Première analyse des pluies extrêmes dans la région Cévennes-Vivarais

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Caroline Bernard-Michel, Laurent Gardes, Stephane Girard, Gilles Molinié

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Caroline Bernard-Michel, Laurent Gardes, Stephane Girard, Gilles Molinié. Première analyse des

pluies extrêmes dans la région Cévennes-Vivarais. 2008. �hal-00385415�

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

Première analyse des pluies extrêmes dans la région

Cévennes-Vivarais

C. Bernard-Michel — L. Gardes — S. Girard — G. Molinié

N° ????

C. Bernard-Michel

, L. Gardes

, S. Girard

, G. Molini´

e

Th`eme COG — Syst`emes cognitifs ´

Equipes-Projets MISTIS

Rapport de recherche n°???? — Octobre 2008 — 96 pages

R´esum´e : Ce rapport pr´esente l’estimation des p´eriodes et niveaux de retour des pluies ponctuelles en C´evennes-Vivarais. On montre que la loi de Pareto g´en´eralis´ee (GPD) avec un param`etre de forme positif est la mieux adapt´ee pour mod´eliser les valeurs les plus intenses des pluies C´evenoles. Il apparaˆıt ainsi que la distribution de ce type de pluies est `a queue lourde, ce qui se tra-duit th´eoriquement par une appartenance au domaine d’attraction de Fr´echet. Les estimateurs de maximum de vraisemblance et de Hill sont utilis´es pour cal-culer les param`etres de la loi GPD `a chaque station pluviom´etrique et ainsi d´eterminer des p´eriodes de retour ponctuelles. Ensuite, les cartes de p´eriode de retour pour les pluies horaires et journali`eres sont obtenues par krigeage des p´eriodes de retour ponctuelles. Ces cartes montrent que les temps de retour sont fortement li´es au relief et que ce lien est radicalement diff´erent selon le pas de temps ´etudi´e.

Dans la deuxi`eme partie de ce rapport, on montre que l’hypoth`ese de station-narit´e des s´eries de pluies, sous-jacente `a l’utilisation de la loi GPD, est erron´ee. Le d´eveloppement d’un mod`ele prenant en compte la non stationnarit´e tempo-relle des pluies est donc recommand´e. Nous proposons un mod`ele bas´e sur le d´ecoupage de la s´erie temporelle en saisons homog`enes. Le d´ecoupage est r´ealis´e par une approche non param´etrique bas´ee sur la statistique du test de Kruskal-Wallis. Une fois le d´ecoupage optimal d´etermin´e, les valeurs les plus intenses de pluies sont mod´elis´ees par un m´elange de loi GPDs dont chaque composante correspondra `a une saison.

Mots-cl´es : temps de retour, niveau de retour, Fr´echet, Gumbel, variogramme, krigeage, pluie, th´eorie des valeurs extrˆemes, g´eostatistique.

∗_{MISTIS - INRIA Rhˆone-Alpes}

mined for each daily and hourly raingauge of the C´evennes-Vivarais region. It is shown that the generalized Pareto distribution with a positive shape parameter is the most appropriate to model extreme rainfall values in the region. Theoreti-cally, this means that extreme rainfall distibution belongs to the Fr´echet family. The parameters of the GPD are estimated by the maximum likelihood method or by the Hill estimator for each raingauge. Return levels and periods are then easily deduced and extended spatially by kriging. Results show that return lev-els and periods are strongly correlated to landscape with different conclusions according to the time resolution.

However, the use of GPD density relies on an asumption of stationarity for rain-fall series that is not correct. We then propose in the second part of the report to look for a model that would take into account non-stationarity. In that model, time series are cut into homogeneous seasons. They are chosen according to a non parametric method based on the Kruskal-Wallis statistic. Separate GPD models are constructed for each season and then aggregated into a mixture model allowing the estimation of return periods.

Key-words: return period, return level, Fr´echet, Gumbel, variogram, kriging, rainfall, extreme value theory, geostatistics.

Table des mati`

eres

1 Probl´ematique 5

2 Donn´ees C´evennes-Vivarais 7

3 Analyse des valeurs extrˆemes : approche na¨ıve 11

3.1 M´ethodes . . . 11

3.1.1 Etude des exc`es . . . 11

3.1.2 G´eostatistique . . . 17

3.2 Premi`ere analyse des valeurs fortes . . . 19

3.2.1 Domaine d’attraction ? . . . 19

3.2.2 Cartes des niveaux de retour . . . 34

3.2.3 Cartes des temps de retour . . . 37

3.2.4 Conclusion . . . 40

4 Analyse temporelle 41 4.1 Analyse temporelle : tendance, saisonnalit´e, corr´elation ? . . . 41

4.2 Prise en compte de la tendance/saisonnalit´e . . . 42

4.2.1 Approche par mod´elisation des param`etres de la GPD . . 42

4.2.2 Approche par saisons . . . 47

5 Conclusion 65

A Programmes 67

B Carte du relief 77

C Choix du seuil, donn´ees horaires 79 D Choix du seuil, donn´ees journali`eres 83 E Estimations du param`etre de forme en fonction du seuil 87

Chapitre 1

Probl´

ematique

En raison de la sp´ecificit´e g´eographique et climatique du bassin m´editerran´een, le sud-est de la France est r´eguli`erement soumis `a des pr´ecipitations intenses. Elles donnent lieu `a des crues violentes et rapides, qualifi´ees de crues-´eclair, dont les r´epercussions socio-´economiques peuvent ˆetre importantes. Citons par exemple les ´episodes de crues torrentielles qui ont noy´e Nˆımes en 1988, Vaison la Romaine en 1992 ou encore la Vall´ee de l’Aude en 1999. Les perturbations m´editerran´eennes s´evissent particuli`erement en automne selon un sch´ema appel´e Episode C´evenol (car c’est en g´en´eral le massif des C´evennes qui re¸coit les plus grosses pr´ecipitations). Le sch´ema g´en´eral d’un ´episode c´evenol est le suivant : de grandes masses d’air humide provenant de la mer M´editerran´ee rencontrent dans leur chemin les montagnes c´evenoles, plus froides. Il en r´esulte de grands ph´enom`enes de condensation qui se transforment en pluies torrentielles sur la r´egion c´evenole et ses alentours, notamment le Gard ou l’H´erault. Les princi-paux d´epartements affect´es par ces pluies sont ceux ayant une partie de leur territoire dans les C´evennes : l’Ard`eche, le Gard, l’H´erault et la Loz`ere. Autour, l’Aude subit un ph´enom`ene proche au pied de la Montagne Noire. Les Bouches-du-Rhˆone et le Vaucluse sont affect´es indirectement lorsque le Rhˆone d´eborde de son lit vers l’est sous l’effet du d´ebit augment´e de ses affluents de sa rive gauche. D’autres ´ev´enements peuvent affecter tous les d´epartements m´eridionaux mais on parlera alors plutˆot d’´episode m´editerran´een.

Comprendre ces ´ev`enements extrˆemes et pouvoir ´eventuellement les pr´edire `a partir des ´ev`enements pass´es est aujourd’hui un th`eme de recherche cl´e en hy-drologie. Diverses ´etudes sur les risques de pluies intenses dans la r´egion des C´evennes-Vivarais ont d’ailleurs ´et´e r´ealis´ees ces derni`eres ann´ees [19, 26, 22, 3]. Elles visaient `a cartographier :

– les temps de retour de hauteurs d’eau extrˆemes pour divers pas de temps (1h, 2h, 6h, 12h, 24h),

– ou inversement, les hauteurs d’eau qui devraient ˆetre observ´ees pour un temps de retour donn´e (c’est ce qu’on appelle un niveau de retour). L’approche consid´er´ee dans ces ´etudes est la suivante : en chaque station de mesure, on conserve les maxima mensuels et on suppose que leur loi de distri-bution est une loi de Gumbel [8]. Cette loi d´epend de deux param`etres : un param`etre de position et un param`etre d’´echelle (appel´e par les hydrologues le gradex). Ils peuvent ˆetre estim´es par diverses techniques telles que la m´ethode

de retour pour divers temps de retour se d´eduisent alors facilement pour cha-cune des stations. Enfin, l’estimation sur l’ensemble de la r´egion est r´ealis´ee par krigeage, technique d’interpolation lin´eaire issue de la g´eostatistique [6]. L’ensemble des r´esultats obtenus par cette approche a ´et´e synth´etis´e sous la forme d’un atlas exp´erimental [3], fruit d’une collaboration entre le Laboratoire d’´etude des Transferts en Hydrologie et Environnement (LTHE) et le laboratoire de la montagne alpine. Une des conclusions principales de cette synth`ese est que les risques de forts abats d’eau au pas de 1h ou 2h se situent d’avantage au pied des reliefs alors que pour un pas d’int´egration plus ´elev´e (24h), ils s’alignent sur les crˆetes.

Toutes les ´etudes pr´ec´edentes ont ´et´e r´ealis´ees avec une base de donn´ees ´ev´enementielles, c’est `a dire que seuls certains ´episodes de pluie, jug´es importants, ont ´et´e enre-gistr´es. De plus, seules les pluies d’automnes ont ´et´e consid´er´ees. Cette base de donn´ees a pour int´erˆet :

– de fournir une chronique relativement longue (1972 `a 1992),

– relativement dense dans l’espace (300 stations r´eparties sur une fenˆetre d’environ 200km × 200km),

– d’ˆetre au pas de temps horaire. Ses inconv´enients sont les suivants :

– elle est extrˆemement h´et´erog`ene,

– elle contient finalement peu de mesures puisque seuls certains ´ev`enements pluvieux ont ´et´e enregistr´es,

– elle nous oblige `a faire l’hypoth`ese que toutes les mesures qui n’ont pas ´et´e enregistr´ees sont inf´erieures `a celles retenues pour l’´etude de la queue de distribution.

Depuis 1992, environ 150 pluviom`etres mesurent en continu la pluie dans la r´egion C´evennes-Vivarais.

