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Correction des SLCI
TABLE DES MATIÈRES
I La correction ... 2
Nécessité d’une correction ... 2
Types de correction ... 2
II Les correcteurs ... 3
Principe de la réflexion ... 3
Correcteur Proportionnel (P) ... 4
Correcteurs Proportionnels Intégrale (PI) ... 4
Correcteur Proportionnel Dérivée (PD) ... 5
Correcteur Proportionnel Intégral Dérivée (PID) ... 6
Filtre Réjecteur (coupe bande) ... 7
III Réalisation pratique des correcteurs ... 7
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I La correction
Nécessité d’une correction
Un problème d’asservissement se caractérise par :
• Un système à asservir défini par sa fonction de transfert H p( ).
• La grandeur de sortie et la grandeur d’entrée.
• Des perturbations
• Un cahier des charges qui impose : o La stabilité du système o Un temps de réponse minimal o Un dépassement maximal o Une précision minimale
Dans un premier temps, on réalise l’étude du système sans correction. En général, on constate que le système n’est pas conforme au cahier des charges. On est donc amené corrigé le système en introduisant dans la chaîne un correcteur.
Types de correction
Il existe 3 grandes familles de correction en fonction de la place du correcteur dans la chaîne.
Correction Série
La correction série consiste à positionner le correcteur à la sortie du comparateur. C’est la correction la plus utilisée.
Car :
• On est dans la partie de commande des actionneurs et donc la puissance est faible.
• On est avant les perturbations ce qui permet de corrigé l’influence de la perturbation.
Correction Parallèle ou en boucle imbriquée
La correction parallèle consiste, lorsque l’on peut mesurer plusieurs grandeurs de la chaîne, à ajouter une boucle de retour interne avec un correcteur. Le correcteur est alors positionné soit dans la boucle de retour ou plus généralement à la sortie du 2nd comparateur.
L’exemple le plus classique est la régulation en courant ou la régulation tachymètre d’un moteur à courant continu.
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Correction par anticipation (ou compensation)
La correction par anticipation peut être réalisée
• Sur l’entrée : l’écart est alors annulé sans introduire d’intégrateur dans le système.
• Sur les perturbations, à condition qu’elles soient mesurables. La perturbation est alors éliminée du système.
Le principe est de « réinjecter » directement dans la chaîne l’entrée (ou la perturbation) en compensant les fonctions de transfert. Voir schémas ci-dessous :
Anticipation sur l’entrée
Anticipation sur la perturbation
La correction par anticipation ne modifie pas le dénominateur de la FTBF. Donc elle n’influence pas la stabilité du système.
II Les correcteurs
Nous nous placerons ici dans le cadre de la correction série, où le correcteur est placé à la sortie du comparateur.
Principe de la réflexion
La réflexion sur les avantages et les inconvénients s’effectue sur les diagrammes de Bode de la FTBO.
A retenir
• Précision : on regarde les basses pulsations (car elle est évaluée sur la réponse à un échelon i.e. 𝜔 → 0). Plus le gain est élevé plus le système est précis. On peut également regarder la classe ce qui revient au même.
• Rapidité : On regarde la pulsation de coupure à 0dB. Plus on l’augmente plus le système est précis.
• Stabilité : On regarde les marges.
A partir de là vous pouvez évaluer les avantages et les inconvénients de n’importe quel correcteur.
Nous allons voir ci-dessous les plus classique
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Correcteur Proportionnel (P)
Fonction de transfert :
𝐶(𝑝) = 𝐾
Diagrammes de Bode
Avantages et inconvénients
Le correcteur proportionnel génère une augmentation du gain sans influencer la phase donc
• Une augmentation du gain en basse fréquence donc une amélioration de la précision.
• Une augmentation de la bande passante à 0dB et donc de la rapidité
• Mais risque de détérioration de la stabilité.
Correcteurs Proportionnels Intégrale (PI)
Fonction de transfert
Correcteur PI parfait :𝐶(𝑝) = 𝐾𝑝+ 𝐾𝑖 𝜏𝑖𝑝 Ou
𝐶(𝑝) = 𝐾 (1 + 1
𝜏𝑖𝑝) = 𝐾1 + 𝜏𝑖𝑝 𝜏𝑖𝑝
Le correcteur PI peut être approché par un correcteur à retard de phase multiplié par un gain pur de fonction de transfert
Correcteur à retard de phase :
𝐶(𝑝) = 1 + 𝜏𝑖𝑝
1 + 𝑎𝜏𝑖𝑝 ; 𝑎 > 1
Diagrammes de BODE
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Avantages et inconvénients
Donc le correcteur PI entraine
• Un gain infini (ou important) en basse fréquence) donc permet une diminution de l’erreur statique (retard de phase) ou annule l’erreur statique (PI idéal).
