COMPRESSEUR A BOUCHONS - CORRIGÉ

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PCSI Lycée Thiers - Marseille 1/5

COMPRESSEUR A BOUCHONS - CORRIGÉ

Q 1.Calculer la vitesse de rotation de consigne en rad/s à imposer pour respecter la cadence souhaitée.

Chaque fois que l’arbre principal fait un tour, une bouteille est bouchée et muselée, l’arbre doit donc tourné à la vitesse 2400 tour / heure

2400 ∗2 ∗

3600 4 ∗

3 , /

1. Modélisation du moteur

Q 2.Ecrire les 5 équations ci-dessus dans le domaine de Laplace si toutes les conditions initiales sont nulles.

⋅ → !" # $ # . & # ' (). → '" # (). & # (*⋅ + → $ # (*. " # ' , ⋅-+

- → '" # ,. #. " # + .. + → " # .. #

Q 3.En fonction des résultats trouvés à la question précédente, compléter le schéma blocs proposé sur le document réponse.

Pour chacun des blocs ont écrit : Sortie = Fonction de Transfert* Entrée :

!" # $ # . & # & # / 0!" # $ # 1 '" # (). & # '" # 23. & #

$ # (*. " # $ # 24. " #

'" # ,. #. " # " # 5. 6 '" #

" # .. # # . " #

Q 4.Calculer la fonction de transfert H p _{;< :}^{9 :} de ce moto-réducteur :

1. Méthode 1 : à partir des 5 équations dans le domaine de Laplace, exprimer Ω< p en fonction de Um(p), de la variable p et des constantes du système (R, r, J, Kt, Ke), puis exprimer Ω p en fonction de Um(p) et enfin H p ;

2. Méthode 2 : en simplifiant le schéma à l’aide de la formule de Black, sous la forme schéma 1 → schéma 2 → schéma 3.

3. la mettre sous la forme canonique H p _AB^?^@

@.C.

DE F D F

/ G_E F H F GE F

IJ

IK

5. 6

(2)

1. Méthode 1 :

" # 5. 6 '" # '" # 23. & #

& # / 0!" # $ # 1

$ # 24. " # D’où : # _L.C^A ()A

M0! # (*. # 1 # . N1 P^?_M.L.C^Q^?^RS _M.L.C^?^Q ! #

# ()

. ,. # P ()(*! # # . 23

/. 5. 6 P 2324! #

T 6 . 23

/. 5. 6 P 2324

2. Méthode 2 :

Schéma 1 Schéma 2 Schéma 3

3. Sous la forme canonique (fonction de transfert du premier ordre) :

T 6 . . 24

P /. 523. 24. 6

Q 5.A partir de la courbe donnée, justifier l’ordre du système et déterminer la constante de temps τm et le gain statique Km.

Ecrire numériquement la fonction de transfert H(p) du moto-réducteur sous sa forme canonique.

La courbe réponse de ω(t) en réponse à un échelon de tension d’amplitude U0 = 220 est d’allure exponentielle, avec une tangente de pente non nulle à l’origine : elle correspond à la réponse à un échelon d’un système du premier ordre.

KV

. ,. # KW

1

. 1

.

KV

. ,. # 1 P K^V. (*

. ,. #

KV

. ,. # P K. V. (*

Km.U0=110 rad/s Km = 0,5 rad/s/V

0,63*Km.U0=69 rad/s

τ^m = 0,05 s

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2. Asservissement en vitesse de l’arbre de sortie du moteur

Pour assurer l’asservissement de la vitesse de rotation de l’arbre de sortie du moto-réducteur (donc de l’arbre principal), on associe à l’actionneur un variateur modélisé par un amplificateur pur de gain Ka réglable et on place un capteur de vitesse angulaire en bout de l’arbre de sortie de gain Kc = 0,06 V/ rad.s^-1. Le schéma-blocs de l’asservissement est donné ci-dessous.

Indépendamment des résultats trouvés précédemment on prendra :

H p Km

1 P m. p ; (" 0,5 .Z-/[/\; m 0,05 [ Q 6. Calculer la fonction de transfert F p ₉^{9 :}

^ : de ce système en boucle fermée en fonction de Km, m, Kc et Ka, pour cela :

• Exprimer ε(p) en fonction de Ω_ p et de Ω p ;

• Exprimer Ω p en fonction de ε(p) ;

• En déduire la relation entre Ω p et Ω_ p , puis F p ₉^{9 :}

^ : en fonction de H(p) ;

• Vérifier le résultat par application de la formule de Black ;

• Remplacer H(p) par son expression, puis mettre F(p) sous la forme canonique : F p

? AB`.C;

• Faire l’application numérique en ne gardant que la variable Ka.

