Cours chapitre 13

1 Force

1.1 Définition

Une force est un phénomène physique capable de déformer un corps, de le mettre en mouvement ou de modifier son mouvement.

Exemples : l’application d’une force de traction sur un ressort a pour effet de l’étirer (déforma- tion) ; la force propulsive des réacteurs d’une fisée lui permet de décoller (mise en mouvement) ; la force exercée par les freins d’un véhicule diminue sa vitesse (modification d’un mouvement).

1.2 Éléménts caractéristiques d’une force

Les éléments caractéristiques d’une force sont :

— Son point d’application.

— Sa direction ou droite d’action

— Son sens (il y a deux sens possibles pour une direction)

— Son intensité qui rend compte de l’ampleur des effets de la force.

La mesure de l’intensité d’une force est réalisée à l’aide d’un dynamomètre. L’unité de mesure est le newton, de symbole N.

1.3 Représentation d’une force

Une force est représentée par une flèche, de la même façon qu’un vecteur. On a représenté ci-dessous une force inclinée de 30par rapport à l’horizontale, orientée vers la droite et dont l’intensité vaut 300 N (1 cm correspond ici à 100 N).

Figure1 – Représentation d’une force

1.4 Résultante de deux forces

La résultante de deux forces est la force unique qui aurait le même effet que ces deux forces réunies (appelées composantes). On obtient graphiquement la résultante de deux forces en construisant leur somme vectorielle. La résultante R~ deF~₁ et de F~₂ est portée par la diagonale du parallélogramme ayant ces deux forces pour côtés.

Figure2 – Résultante de deux forces

1.5 Cas particulier du poids

1.5.1 Définition

Le poids d’un corps (ou force de pesanteur) est la force d’attraction que la Terre exerce sur lui.

1.5.2 Éléments caractéristiques du poids

— Point d’application : centre de gravité, ou centre de masse, noté généralement G.

— Direction : la verticale passant par le centre de gravité.

— Sens : de haut en bas.

— Intensité : elle dépend du lieu où se trouve le corps et la quantité de matière qu’il contient, que l’on appelle sa masse. La masse se masure à l’aide d’une balance et s’exprime en kilogrammes, de symbole kg. Le poids s’exprime évidemment en newtons. L’intensité P du poids d’un corps est reliée à sa masse m par l’expression

P =m·g

dans laquelle g est une constante dont la valeur dépend du lieu où on se trouve (en France, g = 9,81 N·kg⁻¹).

2 Travail d’une force constante

2.1 Définition

Le travail d’une force est un travail mécanique. Un travail est noté W (première lettre du mot work qui en anglais signifie travail). Un travail est un mode de transfert ordonné d’énergie entre un système et son environnement. En effet, il existe un autre mode de transfert, désordonné, d’énergie qui est la chaleur, notée Q. Tout comme l’énergie, un transfert d’énergie s’exprime en joules de symbole J. À la différence de l’énergie qui est toujours positive, un transfert d’énergie peut être positif ou négatif. Par convention, on compte positivement l’énergie reçue par le système (qui va de l’environnement vers le système) et négativement l’énergie sortant du système (qui va du système vers l’environnement).

2.2 Travail accompli dans un mouvement de translation

2.2.1 Cas d’un déplacement parallèle à la direction de la force

Figure3 – Cas d’un déplacement de même direction et de même sens que la force Le travail W accompli par une forceF~ au cours du déplacement de longueur l a pour expression :

W =F ·l Le travail se mesure en joules, de symbole J.

Le joule est le travail accompli par une force d’intensité 1 newton se déplaçant dans sa direction d’une distance de 1 mètre.

Remarques :

— Si la force et le déplacement sont de même sens, la force accomplit un travail moteur (positif, ce qui signifie que notre système reçoit de l’énergie de l’environnement).

— Si la force et le déplacement sont de sens contraire, la force accomplit un travailrésistant (négatif, ce qui signifie que notre système donne de l’énergie à l’environnement, il perd de l’énergie).

2.2.2 Cas d’un déplacement orthogonal à la direction de la force

Le travail accompli par la force est alors nul. La force ne contribue pas au transfert d’énergie entre le système et l’environnement qui ne reçoit et qui ne perd pas d’énergie du fait d’une telle force.