Apr`es avoir pr´esent´e ces donn´ees, nous proposons, dans la premi`ere partie de ce rapport, de les utiliser pour refaire une ´etude similaire aux pr´ec´edentes (mod´elisation par station sous hypoth`ese d’ind´ependance des mesures + kri-geage), l’id´ee ´etant de valider les r´esultats pr´ec´edents. En particulier, nous nous int´eresserons aux deux questions suivantes :

– Est il vraiment justifi´e de mod´eliser les valeurs extrˆemes par une loi de Gumbel ?

– Les conclusions des ´etudes pr´ec´edentes restent elles les mˆemes avec cette nouvelle base de donn´ees et avec un nouveau mod`ele pour les valeurs extrˆemes ?

Dans la deuxi`eme partie de ce rapport, nous montrerons que l’hypoth`ese d’ind´ependance et de mˆeme loi pour les donn´ees, sur laquelle repose les calculs pr´ec´edents, est erron´ee. Nous nous int´eresserons donc au d´eveloppement d’un mod`ele prenant en compte la non-stationnarit´e des mesures. L’approche envisag´ee repose sur le d´ecoupage de l’ann´ee en saisons homog`enes.

Chapitre 2

Donn´

ees C´

evennes-Vivarais

La base de donn´ees de pluie au pas de temps horaire nous a ´et´e fournie par le LTHE. Elle contient des mesures horaires entre 1972 `a 2000, pour environ 300 stations. C’est une base de donn´ees tr`es h´et´erog`ene car elle regroupe 3 campagnes de mesures avec des strat´egies tr`es diff´erentes :

– Avant 1993, les donn´ees sont g´en´eralement ´ev´enementielles et certaines ann´ees sont manquantes. Seules les p´eriodes suivantes sont enregistr´ees : 1972-1980, novembre 1986, octobre 1987 et 1983-1993,

– Entre 1993 et 2000, les mesures ont ´et´e enregistr´ees en continu sur l’ann´ee, mais pour seulement 142 stations,

– Apr`es 2000, les mesures ont ´et´e enregistr´ees pour presque 300 stations mais uniquement en automne.

L’ensemble de ces mesures repr´esente 29655 ´ech´eances, c’est `a dire 29655 heures auxquelles il a plu dans au moins une des stations. L’h´et´erog´en´eit´e de ces me-sures, tant d’un point de vue temporel que spatial, rend difficile l’´etude des valeurs extrˆemes. C’est pourquoi nous avons choisi de travailler uniquement sur une partie de ces donn´ees, la plus homog`ene possible, c’est `a dire entre 1993 et 2000. Apr`es avoir retir´e les ann´ees allant de 1972 `a 1993 et de 2001 `a 2005, il reste 21881 ´ech´eances, ce qui montre `a quel point la base de donn´ees est vide en dehors de ces ann´ees et plus particuli`erement avant 1993. Cette nouvelle base reste toutefois h´et´erog`ene. D’une part, il reste 7.28% de valeurs manquantes (voir table 2.1) que nous devons supposer inf´erieures `a celles conserv´ees pour notre ´etude. D’autre part, comme le montre la figure 2.2, qui pr´esente le nombre de mesures positives par mois et par station, ces valeurs manquantes se r´epartissent diff´erement selon les stations. Globalement, c’est souvent en 1993 qu’il manque des mesures mais il est difficile de g´en´eraliser. Si on repr´esente les stations avec un symbole proportionnel au nombre de mesures positives enregistr´ees entre 1993 et 2000 (voir figure 2.3), on voit que certaines stations devraient ˆetre sup-prim´ees de l’´etude ou aggr´eg´ees `a la station voisine. Par exemple, `a Colombier le jeune, on enregistre 1896 mesures positives, alors que juste `a cot´e, `a Colombier le vieux, on en enregistre seulement 477, ce qui est illogique et s’explique par de nombreuses valeurs manquantes. D’autres exemples sont pr´esent´es figure 2.3. Comme il est difficile de regarder au cas par cas toutes les incoh´erences de la base de donn´ees, nous avons d´ecid´e de supprimer de notre ´etude toutes les stations avec peu de mesures. Au vu de l’histogramme du nombre de mesures positives

1000 mesures positives. Ainsi, sur 142 stations, nous en avons conserv´e 126, ce qui repr´esente environ une station tous les 11 km (distance moyenne entre une station et sa plus proche voisine). La table 2.2 montre que pour ces stations, il pleut en moyenne 3 mm d’eau par heure avec un ´ecart-type de 3.4 mm et qu’on peut d´ej`a consid´erer comme relativement extrˆemes des pluies de plus de 37 mm par heure puisqu’elles correspondent au percentile 99.9%. Si l’on ram`ene les donn´ees horaires `a des donn´ees journali`eres (tableau 2.3), il pleut en moyenne 11.67 mm par jour avec un ´ecart-type de 17.13 mm et on peut consid´erer comme relativement extrˆeme des pluies sup´erieures `a 160 mm par jour.

Dates manquantes Donn´ees NaN Valeurs nulles Valeurs positives

71.17% 7.28% 18.90% 2.65%

Tab._{2.1 – Bilan du nombre de mesures positives, nulles, manquantes ou NaN.} Les mesures not´ees NaN correspondent `a des valeurs non mesur´ees suite par exemple `a un pluviom`etre d´efectueux. Les Dates manquantes correspondent `a des heures o`u il n’a plu nulle part. Les valeurs nulles signifie qu’il n’a pas plu dans la station mais qu’il a plus dans au moins une des 141 autres stations.

Moyenne Ecart-Type P25% P50% P75% P99% P99.9%

3.04 3.44 1.2 2 3.5 17.2 36.8

Tab._{2.2 – Statistiques g´en´erales sur les donn´ees horaires (en mm) : moyenne,} ´ecart-type et xi`emes percentiles Px%.

Moyenne Ecart-Type P25% P50% P75% P99% P99.9%

11.67 17.13 2 5.5 14.2 83 161.34

Tab.<sub>2.3 – Statistiques g´en´erales sur les donn´ees journali`eres (en mm) : moyenne,</sub> ´ecart-type et xi`emes percentiles Px%.

0 1000 2000 3000 4000 0 10 20 30 40

Fig._{2.1 – Histogramme du nombre de mesures positives entre 1993 et 2000 par} station

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

20

40

60

80

100

120

140

₀

100

200

300

400

B er n a rd -M ic h el, C . et a l. 600 650 700 750 800 850 900 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2295 3264 2174 3813 1801 2551 2519 1896 477 1802 2238 2394 2322 3756 1342 1548 1733 3454 1261 807 3127 2501 184 557 1211 1712 2468 2946 2063 1792 2175 746 3227 2893 2412 2497 2024 1868 1710 2713 492 2868 2882 2108 2158 1854 1720 2060 2012 2429 1955 2171 2288 2484 634 2226 2412 2151 2741 2314 2247 2394 1336 1203 2335 2157 1920 2320 1960 1584 2586 1885 2787 1877 1492 1406 1510 1682 1745 3500 2855 1339 1510 454 2115 1650 590 1384 1209 1022 1451 1178 2304 830 1863 562 1918 649 1599 1681 3014 2292 2292 1431 1853 2220 1853 2064 1830 1700 743 1736 1960 340 2067 1402 1718 1290 749 1780 1264 2223 1771 1664 1433 1460 2033 1189 1515 1411 1433 1440 1904 446 1349 1760 1971 1544 1994 2492 1613 1492 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU Colombier le vieux 477 mesures Colombier le jeune 1896 mesures . 2 .3 – N o m b re d e m es u re s p o sit iv es p a r st a tio n et p a r a n IN R IA

Chapitre 3

Analyse des valeurs

extrˆ

emes : approche na¨ıve

Dans ce chapitre, nous rappelons bri`evement les hypoth`eses et r´esultats de la th´eorie des valeurs extrˆemes [8] et de la g´eostatistique [6]. Ces m´ethodes sont ensuite appliqu´ees aux mesures de pluie horaires ou journali`eres pour d´eterminer les niveaux et temps de retour sur l’ensemble de la r´egion des C´evennes-Vivarais.

3.1

M´

ethodes

Dans ce paragraphe, nous pr´esentons l’approche POT (Peaks-over-threshold) qui consiste `a mod´eliser la distribution des valeurs d´epassant un seuil donn´e par une loi GPD dont les param`etres seront estim´es par maximum de vraisemblance ou par l’estimateur de Hill. Apr`es avoir rappel´e comment estimer les temps et niveaux de retour, nous proposerons plusieurs m´ethodes pour choisir le seuil et le domaine d’attraction de la loi des exc`es. Enfin, les outils classiques de la g´eostatistique, variogramme et krigeage, seront introduits.

3.1.1

Etude des exc`

es

Notations-hypoth`eses

Soit X la variable al´eatoire mod´elisant les hauteurs de pluie horaires (mm) en une station de mesure. On note {X1, . . . , Xn} l’´echantillon de donn´ees horaires

dont on dispose et X1,n≤ X2,n≤ . . . ≤ Xn,nl’´echantillon ordonn´e. Dans tout ce

chapitre, on supposera les donn´ees ind´ependantes et identiquement distribu´ees. Probl´ematique

On s’int´eresse `a deux probl`emes compl´ementaires :

– Calculer la probabilit´e d’observer une hauteur de pluie extrˆeme, c’est `a dire calculer p = P(X > h) avec h > Xn,n. Plus souvent, cette probabilit´e est

exprim´ee en temps de retour T = 1/p. Dans le cas de donn´ees horaires, le temps de retour s’exprime en heures. Il doit donc ˆetre divis´e par le nombre

sur T heures avec T > n, c’est `a dire r´esoudre 1/T = P(X > h). C’est ce qu’on appelle un niveau de retour.

Pour r´epondre `a ces deux questions, on cherche `a mod´eliser la fonction de survie ¯

F (x) = P(X > x) = 1 − F (x) o`u F est la fonction de r´epartition de X. On ne cherche pas `a la mod´eliser dans son ensemble, mais uniquement en queue de distribution, c’est `a dire quand x > Xn,n. Deux approches sont possibles :

– La premi`ere s’appuie sur un d´ecoupage des donn´ees en blocs, dont les maxima sont suppos´es distribu´es selon une loi de la famille GEV (Genera-lized Extreme Value, [8], chapitre 3). C’est l’approche typiquement utilis´ee par les hydrologues, qui supposent de plus que F appartient au domaine de Gumbel.

