2
nde: correction de la feuille d’AP n
o1
I
ABCD est un carré dont les côtés mesurent 4 cm.
Quelle est la longueur de la diagonale [AC] ? et celle de [BD] ?
On commence par faire une figure !
A B
C D
Comme ABCD est un carré, le triangle ABC est rec- tangle en B.
D’après le théorème de Pythagore, on a : AC2=AB2+BC2=42+42=16+16=32.
Comme AC est une longueur, AC est positif donc AC=p
32=p
16×2=p
42×2= 4p 2.
Remarque : si le côté du carré mesurea, la diago- nale mesure d=ap
2.
II
On donne la figure suivante :
b
B
b
D
b
E
b
A
b
C
On sait que AC = 5 cm, BC = 3 cm, BD = 12 cm, et DE = 15
Calculer les longueurs AB, BE puis en déduire la longueur AE.
• Le triangle ABC est rectangle en B, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : AC2=AB2+BC2 donc 52=AB2+32d’oùAB2=52−32=25−9=16 doncAB=p
9= 3.
• Le triangle BED est rectangle en B, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :E D2=B E2+B D2 donc 152=B E2+122d’oùB E2=152−122=225− 144=81 doncAB=p
81= 9.
• Les droites (AB) et (BE) sont perpendiculaires à la met droite donc elles sont parallèles. Comme elles ont un point commun, elles sont confondues, donc les points A, B et E sont alignés.
O en déduit que AE = AB +B E = 4+9 = 13 : AE=13
III
Tracer un cercleC dont un diamètre [AB] mesure 12 cm. Sur ce cercle, placer un point C, tel que AC=8 cm.
b
A
bB
b
b
C
b
D
1. ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB], donc ABC est rectangle en C.
2. Puisque ABC est rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : AB2=AC2+BC2donc BC2=AB2−AC2=122−82=144−64=80.
Comme BC Ê 0, on a BC = p
80= p
16×5= p42×5= 4p
5 3. Voir figure
BCD est aussi rectangle en C. D’après le théo- rème de Pythagore, on a : B D2=BC2+C D2= 80+102=180.
On en déduit que B D = p
180 = p
36×5 = p62×5= 6p
5
4. Les côtés du triangle ABD mesurent : AB =12, B D=6p
5 etAD=8+10=18.
5. Le plus grand côté est [BD]
B D2=182= 324. AB2+B D2=122+
³ 6p
5´2
=144+180= 324.
On constate que B D2=AB2+B D2.
D’après laréciproque du théorème de Pytha- gore, le triangle ABD estrectangleen B.
6. (BD) est perpendiculaire en B au diamètre [BD]
du cercle, donc (BD) est tangente au cercle en B.
IV Brevet : Antilles-Guyane septembre 2001
Monsieur Dupont possède une propriété ayant la forme du schéma suivant :
A B
100 m C 100 m
b
I
Le côté [AB] du triangle isocèle ABC mesure 100 m, et le demi-cercle a pour diamètre [BC].
1. BC=100p
2 (diagonale d’un carré de côté 100).
2. Le terrain est constitué d’un triangle rectangle isocèle et d’un demi-disque.
L’aire du triangle isocèle est A1 = AB×AC
2 =
1002
2 =10 000
2 =5 000 m2.
Le disque a pour diamètre 100p
2, donc pour rayon 50p
2.
L’aire du demi-disque est A2 = πס
50p 2¢2
2 =
π×2 500×2
2 =2 500πm2.
L’aire du terran P est A = A1 + A2 = 5 000+2 500π.
3. Le périmètre du terrain estP =C A+C B+πr oùr est le rayon du cercle, doncr=50p
2.
P=200+π×50p
2=200+50p 2π. 4. ABI est rectangle en B ; tanAB I =
AI AB = 50
100 = 1
2. On en déduitAB I=≈26, 57 ˚.
