Première S Mesures, erreurs de mesure, incertitudes

Première S Mesures, erreurs de mesure, incertitudes

Compétences exigibles sur les erreurs et incertitudes

 Identifier les différentes sources d'erreur (de limites et de précision) lors d'une mesure : variabilités du phénomène et de l'acte de mesure (facteurs liés à l'opérateur, aux instruments …)

 Évaluer et comparer les incertitudes associées à chaque source d'erreur.

 Évaluer l'incertitude de répétabilité à l'aide d'une formule d'évaluation fournie.

 Évaluer l'incertitude d'une mesure unique obtenue à l'aide d'un instrument de mesure.

 Évaluer, à l'aide d'une formule fournie, l'incertitude d'une mesure obtenue lors de la réalisation d'un protocole dans lequel interviennent plusieurs sources d'erreurs.

 Maîtriser l'usage des chiffres significatifs et l'écriture scientifique. Associer l'incertitude à cette écriture.

 Exprimer le résultat d'une opération de mesure par une valeur issue éventuellement d'une moyenne et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance.

 Évaluer la précision relative ou l'erreur relative.

 Déterminer les mesures à conserver en fonction d'un critère donné.

 Commenter le résultat d'une opération de mesure en le comparant à une valeur de référence.

 Faire des propositions pour améliorer la démarche.

Mesurer des grandeurs physiques est une activité fondamentale dans les laboratoires de recherche scientifique et dans l'industrie. Toute validation théorique d'un phénomène (physique, biologique, chimique…) passe par la mesure fiable de ses effets. C'est aussi fondamental dans de nombreuses activités quotidiennes comme la pesée dans les commerces, les analyses biologiques, la mesure de la vitesse avec un radar…

Mesurer une grandeur, c’est rechercher une valeur de cette grandeur et lui associer une incertitude afin d’évaluer la qualité de la mesure.

I. Mesures et erreurs de mesures A. Définition

Le mesurage est l’ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur. Le terme mesurage est préféré à celui de mesure, car le mot mesure a de nombreux sens dans la langue française.

Le résultat d’un mesurage est un ensemble de valeurs attribuées à la grandeur mesurée. C’est un intervalle de valeur à l’intérieur duquel se trouve la valeur mesurée.

La valeur vraie d’une grandeur est la valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Un mesurage n’étant jamais parfait, cette valeur est toujours inconnue.

L’erreur de mesure est l’écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie.

Par définition, cette erreur est inconnue puisque la valeur vraie est elle-même inconnue.

B. Erreurs et notion associées

Les erreurs de mesures peuvent être dues à l'instrument de mesure, à l'opérateur ou à la variabilité de la grandeur mesurée. On les classe en 2 catégories :

1. Erreur de mesure aléatoire

Lorsqu'un opérateur mesure plusieurs fois la même grandeur, les valeurs mesurées peuvent être différentes. On parle d'erreur de mesure aléatoire.

La dispersion des valeurs mesurées est due à la qualité du mesurage réalisé par l'opérateur et à la qualité

de l'instrument de mesure.

2. Erreur de mesure systématique Un appareil défectueux, mal étalonné ou utilisé incorrectement conduit à des valeurs mesurées proches les unes des autres, mais éloignées de la valeur vraie. On parle alors d'erreur de mesure systématique.

Comparons des mesurages à des lancers de fléchettes. La valeur vraie est au centre de la cible et si les flèches représentent des valeurs mesurées :

les erreurs aléatoires conduisent à un manque de précision.

les erreurs systématiques conduisent à un manque de justesse.

II. Évaluation des incertitudes de mesure

Au baccalauréat, toutes les formules nécessaires à la détermination d'incertitudes vous seront données, VOUS N'AVEZ PAS A LES CONNAÎTRE !!!

A. Définition et notations

L'incertitude de mesure est une estimation de l'erreur de mesure.

L'incertitude de mesure, par exemple d’une grandeur L, est notée U(L). (« U » est pour uncertainity). Il faut connaître les 2 notations et choisir préférentiellement la notation U quand vous notez une incertitude.

