1 Intervalles Nombres réels BCPST 1 Chapitre 2

(1)

2021-22

Nombres réels

^{BCPST 1}

Chapitre 2

Donnons-nous un axe gradué(O,~i), tout point M de cet axe peut être représenté par un unique nombre x, on dit que "x est l'axe du point M". L'ensemble de toutes les axes possibles est égal à l'ensemble des nombres réels, qu'on note R.

1 Intervalles

On dit qu'une partieAdeRest connexe (ou "sans trou") lorsque, quelque soit les nombres x et y que l'on choisit dans A, si un nombre z est intercalé entre x et y, c'est-à-dire x≤z ≤y, alors z appartient à A.

Figure 1: A n'est pas connexe.

Les parties connexes de R sont appelées des intervalles.

Proposition Les intervalles de R appartiennent tous à une des formes suivantes:

i) ]− ∞,+∞[, c'est-à-dire Rtout entier,

ii) ]− ∞, a[, où a∈R, c'est-à-dire{x∈R|x < a}, iii) ]a,+∞[, où a ∈R, c'est-à-dire{x∈R|x > a}, iv) ]− ∞, a], où a∈R, c'est-à-dire{x∈R|x≤a},

v) [a,+∞[, où a ∈R, c'est-à-dire{x∈R|x≥a},

vi) ]a, b[, où (a, b)∈R² et a < b, c'est-à-dire {x∈R|a < x < b}, vii) ]a, b], où (a, b)∈R² et a < b, c'est-à-dire {x∈R|a < x≤b}, viii) [a, b[, où (a, b)∈R² et a < b, c'est-à-dire {x∈R|a ≤x < b}, ix) [a, b], où (a, b)∈R² et a < b, c'est-à-dire {x∈R|a ≤x≤b}.

Remarques Les intervalles du type[a, b] sont appelés des segments.

Les intervalles suivants ont leur propre notation:

R⁻=]− ∞,0], R⁺= [0,+∞[, R^−,∗ =]− ∞,0[, R^+,∗ =]0,+∞[.

Réaliser les calculs suivants:

1. (]−2,5]∪[7,+∞[)∩[−3,10[, 2. [−4,5]\]−2,+∞[,

3.

100

\

i=1

1 + 1

i,2 + 1 i

,

(2)

4.

100

[

i=1

1 + 1

i,2 + 1 i

.

2 Valeur Absolue

La valeur absolue d'un nombre réel est sa valeur numérique sans son signe. Pour un nombre x ∈ R, sa valeur absolue est égale à x ou bien à −x suivant son signe. Plus précisément, on a la dénition suivante.

Dénition Soit x∈R, la valeur absolue de x, notée|x| est égale à

|x|=

x six≥0,

−x six <0.

Exemple

|−3|=−(−3) = 3, |5|= 5, |√

2−1|=√

2−1car √

2>1, |1−π|=π−1car π >1.

Proposition Soit (O,~i) un axe gradué.

• Soit M un point d'axe x∈ R. La distance de l'origine de l'axe au point M est alors égale à |x|, c'est-à-dire:

OM =|x|.

• Soit M un point d'axe x∈R et N un point d'axe y ∈R. La distance du point M au point N est alors égale à |x−y|, c'est-à-dire:

M N =|x−y|.

Remarque Soit M le point d'axe x ∈ R et a ≥ 0. Dire que M est à une distance de l'origine inférieure à a est équivalent à dire que x appartient au segment [−a, a], c'est-à- dire:

|x| ≤a ⇔x∈[−a, a].

Sur un axe gradué représenter les ensembles suivants et les écrire à l'aide d'intervalles.

1. E ={x∈R,|x| ≤2}, 2. F ={x∈R,|x−3|<4}, 3. E ={x∈R,|2 +x| ≤1}, 4. E ={x∈R,|3 + 2x| ≥3}.

Proposition (Règles de calculs) Quelque soit x∈R, on a:

i) |x| ≥0,

(3)

ii) √

x² =|x|, iii) x≤ |x|,

iv) x= 0⇔x= 0, v) | −x|=|x|,

vi) |x|=|y| ⇔x=y ou x=−y, vii) |x×y|=|x| × |y|,

viii) si y6= 0,

x y

= ^|x|_|y|.