– La seconde mod´elise la distribution des valeurs d´epassant un seuil donn´e. On l’appelle la m´ethode POT (Peaks-over-threshold, [8], chapitre 4). C’est l’approche que nous consid´erons dans ce rapport, l’approche par maxima n’´etant pas envisageable avec seulement 8 ann´ees de mesures.

Etude des exc`es

Dans cette approche, on se fixe un seuil u. On d´efinit alors un exc`es Y de la variable X au dessus du seuil u par Y = X − u quand X > u (voir figure 3.1). On appelle d´epassements les valeurs de X au dessus du seuil u.

Fig. _{3.1 – D´efinition d’un exc`es}

La fonction de survie d’un exc`es au dessus de u est donn´ee pour y > 0 par : ¯ Fu(y) = P(Y > y) = P(X − u > y|X > u) =P(X > u + y, X > u) P(X > u) =F (u + y)¯ _¯ F (u)

Lorsque le seuil est grand, on peut approcher cette quantit´e par la fonction de survie d’une loi de Pareto G´en´eralis´ee (GPD) [8] donn´ee par :

– σ > 0 est le param`etre d’´echelle (gradex), – γ ∈ R est le param`etre de forme.

On distingue trois types de lois selon la valeur du param`etre de forme γ : – Le domaine d’attraction de Fr´echet quand γ est positif : la fonction de

survie d´ecroˆıt comme une puissance de x quand x tend vers l’infini. Ce sont des lois `a queue lourde.

– Le domaine d’attraction de Gumbel quand γ est nul : La distribution de X pr´esente une d´ecroissance de type exponentiel dans la queue de distribution. Ce sont des lois `a queues l´eg`eres. Dans la plupart des ´etudes sur les pluies ou les d´ebits, les hydrologues supposent que F est dans ce domaine.

– Le domaine d’attraction de Weibull quand γ est n´egatif : Cela suppose que la distribution de X est born´ee, ce qui est peu r´ealiste dans le cas des pluies. Ce sont les lois `a queues finies.

Temps de retour

Connaissant la loi des exc`es, le temps de retour associ´e `a une hauteur de pluie x se d´eduit facilement. Comme on a pour x > u :

P(X > x|X > u) =  1 + γx − u σ −_γ1 alors P(X > x) = ξu  1 + γx − u σ −γ1 si γ 6= 0 (3.1) = ξuexp(−x − u σ ) sinon (3.2) avec ξu= P(X > u). Niveau de retour

De mˆeme, le niveau de retour xT qui est d´epass´e en moyenne toutes les T

heures est solution de : ξu  1 + γ(xT− u σ ) −1γ = 1 T. On en d´eduit : xT =  u +σ_γ[(T ξu)γ− 1] si γ 6= 0 u + σ log(T ξu) sinon (3.3)

Estimation des param`etre de la GPD

Plusieurs m´ethodes sont possibles pour estimer les param`etres de forme et d’´echelle. Nous pr´esentons dans ce rapport deux approches : l’approche par

vraisemblance qui nous permettra de d´eterminer le domaine d’attraction de la fonction de r´epartition des exc`es. On verra que le domaine de Fr´echet semble le plus appropri´e, ce qui nous a conduit `a utiliser un deuxi`eme estimateur : l’estimateur de Hill.

Maximum de vraisemblance : Notons y1, . . . , yk les k exc`es observ´es au

dessus du seuil u.

Pour γ 6= 0, la log-vraisemblance s’´ecrit : l(γ, σ) = ( −k log σ − (1 +1γ) Pk i=1log(1 + γ yi σ) si (1 + σ−1γyi) > 0 pour i = 1, . . . , k −∞ sinon Pour γ = 0, elle s’´ecrit :

l(γ, σ) = −k log σ − σ−1

k

X

i=1

yi.

Les param`etres de la loi GPD (γ et σ) sont alors estim´es en maximisant la log-vraisemblance. Comme il n’existe pas de solution explicite, le recours `a des m´ethodes num´eriques est indispensable. Il est possible de fournir des intervalles de confiance asymptotiques pour les param`etres de la loi GPD. Pour plus de d´etails, voir [8], chapitre 2, pages 32-33.

Estimateur de Hill : Lorsqu’on se restreint au domaine de Fr´echet, on a la caract´erisation :

¯

F (x) = x−γ1l(x)

avec γ > 0 et l une fonction `a variations lentes, c’est `a dire que pour t > 1 lim u→∞ l(tu) l(u) = 1 ce qui conduit `a : lim u→∞ ¯ F (tu) ¯ F (u) = t −1 γ

ou encore, quand u est grand : ¯

F (tu) ≃ t−γ1F (u)¯

En posant x = tu, on a donc quand u est grand : ¯ F (x) ≃ ¯F (u)(x u) −1 γ ≃ ξ_u(x u) −1 γ (3.4)

Quand p est proche de z´ero, on a aussi : ¯ F−1_{(p) ≃ ¯F}−1_(ξ u)( p ξu )−γ_{. (3.5)} On en d´eduit

log ¯F−1(i n) − log ¯F −1₍k n) ≃ γ log( k i)

ou encore en estimant les fonctions de survie par leurs ´equivalents empiriques : log Xn−i,n− log Xn−k,n≃ γ log(k

i)

Cette approximation peut ˆetre v´erifi´ee graphiquement en tra¸cant log Xn−i,n−

log Xn−k,n en fonction de log(k/i). Ce graphique est appel´e diagramme de

Hill. Il permet de v´erifier qu’on est bien dans le domaine d’attraction de Fr´echet auquel cas le diagramme de Hill est une droite dont la pente correspond au param`etre de forme γ. Si on est bien dans le domaine de Fr´echet, on peut alors estimer γ par ˆ γ(k) = 1 k k−1 X i=1

(log Xn−i,n− log Xn−k,n)

Cet estimateur est appel´e estimateur de Hill.

On peut associer `a l’estimateur de Hill un intervalle de confiance asymptotique IN(α) de niveau α. IN(α) = [ˆγ − zα/2γˆ 1 √ k, ˆγ + zα/2γˆ 1 √ k]

o`u zα/2 est le quantile d’ordre 1 − α/2 de la loi normale centr´ee r´eduite. Pour

plus de d´etails, voir [14], page 74. Remarque : Dans le domaine de Fr´echet, le param`etre d’´echelle s’exprime en fonction du param`etre de forme par la relation σ = uγ. En rempla¸cant σ par cette expression dans les ´equations (3.1) et (3.3), on retrouve bien les ´equations g´en´erales des temps et niveaux de retour (3.4) et (3.5).

Choix du seuil

Plutˆot que de se fixer un seuil u de pluie pour chacune des stations, nous avons choisi de fixer le nombre de valeurs fortes i que nous souhaitions conserver. Si X1, . . . , Xn est l’´echantillon de taille n et que l’on souhaite garder les k plus

grandes valeurs de l’´echantillon, alors le seuil est estim´e par u = Xn−k,n et la

probabilit´e de d´epasser ce seuil par ξu = P(X > u) ≈ k/n. Ceci est valable

lorsque les donn´ees sont toutes distinctes, ce qui n’est pas le cas des donn´ees de pluie pour lesquelles on observe de nombreuses fois une mˆeme valeur. Dans ce cas, nous proposons d’estimer le seuil par :

u = 

Xn−k,n si Xn−k,n6= Xn−k+1,n

Xn−k−i,nsi ∀j = 0, . . . , i − 1 , Xn−k−j,n= Xn−k+1,n et Xn−k−i,n6= Xn−k+1,n

et la probabilit´e de d´epasser ce seuil par : P(X > u) = k + i

l’on conserve est trop petit (ou de mani`ere ´equivalente, le seuil u trop grand), alors on a de grandes chances que les exc`es suivent bien une loi GPD, mais les estimations seront fortement instables car le nombre de mesures ne sera pas suffisant. A l’inverse, si k + i est trop grand (ou de mani`ere ´equivalent u petit), alors l’hypoth`ese d’une loi GPD sur les exc`es ne sera plus v´erifi´ee. Les estimations seront plus stables mais biais´ees. Il faut donc trouver un seuil tel qu’on ait suffisamment de mesures tout en restant dans l’hypoth`ese d’une loi GPD pour les exc`es. Pour choisir le nombre d’exc`es, nous proposons trois m´ethodes :

– Tracer, en fonction du nombre d’exc`es (exprim´e en pourcentage), les esti-mations des param`etres de forme et d’´echelle et regarder si on distingue une zone pour laquelle les estimations sont stables.

– Comparer les estimations par maximum de vraisemblance et par Hill des param`etres de forme et d’´echelle et regarder pour quel seuil maximal ces estimations sont coh´erentes.

– R´ealiser un test d’ad´equation `a la loi GPD et tracer la p-valeur en fonction du nombre d’exc`es. On choisit le nombre d’exc`es maximal tel que la p-valeur soit sup´erieure `a 0.05. On peut utiliser par exemple le test du Chi2 ou le test d’Anderson Darling. ([20], chapitre 7)

A noter : Lorsque l’on est dans le domaine de Fr´echet, alors les variables Zi= logYi

u

o`u Yi sont les exc`es, suivent approximativement une loi exponentielle de

param`etre γ. On peut donc, au lieu de r´ealiser un test d’ad´equation des exc`es `a la loi GPD, r´ealiser un test d’ad´equation des variables Zi `a la loi

exponentielle.

Choix du domaine d’attraction

L’estimation du param`etre de forme γ par maximum de vraisemblance per-met dans un premier temps de voir si le domaine d’attraction semble ˆetre le mˆeme pour toutes les stations ou si au contraire il change d’une r´egion `a l’autre. Il est int´eressant par ailleurs de regarder si il y a bien une coh´erence spatiale dans les estimations. A priori, il ne semble pas r´ealiste d’avoir des estimations n´egatives de γ car il n’y a aucune raison pour que les hauteurs de pluie soient born´ees. Le domaine de Gumbel et de Fr´echet semblent donc plus adapt´es `a l’´etude des pluies. Une deuxi`eme approche int´eressante pour d´eterminer le do-maine d’attraction le plus r´ealiste est d’´etudier les estimations de γ par l’es-timateur de Hill. Si ces estimations sont tr`es proches de z´ero, c’est qu’on est probablement dans le domaine de Gumbel, si au contraire elles s’en ´eloignent, on est plutˆot dans le domaine de Fr´echet. Enfin, des outils graphiques tels que le diagramme de Hill (d´ecrit paragraphe 3.1.1) ou le return level plot ([8], page 49) peuvent aussi ˆetre utilis´es pour choisir le domaine d’attraction.