Elle permet de définir un intervalle dans lequel la valeur vraie a de grandes chances de se trouver. Cet intervalle est centré sur la valeur mesurée, notée m. On parle d’intervalle de confiance.

En général, la largeur de cet intervalle est choisie pour

avoir 95% ou 99% de chance de trouver la valeur vraie à l’intérieur. La qualité de la mesure est d’autant meilleure que l’incertitude associée est petite.

B. Évaluer une incertitude de répétabilité (type A)

Il s'agit d'une incertitude issue de plusieurs mesures d'une même grandeur (faites par le même opérateur ou des opérateurs différents comme les différents binômes d'une classe).

La détermination de l'incertitude se fait généralement par un traitement statistique basé sur l'écart-type.

En général : La moyenne



m ,de l'ensemble des n mesures (m

1

, m

2

, …, m

n

) indépendantes est donnée par la relation :

,



m  m

₁

 m

₂

 ...  m

_n

n  m

_i

i1



n

n

La théorie statistique montre que la meilleure estimation de la dispersion des résultats est mesurée par l'écart-type





_n1

^,





_n1

_{-par :}





_n1

 ^

_i1ⁿ

 m

_i

 m 

n  1 ,Incertitude-type sur la grandeur M :

M n

u ( )  

^n1

Une fois l’incertitude type u(M) de la grandeur M calculée, il faut calculer l’incertitude élargie U(M) :

  M k u   M

U   avec k = 2 pour un niveau de confiance de 95 % et un grand nombre de mesures.

Remarque : k=2 est valable pour un nombre n de mesures très grand.

Pour un nombre n de mesures faible, il faut faire intervenir le facteur de Student k, qui dépend du nombre de mesures :

C. Évaluer une incertitude sur une mesure unique (type B)

Lorsqu’une mesure ne peut pas être reproduite plusieurs fois, il est impossible d’estimer une incertitude de répétabilité. Il est donc nécessaire d’analyser les différentes sources d’erreurs liées à l’instrument de mesure.

Type de mesure Incertitude associée

Lecture simple sur un instrument

12 3

2 ) /

( M d division

u  

Lecture double sur un instrument

3 2 2 / )

( d

M

u 

Mesure obtenue à l’aide d’un instrument dont la tolérance ou la précision est donnée par le

constructeur (ex : fiole jaugée) ³

)

( M tolérance

u 

Mesure obtenue à l’aide d’un appareil

numérique (ampèremètre, voltmètre…) 3

% ) 3

( precision x n digit M

u    

Cas d’une burette graduée

2 2

3 2 2 / ) 3

( 



 



 

 

 



  t d

M u d correspond à la plus petite graduation de l’instrument de mesure t correspond à la tolérance de l’instrument de mesure

Une fois l’incertitude u(M) de la grandeur M calculée, il faut calculer l’incertitude élargie U(M) :

  M k u   M

U   avec k = 2 pour un niveau de confiance de 95 %.

D. Évaluer une incertitude dans un calcul

Lors d’un mesurage, il est fréquent d’avoir plusieurs sources d’erreurs à prendre en compte.

1- Dans le cas où on a plusieurs incertitudes sur une même grandeur on utilise la formule

u(M)

²

= u

1

(M)

²

+ u

2

(M)

²

; ex : mesure du volume sur une burette : erreur tolérance + erreur lecture 2- Dans le cas où l e mesurage fait intervenir un calcul avec des valeurs dont les incertitudes sont connues.

Relation Incertitude

m = X + Y + Z u(m)

²

= u(X)

²

+ u(Y)

²

+ u(Z)

²



m  X  Y Z



u m  

m



  

 

2

 u X  

X



  

 

2

 u Y  

Y



  

 

2

 u Z  

Z



  

 

2

m = a × X

a constante sans incertitude

u(m) = a × u(X)

III. Expression et acceptabilité du résultat

A. Convention d'écriture pour l'expression du résultat

Le résultat du mesurage s'écrit M = m ± U(M) unité

Ce qui signifie que la grandeur m est comprise entre [m – U(M) ; m + U(M)] ; Il faut préciser l’unité du résultat

Exemple : (niveau de confiance 95%)

 La température vraie T

vraie

a environ 95 % de chance d'être dans l'intervalle [24,9 °C ; 25,7 °C]

 25,3 °C est la valeur mesurée ;

 0,4 °C est l'incertitude notée U(T) .

