P est un p-sous-groupe de Sylow de G tel que NG(P) ⊂ H alors NG(H) =H.
3) Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de Get pun nombre premier divisant l'ordre de N. Montrer que si P est unp-sous-groupe de Sylow de N alorsG=N.NG(P). Exercice II Soit V ={id; (12)(34); (13)(24); (14)(23)} ⊂S4 groupe des permutations sur un ensemble à quatre éléments{1,2,3,4} .
1) Montrer que V est un sous-groupe normal de S4.
2) Soit S ={σ∈S4|σ(4) = 4}. Montrer que S est un sous-groupe de S4 isomorphe à S3. 3) Montrer que S4 =V S, et que V ∩S ={id}.
4) En utilisant le 2ème théorème d'isomorphisme, montrer que S4/V 'S3. 5) Combien y a-t-il de sous-groupes normaux de S4 contenant V ?
Bonne chance et bon courage.
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UNIVERSITÉ MOHAMED I
Faculté Des Sciences Ann e Universitaire 2011/12
Département De Mathématiques Section SMA, S5
Et Informatique Module de Géométrie et
O u j d a Théorie des groupes
Session ordinaire - Durée : 1H 30
Examen de Théorie des groupes
Questions de Cours : Soient G1 etG2 deux groupes, H1 un sous-groupe normal de G1 et H2 un sous-groupe normal de G2.
1) Montrer que H1× H2 est un sous-groupe normal de G1× G2.
Réponse : Le groupe produit directe H1× H2 a même loi que le groupe produit directe G1 × G2 à savoir (h1, h2)(g1, g2) = (h1g1, h2g2) et comme H1 × H2 ⊂ G1 × G2 on a H1 × H2 sous-groupe de G1 × G2. Pour la normalité de H1 × H2 dans G1 × G2, soient (g1, g2) ∈ G1 × G2 et (h1, h2) ∈ H1 × H2 alors (g1, g2)(h1, h2)(g1, g2)−1 = (g1h1g1−1, g2h2g2−1)∈H1× H2 car H1 (resp.H2) est distingué dans G1 (resp. dans G2).
2) Montrer que (G1× G2)/(H1× H2) est isomorphe à (G1H1)× (G2H2).
Réponse : Le morphisme produit de projections de G1 × G2 dans G1H1× G2H2 est surjectif dont le noyau est précisément H1× H2, le premier théorème d'isomorphisme donne le résultat.
3) Donner ( à isomorphisme près ) tout les groupes abéliens d'ordre 72.
Réponse : Un tel groupe est isomorphe à : Z/72Z si son exposant est 72
Z/36Z×Z/2Zsi son exposant est 36 Z/24Z×Z/3Zsi son exposant est 24
Z/18Z×Z/2Z×Z/2Z si son exposant est 18 Z/12Z×Z/6Zsi son exposant est 12
Z/6Z×Z/6Z×Z/2Z si son exposant est 6.
Exercice I : Soient G un groupe, p un nombre premier divisant l'ordre de G et H un sous-groupe de G.
1) Montrer que si P est un p-sous-groupe de Sylow de G tel que P∩ H 6= {e} alors il existe g ∈G tel que gP g−1∩H est un p-sous-groupe de Sylow de H.
Réponse : En remarque que l'hypothèse P∩H 6={e}implique que pdivise l'ordre deH, par suite tout sous-groupe d'indice premier à pdansH est un p−Sylow de H. L'ensemble des classes de G modulo P à gauche est un ensemble sur le quel H opere par translation
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à gauche, il suit que la somme des cardinaux des diérents orbites sous cette action est l'indice[G:P]qui est premier àpcarP est unp−Sylow deG; par conséquence le cardinal de l'un des orbite est premier à p; disons c'est l'orbite de gP, ainsi le stabilisateur de gP est d'indice dans H premier à p c'est donc un p−Sylow de H, or le stabilisateur st(gP) de gP est {h∈Htel quehgP =gP}={h∈Htel quehgP g−1 =gP g−1}et comme gP g−1 est un groupe on obtient st(gP) = {h∈H∩gP g−1}=gP g−1∩H est un p−Sylow deH. 2) Montrer que si P est un p-sous-groupe de Sylow de G tel que NG(P) ⊂ H alors NG(H) =H.