W = 0

2.2.3 Cas d’un déplacement de direction quelconque par rapport à la direction de la force

Figure4 – Cas d’un déplacement de direction quelconque

Si la direction de la force fait un angle α avec la direction du déplacement, l’expression du travail est :

W =F ·l·cosα

2.2.4 Utilisation du produit scalaire pour calculer le travail d’une force F~ dont le point d’application passe du point A au point B

Le travail d’une forceF~ dont le point d’application passe de A à B est égal au produit scalaire de la force F~ par le vecteur déplacement AB~ soit :

A→BW (F~) = F~ ·AB~ = F~

·

AB~

· cos(AB, ~\~ F) = F ·l·cosα Cas général :

F~





 F_x F_y F_z

, AB~







x_B−x_A y_B−y_A z_B−z_A

⇐⇒ F~·AB~ =Fx·(xB−xA) +Fy·(yB−yA) +Fz·(zB−zA)

Déplacement et force selon l’axe (O,x), cas de la Figure 3 :

F~







F_x >0 =F 0

0

, AB~







x_B−x_A 0

0

⇐⇒F~·AB~ =F·(x_B−x_A) =

(F ·l si x_B > x_A

−F ·l si x_B < x_A Déplacement vers la droite selon l’axe (O,x), et force dans le plan (0,x,z) cas de la Figure 4 :

F~





 F_x 0 F_z

, ~AB







x_B−x_A >0 0

0

⇐⇒F~·AB~ =F_x·(x_B−x_A) =F·cosα·(x_B−x_A) = F·l·cosα

2.3 Travail du poids

Figure5 – Le travail du poids

Le travail accompli par un corps de poids P~ qui tombe d’une hauteur h est : W =P ·h=m·g·h (travail moteur)

Le travail accompli par un corps de poids P~ qui monte d’une hauteur h est : W =−P ·h =−m·g·h (travail résistant)

P~





 0 0

−mg

, ~AB







x_B−x_A y_B−y_A z_B−z_A

⇐⇒P~ ·AB~ = 0·(xB−xA) + 0·(yB−yA) +−mg·(zB−zA)

A→BW (P~) =mg·(z_A−z_B) =

(m·g·h >0 si z_A> z_B (h =z_A−z_B >0)

−m·g·h <0 si z_A< z_B (h=z_B−z_A>0)

Remarques :

— Le travail du poids est indépendant du chemin suivi. Il ne dépend que de la dénivellation h (toujours positive). Il est moteur donc positif lors d’une descente (z_A> z_B) et résistant donc négatif lors d’une montée (z_A< z_B).

— Le travail moteur lors de la descente (hauteur de descente h) est identique en valeur absolue à celui qu’il faut fournir au système pour augmenter l’altitude du centre de gravité de cette même valeur h (hauteur de montée h).

3 Énergie cinétique

3.1 Définition

E_c= 1

2·m·v²

— E_c : énergie cinétique en joules, symbole J.

— m : masse du système en kilogrammes, symbole kg.

— v : vitesse du système en mètres par seconde, symbole m·s¹.

3.2 Exemples

Soit une voiture de 1t roulant à 90 km/h, calculons son énergie cinétique : E_c= ¹₂·m·v² = ¹₂·1000·kg· ^90·km_1·h 2

= ¹₂·1000·kg· ^90000·m_3600·s 2

= ¹₂·1000 kg·

90

3,6 ·m·s⁻¹2

E_c= ¹·1000·

902

·kg·m²·s⁻² = ¹·1000·25²·J = 500·25²J = 500·625J = 312500J = 312,5kJ

4 Théorème de l’énergie cinétique

4.1 Énoncé

La variation d’énergie cinétique d’un système est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées sur le système :

∆Ec A→B

=Ec(B)−Ec(A) = ¹₂ ·m·v²_B−¹₂ ·m·v_A² = ¹₂ ·m·(v²_B−v_A²) = P

A→BW F~ext

4.2 Applications

On laisse tomber en chute libre sans vitesse initiale un objet du point A. Il atteint un point B, juste avant de toucher le sol. Calculer la vitesse de l’objet en B, juste avant de toucher le sol en utilisant le théorème de l’énergie cinétique. On négligera tous les frottements avec l’air lors de la chute libre.

∆Ec A→B

= Ec(B)−Ec(A) = ¹₂·m·v_B² −¹₂·m·v²_A = ¹₂·m·(v_B² −v_A²) = ¹₂·m·(v_B² −0²) = ¹₂·m·v_B² Et

P W

A→B

F~_ext

= W

A→B

P~

=mgh Donc

1

2 ·m·v²_B = m·g·h ⇐⇒ ¹₂ ·v_B² = g·h ⇐⇒ v²_B = 2·g·h ⇐⇒ v_B =√

2·g·h

On remarque donc que la vitesse est indépendante de la masse m du système mais ne dépend que de la hauteur de chute.

Figure 6 – Vitesse au sol en fonction de la hauteur de chute libre sans vitesse initiale