B. Chiffres significatifs de la grandeur et de son incertitude

En première et terminale, vous pouvez vous limiter à donner l’incertitude U avec un seul chiffre significatif (arrondi par excès ) et l’incertitude doit porter sur le dernier chiffre de votre grandeur.

Par exemple, on écrira pour une vitesse v = (3,02 ± 0,05) m.s

^-1

, l'incertitude est bien sur le dernier chiffre de 3,02.

Il peut arriver qu'il y ait incompatibilité entre le nombre de chiffres significatifs de votre résultat et l'incertitude.

Par exemple, vous trouvez v = 3,052 m.s

^-1

et une incertitude U(v) = 0,03 m.s

^-1

. Il faudra alors arrondir votre valeur de v de sorte que l'incertitude corresponde au dernier chiffre du résultat.

On écrira donc : v = 3,05 ± 0,03 m.s

^-1.

C. Précision relative d’une mesure

La précision relative ou incertitude relative d’une mesure est le quotient de l’incertitude de mesure U par la valeur mesurée m soit  

m M

U .

Interprétation : Plus la précision relative est faible, plus on est précis, plus l’erreur aléatoire est faible. C’est la proportion de l’incertitude par rapport à la mesure.

D. Ecart relatif par rapport à une valeur de référence

Si la grandeur mesurée a une valeur de référence m

référence

(celle-ci s’approche de la valeur vraie) et une valeur m

mesurée

, on compare ces deux valeurs en calculant l'écart relatif r défini par



r  m

_mesurée

 m

_référence

m

_référence

Interprétation : Plus l’écart relatif est faible, la mesure est alors plus juste et fidèle, plus l’erreur systématique est faible.

Il est toujours bon de discuter de cette erreur relative, en particulier lorsqu'elle est supérieure à 10%, il faut essayer de trouver des moyens d'améliorer la mesure.

IV-Tableau de synthèse

Type d’évaluation Etude statistique sur un grand nombre n de mesures

Etude statistique impossible (une seule mesure)

Incertitude lié à l'appareil de mesure

Incertitude de répétabilité (Type A)

(Type B)

Mesure m Moyenne des valeurs

mesurées : m = m

moyenne

Valeur mesurée m = m

lue

Incertitude type u(M)

Calcul de l’écart-type σ et

M n

u 

)  (

Appareil à graduations

Appareil numérique,

) 3

( précision M

u 

verrerie

) 3

( tolérance M

u 

Incertitude élargie U(M) Avec un niveau de

confiance de 95%

U(M) = k x u(M) k varie selon le nombre de mesures ; si n>20 alors k=2

U(M) = 2x u(M)

Ecriture finale M = m ± U(M) ou m - U(M) < M < m + U(M)

Chiffres significatifs L’incertitude est déterminée avec 1 chiffre significatif arrondi en majorant Le résultat de la mesure aura autant de décimales que l’incertitude.

Incertitude relative C'est le quotient de l’incertitude de mesure U(M) par la valeur mesurée m soit  

m M

U .

Elle s'exprime en % Association

d’incertitude pour une même grandeur

M

2 2 2

1

( ) ( )

)

( M u M u M

u  

Composition d'incertitudes

M = M

1

+ M

2

ou M = M

1

– M

2

. u ( M )  u ( M

₁

)

²

 u ( M

₂

)

²

M = M

1

M

2

ou

2 1

M M  M .

2

2 2 2

1

) ( )

) (

( 



 



 

 

 



 

 M

M u M

M M u

M u M = A  M

1

où A est un nombre

exact. u(M) = A  u(M

1

)

Quelques applications

Exercice 1 : écriture d'un résultat

Anne mesure l'épaisseur e d'un fil à l'aide d'un palmer

Elle lit : 0,42 mm. Elle évalue l’incertitude U(e) grâce à un calcul donné par une formule . Sa machine à calculer lui indique U(e) = 0,0964 mm

Ecrire le résultat de cette mesure en tenant compte de l'incertitude.

e = ...