Return level plot: On consid`ere les maxima m1, . . . , mT de T blocs (chaque

ˆ F (x) = 1 n n X i=1 I(Xi≤ x) (3.6) Alors :

– Si on est dans le domaine d’attraction de Gumbel, la courbe est lin´eaire, – Si la courbe est convexe avec une asymptote horizontale, on est dans le

domaine d’attraction de Weibull,

– Et enfin, si la courbe est concave et non born´ee, on est dans le domaine d’attraction de Fr´echet.

3.1.2

G´

eostatistique

En g´eostatistique, on consid`ere que la variable r´egionalis´ee z(x) (ici la hau-teur de pluie) en tout point x du champs D ´etudi´e est la r´ealisation d’une fonction al´eatoire Z(x). Le nombre d’observations disponibles ´etant limit´e, il est illusoire de vouloir inf´erer la loi spatiale enti`ere de Z et on se restreint `a l’´etude des deux premiers moments et plus particuli`erement `a l’´etude du va-riogramme qui caract´erise la corr´elation spatiale entre sites. Ce vava-riogramme est ensuite utilis´e dans l’´etape de krigeage, technique d’interpolation lin´eaire permettant d’estimer les hauteurs de pluies entre les sites de mesures [6]. Le variogramme

N’ayant en g´en´eral qu’une r´ealisation de la fonction al´eatoire Z en chaque site de mesure, l’inf´erence est impossible sauf si l’on se restreint `a l’´etude de fonctions al´eatoires stationnaires (ou intrins`eques), c’est `a dire que la loi spatiale de la fonction al´eatoire (ou de ses accroissements) est invariante par translation. En d’autres termes, l’esp´erance et la variance de la diff´erence Z(x + h) − Z(x) entre deux sites ne d´epend que de la distance h qui les s´epare.

On suppose donc que Z(x) est une fonction al´eatoire intrins`eque sans d´erive : ∀x, x + h ∈ D,

(

E[Z(x + h) − Z(x)] = 0 var[Z(x + h) − Z(x)] = 2V (h)

o`u V (h) est appel´e variogramme etD est le champs d’´etude (domaine born´e de Rd ).

Le variogramme mesure la variabilit´e des mesures entre deux points s´epar´es par une distance h. Souvent, V (h) croˆıt `a partir de h = 0, puis atteint, `a partir d’une distance a (la port´ee), une valeur limite (le palier, voir figure 3.2). Cela signifie que lorsque deux points sont s´epar´es par une distance sup´erieure `a la port´ee, les variables al´eatoires associ´ees `a ces points ne sont plus corr´el´ees. Soient z(xi), xi ∈ D, i ∈ {1, . . . , n} les donn´ees exp´erimentales, on d´efinit alors

un estimateur du variogramme de la mani`ere suivante : ˆ V (h) = 1 2|N(h)| X N (h) [z(xα) − z(xβ)]2

ensuite un mod`ele (variogramme sph´erique, exponentiel . . . ) [6] qui permet de calculer la valeur du variogramme pour n’importe quelle distance, ce qui est in-dispensable pour r´esoudre les ´equations de krigeage. Dans cette ´etude, nous uti-liserons principalement les mod`eles p´epitiques et sph´eriques d´ecrits ci-dessous : – le mod`ele p´epitique de palier C (appel´e aussi effet de p´epite) traduit une

absence de structure spatiale et quantifie les erreurs de mesure, V (h) =

(

0 pour h = 0 C pour h > 0

– le mod`ele sph´erique de port´ee a et de palier C traduit un comportement lin´eaire `a l’origine V (h) =    C pour h ≥ a C(3 2 h a − 1 2 h3 a3) pour 0 ≤ h ≤ a 0 50 100 150 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Distance

Variogram/Covariance Variogramme experimental modele ajuste

Palier

Portee

Fig._{3.2 – Exemple de variogramme exp´erimental mod´elis´e par la somme d’un} effet de p´epite et un variogramme sph´erique

Le krigeage

Le krigeage permet d’estimer la hauteur de pluie en un point `a partir des va-leurs observ´ees sur les sites voisins. Il prend en compte la configuration g´eom´etrique de points et leur structure spatiale via l’utilisation du variogramme. Le krigeage est d´efini par les 4 contraintes suivantes :

– Contrainte de lin´earit´e : on estime la valeur en un point x0 par une

com-binaison lin´eaire des valeurs aux sites voisins x1, . . . , xn.

ˆ Z(x0) = n X α=1 λαZ(xα)

cette condition est toujours v´erifi´ee. Dans le cadre intrins`eque, on doit imposer que la somme des poids soit 1.

n

X

α=1

λα= 1

– Contrainte de non biais :

E( ˆZ(x0) − Z(x0)) = 0

elle conduit `a imposer que la somme des poids soit 1.

– Contrainte d’optimalit´e : on cherche les poids qui minimisent la variance d’estimation V ar( ˆZ(x0) − Z(x0))

On montre facilement que ce probl`eme de minimisation sous contrainte re-vient `a r´esoudre le syst`eme suivant :

     γ(x1− x1) . . . γ(x1− xn) 1 .. . ... γ(xn− x1) . . . γ(xn− xn) 1 1 . . . 1 0           λ1 .. . λn µ      =      γ(x1− x0) .. . γ(xn− x0) 1     

o`u µ est le param`etre de Lagrange.

On en d´eduit alors facilement l’estimation de la variable r´egionalis´ee en x0 :

ˆ Z(x0) = n X α=1 λαZ(xα)

et la variance de krigeage associ´ee V ar( ˆZ(x0) − Z(x0)) =

n

X

α=1

λαγ(xα− x0) − µ.

3.2

Premi`

ere analyse des valeurs fortes

Dans cette section, nous pr´esentons l’application des m´ethodes pr´ec´edentes aux donn´ees de la r´egion C´evennes-Vivarais. Dans un premier temps nous regar-dons quel domaine d’attraction semble le plus pertinent pour les valeurs fortes. Nous pr´esentons ensuite les cartes de niveaux de retour et de p´eriode de retour. Deux pas de temps sont ´etudi´es pour les hauteurs de pluies : le cumul de pluie horaire ou journalier.

3.2.1

Domaine d’attraction ?

Une premi`ere approche pour d´eterminer quel domaine d’attraction semble le plus pertinent pour les hauteurs de pluie extrˆemes est d’estimer les param`etres de la loi GPD par maximum de vraisemblance pour toutes les stations. On r´ealise ensuite un krigeage pour estimer le param`etre de forme sur la r´egion

que si le param`etre de forme est positif, on est dans le domaine de Fr´echet, si il est proche de z´ero, on est dans le domaine de Gumbel et si il est n´egatif on est dans le domaine de Weibull, que nous jugeons peu r´ealiste pour l’´etude des hauteurs de pluie.

Une deuxi`eme approche pour d´eterminer le domaine d’attraction consiste `a tra-cer le diagramme de Hill et le return level plot (section 3.1.1). Seules les stations de Barnas, Mazan-L’Abbaye et Valleraugue seront ´etudi´ees. Ce sont les stations de mesure les mieux inform´ees du r´eseau.

Enfin, comme l’hypoth`ese du domaine d’attraction de Weibull semble peu pro-bable, on peut supposer que l’on est dans le domaine de Fr´echet et estimer le param`etre de forme par l’estimateur de Hill. Si les estimations sont ´eloign´ees de z´ero, l’hypoth`ese du domaine de Fr´echet sera v´erifi´ee, si en revanche elles sont proches de z´ero, le domaine de Gumbel sera peut ˆetre plus appropri´e.

Pas de temps horaire

Dans cette sous-section, les r´esultats sont pr´esent´es pour des cumuls de pluie horaires. L’estimation du param`etre de forme par maximum de vraisemblance (voir figure 3.4) montre que ce dernier est positif (> 0.14) sur l’ensemble de la r´egion : Le domaine de Fr´echet semble donc le plus adapt´e. Pour les stations les mieux inform´ees, le diagramme de Hill confirme l’hypoth`ese du domaine de Fr´echet car on obtient bien une droite pour les 3 stations (figure 3.3, colonne droite). Les return level plot pour ces trois mˆemes stations indiquent plutˆot le domaine de Weibull `a Barnas et Valleraugue et ´eventuellement le domaine de Gumbel `a Mazan-L’Abbaye (figure 3.3, colonne gauche). Ces derniers r´esultats sont surprenants car ils ne co¨ıncident pas avec les estimations du param`etre de forme par maximum de vraisemblance. Notons toutefois que les return level plot sont trac´es pour seulement 7 maxima annuels, ce qui n’est pas tr`es fiable. Enfin, si l’on suppose qu’on est effectivement dans le domaine de Fr´echet, l’estimation du param`etre de forme par l’estimateur de Hill (figure 3.6) montre que ce dernier est toujours sup´erieur `a 0.32 ce qui confirme que l’ajustement de la queue de distribution par une loi de Gumbel n’est pas tr`es adapt´e.

Globalement, les estimations sont coh´erentes spatialement pour les deux approches : maximum de vraisemblance et Hill (figures 3.4 et 3.6). La carto-graphie du param`etre de forme obtenue par maximum de vraisemblance est tr`es diff´erente de celle obtenue par Hill. Dans le cas de l’estimateur de Hill, le param`etre de forme semble tr`es fortement li´e au relief (voir figure B.1 en an-nexe B), avec des valeurs fortes en plaine entre les Alpes et le Massif Central, ce que confirme la figure 3.8 qui pr´esente le param`etre de forme estim´e par station en fonction de l’altitude. Dans le cas de l’estimation par maximum de vraisem-blance, il n’y a pas particuli`erement de logique dans les estimations.