# 2_a0 b # # 1

# 2 T 6 #

# 2 T 6 N2_a0 b # # 1S # N1 P 2_a2 T 6 S 2_a2 T 6 _b #

# 2a2 T 6

1 P 2a2 T 6 ! # c # 2a2 T 6 1 P 2a2 T 6

Directement à partir du schéma-blocs en utilisant la formule de Black puis en multipliant par le bloc hors de la boucle Kc, on retrouve la même expression de F(p):

c # (_b (de # 1 P (b. (de # fgggghggggi

jkl mn* o* pndbq

En remplaçant H(p) :

r 6 2 2s2a

2a2 2sP P ts. 6

2 2_s2_a 2_a2 2_sP

P ts

2a2 2sP . 6 uv : r 6

x, xy. 2 P x, xy. 2

P x, z

P x, xy. 2 . 6 ε(p)

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On impose en consigne , échelon de vitesse angulaire d’amplitude . Q 7.Exprimer Ω_ p , puis Ω p en fonction de Ka et .

D{ F 6 ; D F^|x

x, xy. 2 P x, xy. 2

P x, z

P x, xy. 2 . 6

∗ 6^|x

Q 8.Calculer l'erreur statique Ers _{V→B‚ _}lim t t en fonction de Ka et . Ers _{V→B‚ _}lim t t lim_:→ #0 _{_} p p 1 lim_:→ #. # „1 (

1 P …. #†

Z‡ ˆ ( 0,03. (d

1 P 0,03. (_d; … 0,05 1 P 0,03. (_d Ers „1 0,03. (_d

1 P 0,03. (d† 1 P 0,03.(d

H‰Š P x, xy. 2^|x

Q 9.Exprimer t pour 4 rad. s^•A, en fonction de K et T, puis numériquement pour Ka = 800.

p (

1 P …. # ∗ # K. 1

1 P T. # . # Z‡ ˆ ( 0,03. (d

1 P 0,03. (d; … 0,05 1 P 0,03. (d

p K. •α

# P β

1 P T. #“ K. •1

# P T

1 P T. #“ K. •1

# P 1

1/… P #“

J I. |x” 4^•3/•–. — 3 Z‡ ˆ ( 0,03. (d

1 P 0,03. (d; … 0,05 1 P 0,03. (d

AN :

( 0,03 ∗ 800

1 P 0,03 ∗ 800 0,96 ; … 0,5

1 P 0,03 ∗ 800 0,002 [ 6š— 4 rad. s^•A: J y, › . ” 4^•3/x,xxœ–. — 3

Q 10.Calculer _‚ _V→B‚lim t pour Ka = 800 et = 4 rad.s^-1.

‚ _V→B‚lim t I. |x y, › ‰•ž/Š

Q 11.Calculer le temps de réponse à 5% du système asservi en vitesse pour Ka = 800. Quelle sera la vitesse angulaire de sortie (en rad/s) à cet instant ?

Système du premier ordre : 3z% y. • x, xx 0,006 0,95 ∗ 3,84 3,65 .Z-/[

Soit x, xx y, z /

Q 12.Tracer la réponse temporelle de cet asservissement soumis à un échelon de consigne d’amplitude = 4 rad.s^-1 et si Ka = 800.

Vérifier la valeur de et de celle de Ers sur votre tracé.

(5)

On définit l’erreur statique relative en pourcent par Ers% = Ers/ *100.

Q 13.Quelle valeur faut-il donner à Ka si on souhaite une erreur statique Ers% ≤ 2% ?

Ers% 100

1 P 0,03. (d

Ers% ¢ 2 100

1 P 0,03. (d¢ 2 100 ¢ 2. 1 P 0,03. (d

100 2 2 ∗ 0,03 ¢ (^d

yy¢ 2

Q 14.Calculer la cadence de bouchage des bouteilles (en bouteilles/h) obtenue en régime établi avec cette valeur de Ka. Conclure.

La cadence de 2400 bouteilles/h ne peut pas être atteinte sans un correcteur (autre que proportionnel), il faudrait Ka infini…

Ers = 4-3,86 = 0.14 rad/s

0,63*3,86 3,67

T=0,002s