Même question pour une mesure d’éclairement : E = 100,23465 lux avec U(E) = 0,208 lux Même question pour une mesure de masse : m = 4,1 g avec U(m) = 0,0861 g

Même question pour une mesure de température : T = 47,8 °C avec U(T) = 0,468 °C Même question pour une mesure de pression : p = 0,567 bar avec U(p) = 0,216 bar Exercice 2 : Incertitudes de type B

Dans chacun des cas ci-dessous, exprimer correctement le résultat du mesurage pour un niveau de confiance de 95%.

Exercice 2b : incertitude relative

Soit la mesure T = 25,5°C donnée à 5% d'erreur.

Déterminer l'incertitude U(T) pour cette mesure et écrire le résultat de la mesure tenant compte de cette incertitude.

Exercice 3 : Détermination de l'indice de réfraction de l'eau

Des élèves d'une classe de seconde mettent en place une expérience de réfraction dans le but de déterminer l'indice de réfraction de l'eau n

eau

. Après plusieurs mesures d'angles d'incidence et de réfraction d'un faisceau laser passant de l'air dans l'eau, les binômes de la classe obtiennent les résultats suivants :

Binôme 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valeur de n

eau

obtenue ^{1,28 1,41 1,33 1,33 1,24 1,29 1,31 1,32 1,38}

1. À l'aide des formules données précédemment, évaluer la valeur moyenne de l'indice de réfraction de l'eau.

2. Évaluer l'incertitude de répétabilité sur le résultat avec une confiance de 95%.

3. Présenter le résultat sous la forme : n

eau

= valeur moyenne ± U(n

eau

) Exercice 4 : Utilisation d’une fiole jaugée pour prélever un volume de liquide Donnée : Tolérance de la verrerie en chimie

Thermomètre gradué en °C Précision = 3% valeur lue+1 digit

tolérance

1. Sur une fiole jaugée, on lit V = 100 mL (20°C)-classe A.

Calculer l’incertitude-type constructeur u(V)

constructeur

sur le volume prélevé.

2. Le col de la fiole a un diamètre de 12 mm. On estime la tolérance de l’ajustage au trait de jauge à



 ¹

mm.

Calculer le volume V incertain. Calculer l’incertitude-type d’ajustage u(V)

ajustage

.

3. Calculer l’incertitude finale composée u(V) sur le volume prélevé avec cette fiole à l’aide de la relation



u V  

²

 u V  

constructeur

2

 u V  

_ajustage²

.

4. Calculer enfin l’incertitude élargie U(V) et exprimer le volume V de la fiole à l’aide d’un encadrement.

Exercice 5 : Préparation d’une solution par dilution

Un élève a préparé 100,0 mL d’une solution S’ d’hydroxyde de sodium à partir d’une solution d’hydroxyde de sodium à 0,100 ± 0,001 mol.L

^-1

.

Le volume de solution mère prélevé est Vo=10,0 mL.

Document n°1 : Matériel mis à disposition

- Solution S d’hydroxyde de sodium de concentration C = (0,100 ± 0,001) mol.L

^-1

. - Pipette jaugée de 10,0 mL de classe A, deux traits.

- Fiole jaugée de 100,0 mL de classe A.

Document n°2 : Tolérance de verrerie en chimie (voir exercice précédent)

1. Exprimer la concentration C’ de la solution fille.

2. Quelles sont les sources d’incertitude ?

3. Évaluer l'incertitude-type sur la concentration de la solution mère.

4. Évaluer l'incertitude-type sur le volume de solution mère prélevée.

5. Évaluer l'incertitude-type sur le volume de solution fille préparée.

6. Exprimer l’incertitude-type u(C’) sur cette concentration C’ à partir des trois précédentes.

7. Calculer enfin l’incertitude élargie U(C’) et exprimer la concentration de la solution préparée à l’aide de la notation ±.

Exercice 6 :

Retrouver, les résultats obtenus dans les exercices 2, 3 et 4, à l’aide de GUM_MC.