Nous pr´esentons figures 3.5 et 3.7 les cartes de variance de krigeage pour les deux m´ethodes. On ne peut les utiliser telles quelles pour donner des incerti-tudes sur l’estimation du param`etre de forme mais elles permettent de distinguer les zones pour lesquelles les estimations sont peu fiables (celles avec une grande variance de krigeage). Ce sont bien ´evidemment les zones qui contiennent peu ou pas de donn´ees. Par la suite, nous ne pr´esenterons plus les cartes de variances de krigeage, qui sont pour la plupart identiques, mais nous retiendrons que les

les deux cas, le param`etre d’´echelle semble toujours li´e au relief pr´esentant des valeurs fortes sur les plaines et moins ´elev´ees en montagne. Toutefois, sa d´ecroissance en fonction de l’altitude est nettement moins ´evidente que pour le param`etre de forme (voir figure 3.11).

L’ensemble de ces r´esultats a ´et´e obtenu pour un pourcentage d’exc`es fix´e `a 7%, ce qui correspond `a un seuil moyen de 7mm et `a en moyenne 148 mesures par station. Ce pourcentage a ´et´e choisi selon les recommandations de la sec-tion 3.1.1. Les r´esultats sont pr´esent´es en annexe C. Ils montrent en fait qu’un seuil pertinent pour l’´etude serait de 4%, ce qui correspont `a un seuil moyen de 9 mm et environ une moyenne de 84 mesures par station. Le graphique 3.12 pr´esente les estimations du param`etre de forme, pour la station de Barnas, par maximum de vraisemblance et par l’estimateur de Hill en fonction du pourcen-tage d’exc`es retenus. Les deux estimateurs indiquent que le param`etre de forme est toujours positif, il y a donc coh´erence entre les deux m´ethodes d’estimation pour le choix du domaine d’attraction. En revanche, pour plus de 5% d’exc`es les intervalles de confiance ne se recoupent plus, ce qui n’est pas logique et confirme le choix du pourcentage d’exc`es `a 4%. Cependant, avec 4%, le nombre de me-sures semble insuffisant pour une ´etude par maximum de vraisemblance. Avec moins de 7% d’exc`es, les variogrammes pour les param`etres de la loi GPD ne montrent pas de coh´erence spatiale, ce qui n’est pas tr`es r´ealiste. Nous avons donc choisi de fixer le nombre d’exc`es `a 7% pour les deux approches : maximum de vraisemblance et Hill.

Le choix du seuil est extrˆemement important car les estimations, les inter-valles de confiance, la validit´e du mod`ele mais aussi l’analyse finale des r´esultats en d´ependent. En annexe E, les estimations des param`etres de forme et d’´echelle, par maximum de vraisemblance ou par l’estimateur de Hill, sont pr´esent´ees en fonction du pourcentage d’exc`es retenus. On peut voir que les cartes d’estimation du param`etre de forme sont tr`es diff´erentes en fonction du pourcentage retenu, en particulier pour l’approche par maximum de vraisemblance. Par maximum de vraisemblance, lorsque le pourcentage d’exc`es est faible, il apparaˆıt une zone de valeurs fortes `a l’ouest et de valeurs faibles `a l’est. En augmentant fortement le nombre d’exc`es (`a partir de 20% d’exc`es), on retrouve la zone de valeurs fortes en plaine entre les montagnes, dans la zone englobant Al`es, Nˆımes et Montpel-lier. Les cartes obtenues par l’estimateur de Hill diff`erent elles aussi en fonction du pourcentage d’exc`es mais restent toutefois plus coh´erentes entre elles avec une zone de valeurs fortes toujours dans la mˆeme zone, en plaine. A l’inverse, par maximum de vraisemblance, les estimations restent toujours dans la mˆeme gamme de valeurs (entre 0.1 et 0.28) alors qu’avec l’estimateur de Hill, elles croissent lorsque le seuil croˆıt.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 20 25 30 35 40 45 50 55 −log(−log(F(x))) x 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 log(X n−i+1 ) − log(X n−k+1 ) log(k/i) −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 15 20 25 30 35 40 45 −log(−log(F(x))) x 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 log(X n−i+1 ) − log(X n−k+1 ) log(k/i) −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 15 20 25 30 35 40 −log(−log(F(x))) x 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 log(X n−i+1 ) − log(X n−k+1 ) log(k/i)

Fig. _{3.3 – A gauche : Return level plot. A droite : Diagramme de Hill.} Sta-tions de mesures ´etudi´ees : Barnas (en haut), Marzan-L’Abbaye (au milieu) et Valleraugue (en bas). Pas de temps horaire.

0.22 0.31 0.16 0.12 0.14 0.21 0.16 0.19 0.35 0.3 0.44 0.31 0.08 0.11 0.06 0.09 0.27 0.15 0.16 0.35 0.3 0.2 0.22 0.12 0.18 0.08 0.14 −0.01 0.1 0.15 0.26 0.08 0.25 0.13 0.03 0.05 0.16 0.18 0.15 0.16 0.19 0.2 0.39 0.36 0.25 0.31 0.14 0.1 0.19 0.28 0.23 0.32 0.16 0.17 0.25 0.31 0.07 _0.21 0.04 0.31 0.09 0.21 0.21 0.34 0.42 0.27 0.27 0.24 0.2 0.33 0.29 0.28 0.25 0.19 0.08 0.13 0.37 0.3 0.27 0.13 0.39 0.33 0.04 0.1 _0.24 0.27 0.32 0.19 0.27 0.08 0.28 0.29 0.27 0.2 0.27 0.15 0.25 0.2 0.18 0.26 0.34 0.3 0.35 0.12 0.16 0.22 0.41 0.27 0.13 0.12 0.25 0.24 0.05 0.28 0.27 0.25 0.15 0.16 0.24 0.18 0.34 0.25 0.13 0.41 0.27 0.21 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26

Fig. _{3.4 – Estimation par station du param`etre de forme γ par maximum de} vraisemblance puis interpolation par krigeage. Pas de temps horaire.

8 8.5 9 9.5 10 x 10−3

Fig. _{3.5 – Variance de krigeage pour l’estimation du param`etre de forme γ par} maximum de vraisemblance. Pas de temps horaire.

0.41 0.4 0.44 0.37 0.43 0.35 0.4 0.35 0.49 0.46 0.45 0.46 0.4 0.47 0.36 0.39 0.35 0.34 0.42 0.38 0.38 0.4 0.42 0.34 0.33 0.38 0.39 0.34 0.36 0.41 0.42 0.43 0.47 0.32 0.32 0.37 0.34 0.44 0.37 0.39 0.35 0.45 0.45 0.4 0.44 0.4 0.41 0.35 0.41 0.36 0.410.34 0.32 0.39 0.33 0.47 0.42_0.34 0.29 0.43 0.32 0.41 0.44 0.47 0.48 0.41 0.46 0.48 0.52 0.49 0.37 0.49 0.37 0.35 0.39 0.47 0.35 0.46 0.48 0.45 0.52 0.44 0.44 0.27 _0.38 0.34 0.37 0.38 0.39 0.39 0.43 0.33 0.37 0.38 0.39 0.37 0.44 0.36 0.36 0.37 0.39 0.35 0.39 0.45 0.41 0.4 0.45 0.41 0.51 0.42 0.45 0.4 0.43 0.47 0.42 0.62 0.37 0.39 0.47 0.45 0.37 0.43 0.4 0.37 0.41 0.5 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46

Fig._{3.6 – Estimation par station du param`etre de forme γ par l’estimateur de} Hill puis interpolation par krigeage. Pas de temps horaire

1.5 2 2.5 3 3.5 x 10−3

Fig._{3.7 – Variance de krigeage pour l’estimation du param`etre de forme γ par} l’estimateur de Hill. Pas de temps horaire

0 500 1000 1500 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

Fig. _{3.8 – Param`etre de forme estim´e par Hill en fonction de l’altitude. Pas de} temps horaire. 5.01 4.04 4.87 5.55 4.88 3.78 4.68 3.41 4.43 4.59 3.7 4.2 5.29 5.25 3.99 3.51 3.96 2.67 4.92 3.07 4.02 3.94 3.28 3.1 3.04 4.18 4.05 3.17 3.32 3.91 3.51 5.18 5.25 3.24 3.14 3.65 2.41 4.78 4.03 3.97 3.86 5.39 3.98 3.97 4.52 4.01 4.58 3.49 4.33 2.94 3.932.37 2.8 4.25 2.46 3.89 4.14_3.28 2.85 4.13 2.97 4.36 4.02 4.88 4.44 4.56 4.96 5.04 4.81 4.56 3.12 5.31 3.48 3.71 4.58 5.46 3.16 4.05 4.55 4.85 3.81 4.05 5.23 3.65 _3.68 3.18 2.5 2.83 2.85 3.01 3.02 1.95 2.8 3.27 2.72 3.18 3.3 2.99 2.81 2.46 2.54 3.34 2.52 5.6 4.49 3.95 3.79 3.86 5.66 5.07 4.3 4.1 5.25 4.86 4.04 7.21 3.53 4.04 4.51 4.64 2.98 4.12 4.21 3.08 3.87 5.49 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 2.5 3 3.5 4 4.5

Fig. _{3.9 – Estimation par station du param`etre d’´echelle σ par maximum de} vraisemblance puis interpolation par krigeage. Pas de temps horaire.

3.5 3 3.08 4.12 3.03 2.63 3.04 2.67 3.6 3.21 3.39 3.37 3.69 3.06 2.36 1.97 3.39 1.96 3.16 2.72 3.04 2.58 2.44 1.87 1.98 2.5 2.54 1.68 1.96 2.8 2.3 3.03 3.54 2.07 1.77 2.05 1.77 3.45 2.59 2.52 2.63 3.57 3.49 3.52 3.06 2.98 2.87 2.1 2.84 2.01 2.642.18 1.75 2.76 2.02 3.04 2.33_2.23 1.62 2.98 1.76 2.9 2.97 3.99 3.91 3.73 3.87 3.73 3.3 3.61 2.62 4.04 2.85 2.92 3.17 3.7 2.95 3.2 3.44 3.32 3.04 3.35 3.36 2.86 _2.95 2.7 2.09 2.07 2.4 2.02 2.32 1.6 2.25 2.49 2.16 2.31 2.47 2.3 2.09 1.93 2.13 2.92 2.13 3.41 2.88 2.62 2.91 2.67 3.29 3.16 3.25 2.82 3.03 3.31 2.76 4.34 2.21 2.56 3.35 2.92 2.62 2.79 2.59 2.92 2.68 3.48 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6

Fig.<sub>3.10 – Estimation par station du param`etre d’´echelle σ dans le cas</sub> particu-lier du domaine d’attraction de Fr´echet pour lequel σ = u × γ o`u u correspond au seuil et γ au param`etre de forme. Le param`etre de forme γ est estim´e par l’estimateur de Hill. Pas de temps horaire.

