ENAC – Section de génie civil
IS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structures
en béton
Dr O. Burdet
Structures en béton – dalles (4)
Lignes de rupture Méthodes des bandes
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a) mécanisme pour une poutre simple
θ
rotule plastique
b) mécanisme pour une dalle unidirectionnelle librement appuyée
θ
ligne de rupture
Mécanismes simples poutre/dalle
Fig. 7.74 cf TGC 2 chap. 16 & 17
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Théorème d’unicité
Fig. 7.77
Equilibre ; Résistance ;
Mécanisme ;
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Propriétés des deux méthodes
Condition Explication Méthode
statique Méthode cinématique Équilibre
Toutes les forces extérieures (y compris les réactions) appliquées au système doivent s’équilibrer
Satisfait Satisfait
Résistance
Dans toutes les sections, les efforts internes (sollicitations) doivent être inférieurs ou égaux à la résistance ultime, c’est–à–dire à la résistance correspondant à la plastification du béton et de l’acier
Satisfait à vérifier
Mécanisme
Un nombre suffisant de rotules plastiques doit se former afin que la structure puisse se transformer en un mécanisme
à vérifier Satisfait
Résultat La méthode donne des résultats qui sont du côté de la sécurité
du côté de l’insécurité
Tab. 7.77
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Dr O. BurdetTravaux virtuels
Fig. 7.85
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2 1
2 sin
cos α µ α
α = m p ⋅ + ⋅
m
Dalle appuyée sur trois côtés
Fig. 7.86
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Calcul des travaux virtuels
Fig. 7.87
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Détails du calcul
( )
( )
( )
+ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ +
⋅
⋅
⋅
=
⋅ −
= ⋅
−
⋅ ⋅ + ⋅
⋅
⋅ + ⋅
⋅
⋅
= ⋅
⋅
⋅
− + ⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅ +
⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅
=
b a a m b ab a m b m A
b a A q
b a q b a q b a A q
q a b q b a q a A b
p p p i e e e
λ µ λ λ
λ µ λ
λ λ λ
λ λ
λ
1 2 2 1
2 6 3
2 2 1 3 3
2 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2
b a a b b a m q A
A
e i p+ ⋅ ⋅
⋅
⋅ −
⋅
= ⋅
→
= µ λ
λ λ 2 3 12
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En l’an 2003 ?
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Dalle encastrée sur son pourtour
Fig. 7.88
µ b ≥
a
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Exemple de dalle encastrée
Fig. 7.89 q
u= 15.1 kN/m
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Et la précision ?
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Théorème d’unicité
Fig. 7.77
Equilibre ; Résistance ;
Mécanisme ;
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Dalle carrée simplement appuyée
a a m A q A
a m A
a q a q a A
i e i e
⋅
⋅
⋅ =
→
=
⋅
⋅
=
= ⋅
⋅
⋅
=
6 4 4
6 6 2 2 4
3 3
24 a 2
m = q ⋅
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Dalle carrée encastrée sur son pourtour
( ϕ )
ϕ
+
⋅
⋅
⋅
⋅ =
→
=
⋅
⋅
⋅ +
⋅
⋅
=
= ⋅
⋅
⋅
=
1 6 4
4 4
6 6 2 4 2
3 3
a a m A q A
a m a m A
a q a q a A
i e i e
( + ϕ )
⋅
= ⋅ 1 24
a 2
m q
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Annexe 7.8
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Structures
Dr O. BurdetAnnexe 7.8
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Structures
Dr O. BurdetAnnexe 7.8
1/37.7 1/43.8
1/48
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030
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Encore quelques cas particuliers
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Mécanisme II - Éventail circulaire
Fig. 7.95
{ {
r s d r s
i
m ds m ds
A
1
θ ϕ
α
⋅
⋅ + ⋅ ⋅
=
⋅
( 1 ) 1
2 0
⋅
⋅ =
⋅
∫
πm
s+ ϕ r r d α Q
( ϕ )
π ⋅ +
= 2 1 m s Q
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Méthode des bandes (de Hillerborg)
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Théorèmes fondamentaux
“ Toute charge Q i à laquelle correspond un mécanisme de ruine
admissible est supérieure ou égale à la charge ultime exacte Q u ”
cinématiquement
“ Toute charge Q i à laquelle correspond un champ de moments i stable et statiquement admissible est inférieure ou égale à la charge
ultime exacte Q u ” M
Tab. 7.75
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Elément infinitésimal de dalle
= 0
∂ − + ∂
∂
∂
x
x xy
v
y m x
m − = 0
∂ + ∂
∂
∂
y xy
y
v
x m y m
= 0
∂ + + ∂
∂
∂ q
y v x v
x yFig. 7.6
y q m y x m x
m
x xy y= −
∂ + ∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2
2
2
Eq. 7.2
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Grille de poutres sans torsion
Fig. 7.37
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Méthode des bandes
y q m y x m x
m
x xy y= −
∂ + ∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2
2
2 Eq. 7.2
y q m x
m
x y= −
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2
Eq. 7.49
( ) q
y m
y⋅
−
−
∂ =
∂
21 α
2
x q m
x− ⋅
∂
∂
2 2α
Eq. 7.50
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Application de la méthode des bandes
y q m x
m
x y= −
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2
( ) q
y m
y⋅
−
−
∂ =
∂
21 α
2
x q m
x− ⋅
∂
∂
2 2α
Fig. 7.96
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Coefficient de Poisson ν
Moment au milieu de la dalle m max
0 q · l 2
27 . 2
0.15 q · l 2
23 . 6
0.30 q · l 2
20.9
Effet du module de Poisson (dalle carrée)
Tab. 7.34
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Application de la méthode des bandes
y q m x
m
x y= −
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2
( ) q
y m
y⋅
−
−
∂ =
∂
21 α
2
x q m
x− ⋅
∂
∂
2 2α
Fig. 7.96
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