Question pour l’exercice 3 et 4 : Quelle source d’erreur domine ?

Correction Exercice 1 :

1. Valeur lue =28 °C

Graduation=1 °C donc l’incertitude à 95% de confiance est donc

Conclusion : T= 28,0±0,6 °C 2. Valeur lue =25 mL

L’incertitude à 95% de confiance est donc

Conclusion : V = 25,0±0,2 mL 3. Valeur lue =137,5 mA

Précision=0,03×137,5+0,1=4,225 mA

donc Conclusion : I=137,5 ± 5,0 mA

Exercice 2 :

Binôme 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valeur de n

eau

obtenue 1,28 1,41 1,33 1,33 1,24 1,29 1,31 1,32 1,38

1. Valeur moyenne de l'indice de réfraction de l'eau :



n

_eau

 1,3211 2. Incertitude de répétabilité sur le résultat avec une confiance de 95%.

La calculatrice ou le tableur donne :





₈

 0,051099



u n  

_eau

^{ } ₉

⁸

^{ 0,01703}



U n  

_eau

^{ k  u n}  

^eau

avec k facteur de Student k = 2,31



U n  

_eau

^{ 0,0393  0,04} (1 chiffre significatif) 3. n

eau

= 1,32 ± 0,04

Exercice 3 : Utilisation d’une fiole jaugée pour prélever un volume de liquide 1. Sur une fiole jaugée, on lit V = 100 mL (20°C)-classe A.



u V  

constructeur

 t

3  0,10

3  0,058mL

2. Le col de la fiole a un diamètre de 12 mm. On estime la tolérance de l’ajustage au trait de jauge à



 ¹

mm.

8



V   r

²

h     6,0.10

^3



²

^{ 1.10}

^3

^{ 1,1.10}

^7

^m

³

^{ 0,11mL}



u V  

_ajustage

 t

3  0,11

3  0,065mL 3.



u V    u V  

constructeur

2

 u V  

_ajustage²

 0,10

²

3  0,11

²

3  0,086mL ^. 4. U(V)=2u(V)=0,17mL=0,2 mL (1 chiffre significatif)



99,8mL  V  100,2mL

Exercice 4 : Préparation d’une solution par dilution 1. Concentration C’ de la solution fille :



C' C V

_m

V

_f

 0,100  10,0

100,0  1,00.10

^2

mol / L 2. Sources d’incertitude :

 Concentration de la solution mère

 Volume de la solution mère prélevé

 Volume de la solution fille préparé

3. Incertitude-type sur la concentration de la solution mère : ^u   ^{C  1 . 10}

^3

^{mol / L}

4. Incertitude-type sur le volume de solution mère prélevée :   t mL V

u

_m

1 , 15 . 10

²

3

020 , 0 3









5. Évaluer l'incertitude-type sur le volume de solution fille préparée. ^u   ^V

f

^{t mL}

10

2

. 77 , 3 5 10 , 0 3









6. Exprimer l’incertitude-type u(C’) sur cette concentration C’ à partir des trois précédentes.



u C'    C'  u C  

C



  

 

2

 u V  

_m

V

_m



 





 



2

 u V  

_f

V

_f





 





 

2

  ^{C mol L}

u 5 , 91 . 10 /

100 10 . 77 , 5 10

10 . 15 , 1 100

, 0

10 . 10 1

. 00 , 1

'

⁵

2 2 2 2

3 2

2    



 



 



 

 

 



 

 

 



 



7. U(C’) = 2u(C’) = 1,18.10

^-4

mol/L = 2.10

^-4

mol/L (1 chiffre significatif en excès)



C'  (1,00  0,02).10

^2

mol /L

Exercice 5 : Exercice 2 :

Pour cette incertitude type A, comment préparer un fichier que l’élève va charger sur GUM version élève ? Intérêt ?

Exercice 3

IL FAUT SAISIR UNIQUEMENT LA TOLERANCE, LA

DIVISION , LA PRECISION OU L'ECART TYPE DANS GUM

L’erreur d’ajustage domine ! Exercice 4

L’incertitude sur la concentration de la solution mère domine largement.