0 500 1000 1500 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Fig._{3.11 – Param`etre d’´echelle estim´e par Hill en fonction de l’altitude. Pas de} temps horaire.

0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Shape parameter % Hillplot Estimateur de Hill Maximum de vraisemblance

Fig._{3.12 – Station de mesure `a Barnas : Param`etre de forme estim´e par} maxi-mum de vraisemblance et par l’estimateur de Hill en fonction du pourcentage d’exc`es. Donn´ees horaires.

Lorsque le cumul de pluie est ´etudi´e sur 24 heures, c’est `a dire au pas de temps journalier, les conclusions diff`erent compl`etement. Notons tout d’abord qu’en ramenant les donn´ees horaires `a des donn´ees journali`eres, le nombre de mesures diminue fortement. Or il est montr´e en annexe D qu’un choix pertinent pour le pourcentage d’exc`es `a retenir est de 10%, ce qui correspond `a un seuil de 30 mm de pluie par jour et 52 mesures en moyenne par station, ce qui est tr`es peu. Une estimation des param`etres de la loi GPD par maximum de vrai-semblance conduit alors `a de nombreuses valeurs n´egatives pour le param`etre de forme, ce qui n’est pas logique car cela signifie que la hauteur de pluie jour-nali`ere est born´ee pour de nombreuses stations. Les p´eriodes de retour estim´ees pour un cumul de pluie fix´e `a 200mm par jour sont alors ´enormes voir infinies, ce qui signifie que dans certaines r´egions il ne pleuvra jamais plus de 200mm. Est ce vraiment r´ealiste ? Les return level plot et diagrammes de Hill pour les trois stations les mieux inform´ees semblent d’ailleurs indiquer que les domaines de Fr´echet ou Gumbel sont les plus pertinents (figure 3.19).

Par ailleurs, si on compare les estimations du param`etre de forme par maxi-mum de vraisemblance et par l’estimateur de Hill en fonction du pourcentage d’exc`es (exemple `a Barnas figure 3.14), on voit que les intervalles de confiance de chaque estimateur ne se recoupent quasi jamais sauf pour moins de 10% d’exc`es. Or avec moins de 10% d’exc`es, les incertitudes par maximum de vraisemblance sont tellement fortes qu’on ne peut d´eterminer le domaine d’attraction, le pa-ram`etre de forme variant entre des valeurs n´egatives et des valeurs positives. Avec 10% d’exc`es, une approche par maximum de vraisemblance ne semble pas pertinente et nous avons donc choisi d’augmenter le pourcentage d’exc`es `a 30%, ayant toutefois bien conscience qu’avec 30%, l’hypoth`ese d’une loi GPD pour les exc`es semble compromise. Nous avons cependant conserv´e 10% d’exc`es pour l’approche Hill. Notons que 30% d’exc`es correspondent `a un seuil de 12 mm de pluie par jour et environ 159 mesures par station. Les cartographies du pa-ram`etre de forme obtenues par maximum de vraisemblance (figure 3.15) et par l’estimateur de Hill (figure 3.16) diff`erent. Par maximum de vraisemblance, on distingue les valeurs fortes dans l’ouest de la r´egion et des valeurs proches de z´ero `a l’est. Les estimations ne semblent pas li´ees au relief et sont comprises entre 0 et 0.15. Par l’approche Hill, les estimations sont nettement plus ´elev´ees et va-rient entre 0.34 et 0.5, ce qui indique comme pour les donn´ees horaires qu’on est dans le domaine de Fr´echet. Ces estimations semblent li´ees aux relief avec des valeurs fortes sur les C´evennes et des valeurs plus faibles en plaine. Cependant, l’altitude n’explique pas `a elle seule le param`etre de forme puisque `a l’est, pr`es des Alpes, ce dernier ne semble pas plus ´elev´e qu’ailleurs. Par cons´equent, tra-cer le param`etre de forme en fonction de l’altitude ne laisse apparaˆıtre aucune relation entre les deux (figure 3.13). Pour visualiser les altitudes des stations, le lecteur pourra se reporter `a l’annexe B, figures B.1 et B.2.

Les cartographies du param`etre d’´echelle sont par contre tr`es similaires pour les deux approches. Dans les deux cas, le param`etre d’´echelle varie entre 6 et 22. On distingue trois zones :

– une zone de valeurs fortes sur la ligne de crˆetes des C´evennes – une zone de valeurs faibles dans les Alpes

Les principales conclusions sur l’analyse station par station des param`etres de la loi GPD sont les suivantes :

– Quel que soit le pas de temps consid´er´e, horaire ou journalier, la loi des exc`es semble appartenir au domaine de Fr´echet.

– Quel que soit le pas de temps consid´er´e, horaire ou journalier, la cartogra-phie du param`etre d’´echelle est similaire pour les deux approches, maxi-mum de vraisemblance et Hill. Au pas de temps horaire, le param`etre d’´echelle semble plus ´elev´e en plaine. Au pas de temps journalier, on dis-tingue une zone de valeurs fortes sur les C´evennes, une zone de valeurs interm´ediaires en plaine et un zone de valeurs faibles sur les Alpes. – En revanche, la cartographie du param`etre de forme diff`ere selon la m´ethode

d’estimation choisie :

– Au pas de temps horaire et dans le cas de l’estimateur de Hill, le pa-ram`etre de forme semble li´e au relief, avec des valeurs fortes en basse altitude. Dans le cas du maximum de vraisemblance, la carte est tr`es diff´erente et il ne semble pas y avoir de logique dans les estimations. Le choix du seuil semble tr`es important, en particulier pour les estimations par maximum de vraisemblance. Avec peu de mesures, les incertitudes sur les estimations par maximum de vraisemblance sont tr`es fortes et l’approche par estimateur de Hill nous semble donc plus pertinente, d’autant plus que l’hypoth`ese du domaine de Fr´echet pour la loi des exc`es est confirm´ee pas les deux approches.

– Au pas de temps journalier et dans le cas de l’estimateur de Hill, on distingue pour le param`etre de forme une zone de valeurs fortes sur les C´evennes. Il ne semble donc pas uniquement li´e `a l’altitude puisque les valeurs ne sont pas particuli`erement ´elev´ees dans les Alpes. Dans le cas du maximum de vraisemblance, la carte est encore une fois tr`es diff´erente et il ne semble pas y avoir de logique dans les estimations.

0 500 1000 1500 5 10 15 20 25 30 35

Fig.<sub>3.13 – Param`etre de forme estim´e par Hill en fonction de l’altitude. Donn´ees</sub> journali`eres.

0 20 40 60 80 100 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Shape parameter % Hillplot Estimateur de Hill Maximum de vraisemblance

Fig._{3.14 – Station de mesure `a Barnas : Param`etre de forme estim´e par} maxi-mum de vraisemblance et par l’estimateur de Hill en fonction du pourcentage d’exc`es. Donn´ees journali`eres.

0.1 0.07 0.04 0.22 −0.03 0.12 0.06 0.13 0.02 0.15 0.14 0.13 0.35 −0.05 0.03 0.24 0.18 0.2 0.09 −0.15 0.18 0.12 −0.07 −0.07 0.06 0.13 0.1 0.14 −0.04 0.05 0.04 −0 0.13 −0.17 0.13 −0.03 0.06 0.02 0.1 0.08 0.09 0.05 0.12 0.15 0.09 −0.06 −0.02 −0.03 0.16 0.07 0.05 0.19 −0 0.08 0.1 0.01 0.14 _0.13 0.02 −0.07 −0.08 −0.05 0 0.22 0.23 0.18 0.2 0.07 0.1 0.02 0.11 0.22 −0.03 −0.06 −0.01 0.07 0.17 −0.03 0.15 −0.15 0.12 0.13 0.12 0.28 _0.18 0.22 0.12 −0.01 0.23 0.04 0.17 0.29 0.13 0.23 0.05 0.1 0.18 0.11 0.13 0.21 0.07 0.19 0.04 −0.03 0.11 −0.05 0.22 0.02 0.05 0.08 0 0.06 0.13 −0.02 0.06 0.17 0.03 −0.02 0.04 0.01 0.27 0.01 0.1 −0.01 −0.13 0.13 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Fig. _{3.15 – Estimation par station du param`etre de forme γ par maximum de} vraisemblance puis interpolation par krigeage. Pas de temps journalier

0.47 0.49 0.49 0.51 0.38 0.46 0.43 0.45 0.38 0.44 0.41 0.43 0.57 0.4 0.46 0.48 0.51 0.45 0.45 0.36 0.62 0.48 0.32 0.29 0.39 0.38 0.44 0.43 0.32 0.42 0.41 0.41 0.38 0.3 0.36 0.33 0.39 0.37 0.41 0.41 0.45 0.38 0.36 0.49 0.34 0.43 0.37 0.33 0.4 0.38 0.43 0.41 0.31 0.42 0.42 0.38 0.46_0.46 0.39 0.28 0.29 0.35 0.4 0.53 0.41 0.48 0.41 0.37 0.39 0.36 0.39 0.44 0.41 0.38 0.36 0.4 0.59 0.36 0.44 0.37 0.36 0.55 0.48 0.57 _0.49 0.51 0.37 0.32 0.56 0.36 0.39 0.37 0.36 0.51 0.36 0.44 0.4 0.46 0.35 0.4 0.41 0.5 0.38 0.35 0.48 0.39 0.47 0.43 0.37 0.37 0.39 0.41 0.39 0.33 0.35 0.38 0.38 0.35 0.3 0.35 0.41 0.38 0.44 0.37 0.32 0.47 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5

Fig._{3.16 – Estimation par station du param`etre de forme γ par l’estimateur de} Hill puis interpolation par krigeage. Pas de temps journalier.