Proposition (Inégalité triangulaire) Pour tout (x, y)∈R², on a:

|x+y| ≤ |x|+|y|.

3 Partie entière

Dénition la partie entière d'un nombre réel x est le plus grand entier relatif n ∈Z tel que n≤x.

Figure 2: La partie entière de −1,2 est égale à −2, celle de 1,8 est égale à 1 et celle de 2,6 est égale à 2.

4 Exposant

Dénition On dénit les puissances entières d'un nombre réel a par a⁰ = 1 et, par récurrence, aⁿ = a aⁿ⁻¹ pour tout n ∈ N^∗. Pour tout nombre réel non nul a, on pose a⁻ⁿ = _a¹n.

Proposition • Pour tout a∈R, tout m∈N et toutn ∈N, on a a^maⁿ =a^n+m .

•Pour tout a∈R, tout m∈N et tout n∈N, on a a^mn

=a^nm .

•Pour tout a∈R, tout m∈N et tout n∈N, on a a^m

aⁿ =a^m−n. En particulier, on a

1

aⁿ =a⁻ⁿ .

•Pour tout a∈R, tout b∈R et tout n∈N, on a a bn

=aⁿbⁿ.

(4)

Écrire les fractions suivantes sous la forme2^α3^β5^γ oùα, β,γ sont des entiers relatifs:

a) 2⁸×3⁻⁴×5³

2⁴×3⁶×5² ; b) 12³×50

30² ; c) 2²×5¹²³+ 2×5¹²⁴

28 ; d) (3ⁿ)³×27²ⁿ. Lequel de ces calculs est-il correct ?

a)2³² = 2⁽³²⁾ = 2⁹ =....; b)2³² = 2³2

= 8² =...

(Q.C.M.) Pour tout n∈N, 5ⁿn

=....

a)5ⁿ²; b)5²ⁿ.

5 Racines carrées, racines cubiques

Dénition Pour tout a ∈ R⁺, il existe un unique nombre réel positif u tel que u² = a. Ce nombre réel u est appelé racine carrée de a et on le note√

a. Proposition • Pour tout a∈R⁺ et tout b∈R⁺, √

ab=√ a√

b.

•Pour tout a∈R⁺, (√

a)² =a.

•Pour tout a∈R, √

a² =|a|.

1. Écrire les nombres suivants sous la forme a+b√

5 oùa et b sont des entiers.

a) 2√

20−√

45 +√

125; b) (4 + 2√

5)²+ (2√

5 + 3)(3√

5 + 7); c) 29 4−3√

5. 2. Vérier que p

2 +√ 3 =

√3 + 1

√2 =

√6 +√ 2

2 .

3. Sans calculatrice, comparer q 3p

3√ 3 et3. 4. Vrai ou faux ? Pour touta ∈R, p

a²(a−1)² =a(a−1). 5. Résoudre dans R² le système

( x+y = 2

(2 +√

5)x+ (2−√

5)y = 1 . 6. a) Situer par rapport à l'intervalleh

−1 2,3

2

i les nombres réels 7−√ 17

4 et 7 +√ 17 4 . b) Résoudre dans R l'équation√

2x+ 1 = 3−2x. 7. a) Montrer que a+b > 2√

ab pour tout a ∈ R+ et tout b ∈ R+. Donner une condition nécessaire et susante d'égalité.

b) Montrer que √

a+b 1

√a+ 1

√b

= r

1 + b a +

r 1 + a

b pour tout a∈R+ et tout b∈R+.

c) À l'aide des questions précédentes, montrer que r

1 + b a +

r 1 + a

b >2√ 2

pour touta∈R⁺ et toutb ∈R⁺ et qu'il y a égalité si et seulement si a=b.

(5)

Dénition Pour touta∈R, il existe un unique nombre réelutel queu³ =a. Ce nombre réel u est appelé racine cubique de a et on le note √³

a.

Exemple On a les approximations suivantes:

√3

3≈1,44, √³

2≈1,26, √³

1 = 1, √³

0 = 0, √³

−2≈ −1,26, √³

−3≈ −1,44.

6 Développement et factorisation

Proposition Quelque soit (a, b)∈R², on a:

(a+b)² = a²+ 2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b².