Mais
• Suivant la valeur de 𝐾, il y a augmentation ou diminution de la bande passante. Il peut donc jouer positivement ou négativement sur la rapidité du système.
• En basse fréquence, il apporte un déphasage de -90° (pour le PI idéal) ou une phase négative sur une certaine plage de pulsation pour le retard de phase. Il faut donc faire attention à ne pas détériorer la stabilité
Réglage
Pour éviter de dégrader la stabilité, on prend généralement un 𝜔𝑖 = 1
𝜏𝑖 faible devant la pulsation de coupure à 0dB que l’on souhaite soit 𝝎𝒊 <𝝎𝟏𝟎𝟎𝒅𝑩.
Correcteur Proportionnel Dérivée (PD)
Fonction de transfert
Correcteur PD idéal :𝐶(𝑝) = 𝐾(1 + 𝜏𝑑𝑝)
Le correcteur PD idéal est impossible à réaliser. Il sera approché par un correcteur à avance de phase multiplié par un gain pur de fonction de transfert
Correcteur à avance de phase :
𝐶(𝑝) =1 + 𝑏𝜏𝑑𝑝
1 + 𝜏𝑑𝑝 ; 𝑏 > 1
Diagrammes
Avantages et inconvénients
On voit que le correcteur PD permet une augmentation plus forte du gain aux hautes fréquences et une augmentation faible (voir une diminution) du gain aux basses fréquences.
De plus, il apporte un déphasage positif aux basses fréquences.
Donc le correcteur PD
• Permet une augmentation de la bande passante et donc améliore la rapidité
• Améliore la stabilité de par le déphasage positif
P a g e 6 | 7 Mais attention
• Suivant la valeur de K, il peut y avoir une diminution du gain aux basses fréquences et donc une perte de précision.
• L’augmentation du gain aux hautes fréquences peut être un handicap pour les bruits à haute fréquence.
Réglage
Le réglage s’effectue pour avoir la marge de phase désirée à la pulsation de coupure souhaitée.
Correcteur Proportionnel Intégral Dérivée (PID)
Fonction de transfert
On voit que les correcteur PI et PD sont complémentaires, les avantages de l’un sont les inconvénients de l’autre. Il est donc logique pour avoir une bonne correction de combiner ces deux correcteurs. On utilise ainsi le correcteur PID.
Correcteur PID idéal :
𝐶(𝑝) = 𝐾 (1 + 𝜏𝑑𝑝 + 1
𝜏𝑖𝑝) = 𝐺.(1 + 𝜏1𝑝)(1 + 𝜏2𝑝)
𝑝
Le correcteur PID idéal est impossible à réaliser. Il sera approché par un correcteur parfait de fonction de transfert Correcteur PID parfait :
𝐶(𝑝) = 𝐾(1 + 𝜏1𝑝)(1 + 𝜏2𝑝)
1 + 𝜏3𝑝 ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏3≪ 𝜏1< 𝜏2 Voir par un correcteur à retard et avance de phase
Correcteur PID réel :
𝐶(𝑝) = 𝐾(1 + 𝜏1𝑝)(1 + 𝜏2𝑝)
(1 + 𝜏3𝑝)(1 + 𝜏4𝑝) ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏3≪ 𝜏1< 𝜏2 ≪ 𝜏4
Diagrammes
Avantages et inconvénients
Bien placé, un correcteur PID permet d’obtenir un système stable, rapide et précis.
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Filtre Réjecteur (coupe bande)
Fonction de transfert
𝐶(𝑝) =
1 +2𝑧1
𝜔𝑛 𝑝 +𝑝2 𝜔𝑛2 1 +2𝑧2
𝜔𝑛 𝑝 +𝑝2 𝜔𝑛2
; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑧1≪ 𝑧2 < 1
√2
Diagrammes de Bode
Avantages et inconvénients
Ce correcteur permet « d’éliminer » une pulsation. Il est intéressant
• pour « passer » la pulsation de résonnance ;
• pour éliminer une fréquence parasite (préalablement connue)
III Réalisation pratique des correcteurs
Il faut retenir que nous avons 3 possibilités pour réaliser ces différents correcteurs :
• Les filtres passifs : Circuits à base de Résistance (R), d’Inductance (L) et de Condensateur (C).
• Les filtres actifs : Circuits à base d’Amplificateur Opérationnels (AO) … ou ALI si vous préférez.
• Les filtres numériques.