20.02 26.13 19.67 35.48 22.27 22.59 19.58 16.52 16.88 18.43 19.08 17.54 24.64 20.22 14.15 10.21 32.79 9.69 22.84 26.11 24.52 16.06 13.77 13.99 11.53 12.23 12.8 10.87 13.34 14.4 12.16 14.74 14.06 17.43 12.41 12.31 13.27 16.02 13.95 14.2 14.13 17.72 15.55 17.87 14.53 17.4 17.36 14.58 13.29 12.07 15.16 10.74 12.58 15.3 12.89 13.47 10.66_13.03 14.32 16.12 13.3 15.21 16.02 25.35 16.97 25.47 16.17 14.78 11.39 15.37 13.46 16.47 39.37 37.35 16.26 15.27 21.22 20.61 13.65 16.52 12.76 18.47 15.92 29.08 _16.94 18.71 9.05 8.88 13.29 8.77 8.16 4.36 10.42 11.89 9.8 10.69 8.18 11.17 8.9 8.87 10.12 28.71 9.01 16.05 14.15 13.8 14.68 15.18 15.64 13.93 13.35 15.87 12.14 15.37 13.25 13.97 11.84 14.38 13.51 15.86 12.49 13.77 14.06 18.93 18.14 14.47 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Fig. _{3.17 – Estimation par station du param`etre d’´echelle σ par maximum de} vraisemblance puis interpolation par krigeage. Pas de temps journalier.

16.85 22.04 16.05 34.81 14.19 19.05 15.26 14.83 11.35 15.31 16.09 15.6 29.11 12.79 10.96 10.17 30.3 9.1 18.86 14.95 23.72 14.01 7.93 7.83 9.2 10.41 10.97 10.23 7.99 11.22 9.22 10.87 10.99 8.13 9.53 8.03 9.76 11.38 10.2 10.15 11.99 12.71 11.98 16.31 10.34 12.36 10.86 8.77 10.45 9.23 10.499.59 8.17 11.3 11.03 9.31 8.79_10.82 11.06 8.48 7.3 9.56 11.69 25.4 15.74 23.69 15.89 11.21 9.35 10.62 11.44 15.74 23.93 23.29 11.13 12.05 21.16 12.42 11.75 9.62 9.69 16.86 14.14 30.38 _16.24 18.85 7.26 5.91 14.19 6.48 7.18 5.02 8.63 11.93 6.97 8.85 7.42 9.66 7.09 8.39 8.26 25.01 6.79 10 12.13 9.1 14.49 11.07 10.72 10.26 9.45 11.94 10.18 9.18 9.15 11.44 8.66 9.57 8.79 10.72 12.96 9.59 12.08 12.85 9.87 12.94 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Fig.<sub>3.18 – Estimation par station du param`etre d’´echelle σ dans le cas</sub> particu-lier du domaine d’attraction de Fr´echet pour lequel σ = u × γ o`u u correspond au seuil et γ au param`etre de forme. Le param`etre de forme γ est estim´e par l’estimateur de Hill. Pas de temps journalier.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 160 180 200 220 240 260 280 300 320 −log(−log(F(x))) x 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 log(X n−i+1 ) − log(X n−k+1 ) log(k/i) −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 100 150 200 250 300 −log(−log(F(x))) x 0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 log(X n−i+1 ) − log(X n−k+1 ) log(k/i) −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 −log(−log(F(x))) x 0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 log(X n−i+1 ) − log(X n−k+1 ) log(k/i)

Fig. _{3.19 – A gauche : Return level plot. A droite : Diagramme de Hill.} Sta-tions de mesures ´etudi´ees : Barnas (en haut), Marzan-L’Abbaye (au milieu) et Valleraugue (en bas). Pas de temps journalier.

Les cartes d’estimation des niveaux de retour pour une p´eriode de retour fix´ee `

a 10 ans sont tr`es similaires quelle que soit la m´ethode d’estimation utilis´ee : Maximum de vraisemblance ou estimateur de Hill. Pour des donn´ees horaires, les niveaux de retour sont li´es `a l’altitude avec des intensit´es ´elev´ees en plaine et plus faibles en montagne (figures 3.20 et 3.21). Pour un cumul journalier des hauteurs de pluie, on observe `a l’inverse des valeurs fortes sur la ligne de crˆetes, donc plutˆot en altitude (figures 3.22 et 3.23). L’altitude ne suffit cependant pas `a expliquer les niveaux de retour puisque dans les Alpes, ces derniers sont plutˆot faibles, comme en plaine. Globalement, les cartes obtenues pour les niveaux de retour se comportent identiquement `a celles obtenues pour le param`etre d’´echelle.

On remarque que par l’estimateur de Hill, les niveaux de retour estim´es sont plus forts que ceux obtenus par maximum de vraisemblance. La diff´erence est tr`es importante pour les donn´ees journali`eres mais ce r´esultat s’explique par le fait qu’on a retenu 30% d’exc`es pour l’approche par maximum de vraisemblance et seulement 10% d’exc`es pour l’approche Hill. Dans le premier cas, on a donc introduit beaucoup de valeurs ’non extrˆemes’ qui font chuter les niveaux de retour. 59.89 72.41 50.19 57.27 47.04 47.75 47.23 37.82 70.8 65.93 89.07 65.11 48.72 45.67 31.47 28.92 64.19 24.84 53.57 56.81 64.77 45.11 41.11 31.18 32.81 34.02 38.21 23.25 30.03 39.57 46.4 40.36 62.57 30.95 24.91 28.84 26.7 49.41 39.17 37.68 39.89 57.75 75.92 72.89 55.35 60.46 43.33 30.91 46.92 42.93 47.0743.2 30.49 43.56 33.64 48.88 31.62_39.22 23.66 59.12 26.34 47.73 42.56 85.05 88.98 66.73 63.65 54.23 45.75 62.26 42.77 66.24 54.39 44.89 34.86 45.55 59.36 54.97 52.39 38.46 61.47 56.01 34.64 36.99 _45.05 42.71 36.13 28.78 43.8 25.29 41.81 26.3 36.29 37.22 35.88 31 39.2 32.85 29.87 33.4 41.96 45.06 39.81 44.31 42.29 40.95 87.81 49.21 45.81 42.4 47.56 50.74 35.63 58.38 49.04 78.18 33.54 38.33 49.05 44.92 51.47 48.43 38.99 69.59 50.55 56.51 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 30 35 40 45 50 55 60

Fig. <sub>3.20 – Niveaux de retour pour une p´eriode de retour fix´ee `a 10 ans.</sub> Es-timation des param`etre de forme et d’´echelle par maximum de vraisemblance. Pas de temps horaire. Seuil : 7%.

76.06 75.96 77.26 97.28 73.06 53.06 66.69 46.36 88.1 79.35 83.43 84.39 94.13 82.49 44.61 40.41 72.23 30.13 83.29 55.17 64.28 56.51 58.09 38.26 33.93 48.51 50.53 36.55 40.24 62.55 52.8 66.91 84.52 34.27 34.53 43.22 34.49 80.02 49.64 47.61 44.28 82.1 79.49 75.2 69.2 60.81 62.62 40.26 60.26 40.5 54.9843.13 32.32 56.71 35.38 61.26 50.08_40.62 28.68 62.15 31.32 59.01 60.13 111.4694.23 85.44 87.72 80.58 77.79 80.17 45.6 97.77 65.91 58.3 52 80.14 52.99 69.79 72.26 60.21 74.59 64.01 60.24 46.42 _54.43 45.04 36.05 36.81 55.24 40.96 52.82 24.79 40.37 48.73 40.47 43.12 52.51 40.51 38.12 37.92 41.96 45.33 39.02 68.74 55.93 46.87 78.92 53.45 81.22 61.57 64.43 58.13 56.06 72.58 54.77 152.17 39.85 48.99 71.1 62.36 50.33 56.56 54.48 58.79 55.25 88.01 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Fig. <sub>3.21 – Niveaux de retour pour une p´eriode de retour fix´ee `a 10 ans. On</sub> suppose que la fonction de r´epartition des valeurs extrˆemes est dans le domaine de Fr´echet. Estimation du param`etre de forme par l’estimateur de Hill. Pas de temps horaire. Seuil : 7%.

157.75 193.65 131.26 407.11 123.91 187.93 137.65 135.96 106.03 158.57 165.2 151.1 442.32 106.77 92.56 120.33 322.89 94.57 179.39 110.65 229.21 132.34 73.58 77.52 84.51 107.63 103.7 110.19 77.27 103.77 86.89 90.18 118.29 70.94 112.85 74.57 97.97 102.98 111.86 104.13 104.41 121.93 129 163.89 111.6891.6 101.58 85.42 128.43 90.94 105.12 119.19 79.98 115.08 105.6 79.53 93.57_115.44 94.79 82.63 70.64 81.74 94.13 268.79181.94 249.62 161.52 101.78 86.22 94.74 105.05 168.74 211.76 187.25 90.52 104.64 194.84 109.56 112.52 68.32 96.1 139.47114.91 368.21 _158.3 192.93 74.31 54.18 166.1 64.05 85.8 62.47 88.87 140.47 69.72 85.95 83.96 93.02 79.56 98.91 76.24 228.44 61.57 86.37 108.99 71.84 170.23 93.61 102.64 101.03 79.3 110.13 96.7 86.13 91.87 124.99 76.49 82.83 88.67 96.69 162.72 85.17 112.53 114.55 79.34 118.48 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Fig. <sub>3.22 – Niveaux de retour pour une p´eriode de retour fix´ee `a 10 ans.</sub> Es-timation des param`etre de forme et d’´echelle par maximum de vraisemblance. Pas de temps journalier. Seuil : 30%.