1. Développer et réduire l'expression(5x+ 3)(2x+ 1)−(2−x)(1−5x)−3(1−x). 2. a) Développer les expressions(x+y+z)² et x+y+z+t2

. b) Généraliser à x+y+z+t+w2

.

3. Développer les expressions (x+y)³,(x+y)⁴ et(x+y)⁵. 4. Factoriser les expressions suivantes :

a) 17x−5

3x+ 2

−3 −x+ 1

17x−5

; b) 4x−12

−169 x−22

; c) 25x²−20x+ 4−5 x+ 1

10x−4 .

7 Résolution d'inéquations

Proposition Soit a, b, c trois réels quelconques, on a:

i) si a≤b alors a+c≤b+c, ii) si a≤b et c≥0, alors ac≤bc, iii) si a≤b et c <0, alors ac≥bc,

iv) si a, b, c, dsont tous positifs, alors (a≤b etc≤d)⇒ac≤bd. Résoudre les inéquations suivantes :

a) 4x−x²

(2x+ 1)(27−3x) >0;

b) 6

−x²+x−1 >− 2 x+ 3; c) √

4x−1>√

x²+ 3x−1.

(6)

Si une équation ou une inéquation comporte des valeurs absolues, on peut les supprimer en utilisant la propriété suivante.

Proposition Soit (x, a)∈R², on a:

1) |x|=a⇔x=a oux=−a, 2) |x| ≤a⇔ −a≤x etx≤a.

Exemples • Résoudre|x²−x|=|4x+ 2|. On a:

|x²−x|=|4x+ 2| ⇔ x²−x= 4x+ 2 oux²−x=−4x−2,

⇔ x²−5x−2 = 0 oux²+ 3x+ 2 = 0,

⇔ x∈ {5−√ 33

2 ,5 +√ 33

2 } oux∈ {−1,−2},

⇔ x∈ {5−√ 33

2 ,5 +√ 33

2 ,−1,−2}.

• Résoudre | −5x+ 3|<2. On a:

| −5x+ 3|<2 ⇔ −2<−5x+ 3 et −5x+ 3<2,

⇔ −2<−5x+ 3 et −5x+ 3<2,

⇔ −5<−5xet −5x <−1,

⇔ −5

−5 > xet x > −1

−5,

⇔ 1> x etx > 1 5,

⇔ x∈ 1

5,1

.

7.1 Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure d'une partie de R

Dénition • Une partie A de R est dite majorée s'il existeM ∈ R tel que x6M pour tout x∈A. Un tel nombre M est appelé majorant de A.

•Une partieA deRest dite minorée s'il existem∈Rtel quex>m pour toutx∈A. Un tel nombre m est appelé minorant deA.

•Une partie A deR est dite bornée si elle est majorée et minorée.

Théorème (Théorème de la borne supérieure) Soit A une partie non vide et majorée de R. Il existe un unique plus petit majorant deA au sens où tout autre majorant de A lui est supérieur.

Dénition Soit A une partie non vide et majorée de R.

•Le plus petit majorant de A est appelé borne supérieure de A et est notésupA.

• Si supA ∈ A, le nombre supA est alors appelé plus grand élément de A et on le note maxA.

(7)

Exemple On asup(]− ∞,3[) = 3: 3est la borne supérieure de l'intervalle]− ∞,3[mais ne lui appartient pas donc ce n'est pas son plus grand élément. L'intervalle ]− ∞,3[n'a d'ailleurs pas de plus grand élément. Si l'on considère l'intervalle ]− ∞,3], on a toujours sup(]− ∞,3]) = 3 mais, cette fois, 3 ∈]− ∞,3]. 3 est donc le plus grand élément de ]− ∞,3]et l'on écrit 3 = max(]− ∞,3]).

Théorème (Théorème de la borne inférieure) Soit A une partie non vide et minorée deR. Il existe un unique plus grand minorant de Aau sens où tout autre minorant de A lui est inférieur.

Dénition Soit A une partie non vide et minorée deR.

•Le plus grand minorant de A est appelé borne inférieure de A et est noté infA.

• SiinfA∈ A, le nombre infA est alors appelé plus petit élément de A et on le note minA.