Réponse : L'inclusion H ⊂ NG(H) est évidente. Soit x ∈ NG(H) alors x−1P x est un p−Sylow de H car P l'est aussi par l'hypothèse que P ⊂ NG(P) ⊂ H et P p−Sylow de G, donc il existe h ∈H tel que hP h−1 =x−1P xainsi hx est dansNG(P), donc dans H, par suite x∈H, d'où l'égalité NG(H) =H.
Remarque Le résultat reste vrai si on remplace l'hypothèse : P est un p−Sylow de G, par : P est un p−Sylow d'un certain sous-groupe normal de G.
3) Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et pun nombre premier divisant l'ordre de N. Montrer que si P est unp-sous-groupe de Sylow de N alors G=N.NG(P). Réponse : Soit x∈GalorsxP x−1 est un p−Sylow de xN x−1 =N, donc∃h∈N tel que xP x−1 = hP h−1 c-à-d tel que h−1xP x−1h =P ainsi g = h−1x ∈ NG(P) par suite hg = x∈N.NG(P), d'où l'inclusion G⊂N.NG(P). Par l'inclusion évidente N.NG(P)⊂G, on obtient le résultat voulu.
Exercice II Soit V ={id; (12)(34); (13)(24); (14)(23)} ⊂S4 groupe des permutations sur un ensemble à quatre éléments{1,2,3,4} .
1) Montrer que V est un sous-groupe normal de S4.
Réponse :L'ensemble V est non vide, stable par le produit, d'autre part, l'inverse de chaque élément de V est dans ce cas, l'élément lui même , ainsi V est un sous-groupe de S4. Soit i, j, k, l ∈ {1,2,3,4} tel que card{i, j, k, l} = 4, alors pour tout σ ∈ S4 on a card{σ(i), σ(j), σ(k), σ(l)}= 4 il suit que σ(i, j)(k, l)σ−1 = (σ(i), σ(j))(σ(k), σ(l)) est un élément de V, l'égalité est immédiate par calcul des images des point dans {1,2,3,4} = {σ(i), σ(j), σ(k), σ(l)}.
2) Soit S ={σ∈S4|σ(4) = 4}. Montrer que S est un sous-groupe de S4 isomorphe à S3. Réponse : L'ensemble S est le stabilisateur de l'élément 4 pour l'action de S4 sur l'en- semble {1,2,3,4} c'est donc un sous-groupe de S4 dont l'ordre est 24 = |S4| diviser par le cardinal de l'orbite de 4qui est card{1,2,3,4}= 4, donc est un sous-groupe d'ordre 6, de plus il n'est pas commutatif car par exemple (1,2)(1,3)6= (1,3)(1,2), par consequence S ' S3 car il n'existe (à isomorphisme pres ) que deux groupes d'ordre 6 à savoir Z/6Z et S3.
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3) Montrer que S4 =V S, et que V ∩S ={id}.
Réponse : l'ensemble V S est un sous-groupe de S4 résulte du fait que V est distingué dans S4, son ordre vérier |V S|=|V|.|S|/|V ∩S| or le seul élément de V qui stabilise 4 est l'identité, donc V ∩S =id et |V S|= 24 , ainsi V S =S4.
4) En utilisant le 2ème théorème d'isomorphisme, montrer que S4/V 'S3.
Réponse : Le groupe V distingué dans S4 = V S donc d'après le 2ème théorème d'iso- morphisme on a S4/V =V S/V 'S/V∩=S 'S3.
5) Combien y a-t-il de sous-groupes normaux de S4 contenantV ?
Réponse : L'ordre d'un tel sous-groupe doit diviser 24 = |S4| et doit être divisible par 4 = |V|, ainsi son ordre est dans {4,8,12,24}, on tire de là que les candidats possibles sont les suivants : V, les2−Sylow de S4 , A4 ou S4. Pour S4 , A4 etV ils sont normaux dansS4, donc conviennent, par contre les 2−Sylow ne conviennent pas puisque ils ne sont pas normaux dans S4. Conclusion il y a 3 sous-groupes normaux dans S4 dont V est un sous-groupe.
Bonne chance et bon courage.