262.92 390.63 265.57 656.02 183.7 311.32 223.72 204.92 144.04 216.13 220.88 222.25 654.85 168.57 172.29 165.96 541.92 122.18 308.23 193.82 514.78 224.51 101.87 100.01 125.6 138.4 162.67 175.13 108.01 171.06 139.89 153.47 141.09 95.32 133.66 109.71 142.51 148.77 151.25 140.18 170.66 165.7 148.65 283.69 127.22183.89 148.67 113.48 154.12 126.2 161.08150.83 104.71 167.95 161.4 106.77 139.2_181.59 148.27 96.89 89.8 120.48 143.86 434.97200.31 378.88 201.5 131.81 112.83 122.86 138.01 203.5 361.57 296.92 124.63 147.82 420.61 145.05 144.93 107.11 108.89 266.1 178.35 598.06 _239.54 293.09 92.65 72.01 327.98 92.31 109.23 64.93 112.53 220.96 92.61 138.82 104.87 155.19 92.78 120.13 118.98 300.2 89.44 116.81 178.77 108.04 236.26 151.12 128.72 124.35 116.66 166.78 120.27 104.1 109.81 139.14 107.41 118.59 97.34 123.94 179.64 120.28 176.05 170.73 116.43 184.55 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 100 150 200 250 300 350 400

Fig. <sub>3.23 – Niveaux de retour pour une p´eriode de retour fix´ee `a 10 ans. On</sub> suppose que la fonction de r´epartition des valeurs extrˆemes est dans le domaine de Fr´echet. Estimation du param`etre de forme par l’estimateur de Hill. Pas de temps journalier. Seuil : 10%.

Les conclusions pour les cartes des temps de retour sont identiques `a celles des niveaux de retour. Les niveaux de retour ´elev´es sont ici remplac´es par des temps de retour faibles et r´eciproquement.

5.26 3.32 9.84 5.01 13.13 11.97 12.84 32.14 4.05 4.43 2.75 4.64 11.59 15.46 215.45 246.9 4.32 328.04 7.44 7.03 4.59 15.01 20.78 126.59 61.49 93.16 34.95 206.74 29.28 12.83 32.46 4.87 118.39 217.88 10.49 31.3 35.41 25.57 5.89 3.6 3.61 7.12 5.7 19.35 167.81 12.84 16.46 12.3815.66 106.44 18 43.3 10.67 160.42_25.85 6.17 11.87 18.2 2.38 2.67 3.88 4.73 7.61 13.81 5.48 16.36 4.26 7.42 15.87 79.27 15.11 6.3 7.57 8.65 33.48 6.11 7.3 99.2 66.97 _14.56 17.28 26.36 105.12 15.59 17.79 79.67 29.63 33.71 30.2 104.82 23.09 58.07 101.72 41.57 16.31 13.87 18.69 17.45 20.28 20.8 2.67 10.52 14.68 21.71 11.81 9.51 75.19 6.26 10.64 2.66 63.05 32.44 10.68 15.19 9.22 11.11 33.28 4.48 9.66 6.49 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 20 40 60 80 100 120

Fig. <sub>3.24 – Temps de retour pour une intensit´e de pluie fix´ee `a 50mm / heure.</sub> Estimation des param`etre de forme et d’´echelle par maximum de vraisemblance. Pas de temps horaire. Seuil : 7%.

3.61 3.51 3.72 1.69 4.17 8.44 4.91 12.4 3.12 3.65 3.17 3.17 2.07 3.45 13.69 17.19 3.53 44.67 2.98 7.7 5.16 7.35 7 21.93 32.32 10.82 9.73 25.35 18.38 5.81 8.78 5.11 3.29 32.72 31.57 14.79 29.71 3.46 10.2 11.35 14.15 3.29 3.54 3.6 4.75 6.11 5.78 18.56 6.32 17.82 7.9115.43 39.27 7.26 28.92 6.52 9.96_18.35 66.26 6 43.21 6.7 6.56 1.85 2.65 2.66 2.95 3.68 4.25 3.8 12.79 2.56 4.69 6.43 9.03 3.7 8.47 4.82 4.63 6.6 4.67 5.71 6.56 13.17 _7.99 13.64 24 22.21 7.76 16.73 8.8 81.6 17.7 10.7 17.29 14.88 8.95 17.96 21.22 21.08 15.59 13.26 18.75 4.96 7.61 11.74 3.61 8.5 3.84 6.1 5.71 6.88 7.68 4.55 8.07 1.66 18.5 10.53 4.69 6.11 9.83 7.5 8.06 6.49 7.85 3.21 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 5 10 15 20 25

Fig.<sub>3.25 – Temps de retour pour une intensit´e de pluie fix´ee `a 50mm / heure. On</sub> suppose que la fonction de r´epartition des valeurs extrˆemes est dans le domaine de Fr´echet. Estimation du param`etre de forme par l’estimateur de Hill. Pas de temps horaire. Seuil : 7%.

31.16 11.75 147.02 1.15 13.16 89.17 57.64 26.41 22.95 34.94 1.48 56.26 1.98 178.29 17.05 6.16 72.19 197.23 345.2 180.47 123.98 175.49 209.81 398.46 395.83 205.95 82.42 23.41 241.86 64.53 81.36 230.75 330.36 376.28_136.5 3.89 13.71 4.57 22.01286.34 17.94 6.98 15.94 11.02 399.62120.34 47.4 131.12 1.92 _24.49 11.27 18.9 447.05 422.81 33.93 411.02 158.3 6.52 226.02 17.46 443.12 329.17 69.72 19.14 206.72 115.18 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 50 100 150 200 250 300

Fig.<sub>3.26 – Temps de retour pour une intensit´e de pluie fix´ee `a 200mm / jour.</sub> Estimation des param`etre de forme et d’´echelle par maximum de vraisemblance. Pas de temps journalier. Seuil : 30%.

5.57 2.55 5.58 0.98 12.52 3.86 7.7 9.47 23.94 8.4 7.87 7.83 1.25 15.34 13.86 14.7 1.42 29.85 3.86 10.9 2.2 7.84 83.85 108.99 32.84 26.45 16.01 13.65 68.77 14.49 23.91 19.07 25.11 122.78 30.67 60.14 23.98 22.11 19.84 23.59 14.2 16.42 22.76 4.91 37.17 12.14 22.09 55.47 19.12 33.94 16.58 19.96 78.46 15.18 16.71 53.18 21.89_12.33 21.62 135.38 155.48 42.96 22.78 2.29 9.96 2.67 9.82 30.52 42.93 38.56 26.12 9.61 2.39 3.58 36.71 21.12 2.86 24.34 20.96 54.75 53.75 5.98 12.69 1.48 _6.9 4.74 79.84 240.58 4.14 85.65 46.31 201.5 48.82 8.24 85.24 23 50.42 17.27 87.23 35.81 35.17 4.42 84.38 46.31 12.66 49.07 7 19.32 32.93 35.75 39.79 15.55 36.66 73.35 54.95 26.3 52.16 43.69 107.57 39.9 13.01 37.63 13.37 15.39 53.25 11.86 MONTPELLIER NIMES ALES PRIVAS VALENCE LE PUY MENDE MILLAU 0 10 20 30 40 50 60 70

Fig.<sub>3.27 – Temps de retour pour une intensit´e de pluie fix´ee `a 200mm / jour. On</sub> suppose que la fonction de r´epartition des valeurs extrˆemes est dans le domaine de Fr´echet. Estimation du param`etre de forme par l’estimateur de Hill. Pas de temps journalier. Seuil : 10%.

En conclusion, cette premi`ere analyse des hauteurs de pluie dans la r´egion C´evennes-Vivarais nous a permis de mettre en ´evidence que pour des donn´ees horaires ou journali`eres, la loi de Gumbel habituellement consid´er´ee par les hydrologues ne semble pas la plus pertinente. Le domaine d’attraction de Fr´echet est en effet plus adapt´e pour mod´eliser la fonction de r´epartition des valeurs fortes. Se placer dans le domaine de Fr´echet a pour avantage de n’avoir qu’un seul param`etre `a estimer (le param`etre de forme) et donc une incertitude plus faible sur les estimations des temps et niveaux de retour.

L’analyse des cartes de temps et niveaux de retour donne des conclusions tr`es similaires `a celles obtenues par les hydrologues pour les donn´ees ´ev´enementielles (1972-1992) par l’approche “Gumbel + krigeage” : pour des donn´ees horaires, les niveaux de retour sont forts en basse altitude alors que pour des donn´ees journali`eres, ils sont forts sur la ligne de crˆetes du Massif Central. Inversement, les temps de retour sont faibles en basse altitude pour des donn´ees horaires et forts sur la ligne de crˆetes pour des donn´ees journali`eres. Les estimations obtenues pour les niveaux de retour par maximum de vraisemblance sont assez proches de celles obtenues dans les ´etudes pr´ec´edentes [3]. Elles sont en revanche plus ´elev´ees par l’approche Hill.

Notons que le passage des donn´ees horaires aux donn´ees journali`eres pose les difficult´es suivantes :

– cumuler les hauteurs de pluie par jour n’est pas pertinent car on divise arbitrairement le temps en blocs de 24h et on ne prend pas en compte les pluies qui s’´etalent entre deux jours. D’autre part, on obtient ainsi 24 fois moins de mesures, ce qui rend parfois l’´etude des valeurs extrˆemes difficile. – cumuler les hauteurs de pluie sur 24 heures `a l’aide d’une fenˆetre glissante, comme le font souvent les hydrologues, n’est pas pertinent non plus car on cr´ee ainsi un ´echantillon de mesures tr`es fortement corr´el´ees dans lequel on a finalement pris en compte 24 fois la mˆeme information.

Ces probl`emes montrent l’interˆet de d´evelopper un mod`ele temporel permettant d’´etudier de mani`ere pertinente l’effet des changements d’´echelle.

Par ailleurs, dans ce chapitre nous avons suppos´e que les donn´ees ´etaient ind´ependantes et identiquement distribu´ees. Nous verrons dans le chapitre suivant que cette hypoth`ese est fausse, et qu’un mod`ele prenant en compte la saisonnali´e des me-sures et ´eventuellement la corr´elation temporelle doit ˆetre d´evelopp´e.

Enfin, les cartographies obtenues dans ce chapitre sont le r´esultat de deux ´etapes : une ´etape de mod´elisation de la queue de distribution des hauteurs de pluie par station, puis une ´etape d’interpolation spatiale. Il est alors impos-sible d’en d´eduire l’incertitude sur les estimations finales. Un mod`ele spatial (voire spatio-temporel) devrait donc ˆetre d´evelopp´e.