3)Sens de variations

GÄ G Än nÄ Är ra a li l it tÄ Äs s su s ur r le l es s fo f on n ct c ti io on ns s 1 1

I.

Rappels

1) Vocabulaire

D€finir une fonction f, c’est donner un proc€d€ qui ‚ chaque nombre x associe au plus un nombre not€ f(x).

On €crit : f : x f(x) ( on lit : ƒ f est la fonction qui ‚ x associe f de x „ ) x est la variable.

Si f(x) est le nombre y, on dit que y est l’imagede x.

On dit aussi que x est un ant•c•dentde y par f.

Pour une expression f(x) donn€e, on appelle ensemble de d•finition, l’ensemble D des valeurs de x pour lesquelles on calcule cette expression.

Un r€el de l’ensemble de d€finition a toujours une et une seule image.

Un r€el peut avoir z€ro, un ou plusieurs ant€c€dents.

Exemples :

a) f(x) = x€ – 2x – 15 Df= IR

L’image de 7 par f est f(7) = 7… - 27 – 15 = 49 – 14 – 15 = 20.

0 a deux ant€c€dents : -3 et 5 (car f(-3) = f(5) = 0 ) 2 est un ant€c€dent de –15.

b) g(x) = 2x+7 3x-4

Domaine de d€finition : il faut que 3x-40 ; Dg= IR - {4

3}. g(0) = -7

4, 0 a pour image –7 4.

2)ReprÄsentation graphique

Un rep‡re €tant choisi, on appelle repr•sentation graphiqued’une fonction f, l’ensemble des points M de coordonn€es ( x ; y ) lorsque x prend toutes les valeurs de Df et que y = f(x).

On dit aussi courbe repr•sentative de la fonction f.

On dit que la courbe a pour €quation y = f(x).

M€thode :

On calcule des images en nombre suffisant, ‚ l’aide de la calculatrice et on pr€sente les r€sultats dans un tableau de valeurs.( voir cahier d’exercices)

Exemple :

Tracer la repr€sentation graphique de la fonction f, qui ‚ x associe 1

1+x… sur [ -2 ; 3 ].

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) 0,2 0,5 1 0,5 0,2 0,1

-1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 3

y

x

3)Sens de variations

f est une fonction d€finie sur un intervalle I.

Dire que f est croissantesur I signifie que pour tous r€els x1et x2de I :

Si x1≤ x2alors f(x1) ≤ f(x2).

(Une fonction croissante conserve l’ordre. )

Dire que f est d•croissante sur I signifie que pour tous r€els x1et x2de I :

Si x1≤ x2alors f(x1) ≥ f(x2).

(Une fonction d•croissante change l’ordre. )

Dire que f est constantesur I signifie que pour tous r€els x1et x2de I , on a f(x1) = f(x2).

Une fonction monotonesur I est une fonction soit croissante sur I, soit d€croissante sur I.

4)Extremum

La fonction f admet un maximum f(a) en a sur l’intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) ≤ f(a).

La fonction f admet un minimum f(b) en b sur l’intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) ≥ f(b).

5) Tableau de variations

Etudier les variations d’une fonction signifie : trouver les intervalles sur chacun desquels la fonction est monotone.

Les r€sultats sont repr€sent€s dans un tableau de variations.

Des fl‡ches sch€matisent la croissance, la d€croissance ou la constance de la fonction.

Exemple :

Donner le tableau de variations d’une fonction f d€finie sur [ -8 ; 4 ] dont voici une repr€sentation graphique.

La fonction f est d€croissante sur [ -8 ; -5 ], croissante sur [ -5 ; 2 ] et d€croissante sur [ 2 ; 4 ].

Sur la premi‡re ligne du tableau, on note les bornes des intervalles oŠ la fonction est monotone.

x 8 -5 2 4

3 6

f

-2 0

La fonction f admet un minimum en –5 (de valeur f(-5) = –2 ) et un maximum en 2 ( de valeur f(2) = 6 ).

II. Fonctions de rÄfÄrence et variations

Courbe repr•sentative Tableau de variations Ordre induit

f(x) = xÄ

Df = IR _O¹ ₁

f( ) x

x

Deux cas :

Si a < b  0 alors a… ≥ b…

Si 0  a < b alors a… ≤ b…

f(x) = x³

Df = IR O

1

1

f() x

x

si a < b alors a3 ≤ b3

f(x) = 1 x Df = IR^*

1

O 1

f () x x

Deux cas : Si a < b ^ 0 alors 1

a ≥ 1 b

Si 0  a < b alors 1 a ≥ 1

b

f( x) = x

Df = IR⁺ _O

1

1

f() x

x

Si 0 a < b alors a ≤ b

f( x) = x Df = IR

1

O 1

f ( ) x

x

Deux cas :

Si a < b  0 alors a ≥ b

Si 0  a < b alors a ≤ b

Exercice 64 page144

III. Fonctions associÄes

f €tant une fonction repr€sent€e par la courbe Cfdans un rep‡re (O,I ,J), comment repr€senter dans le m‹me rep‡re la courbe Chrepr€sentant la fonction :

 xf(x) + k oŠ k est un r€el donn€

Chest l’image de la courbe Cfpar la translation de vecteur k j

Remarque :

On note cette fonction f+k.

Les fonctions f et f + k ont le m‚me sens de variation.

Si f admet un maximum ( resp. un minimum) en x0, alors h admet un maximum ( resp. un minimum) en x0.

 xf(x+k) oŠ k est un r€el donn€

Chest l’image de la courbe Cfpar la translation de vecteur - k i

Remarque :

Si f admet un maximum ( resp. un minimum) en x0, alors h admet un maximum ( resp. un minimum) en x0- k.

 xkf(x) oŠ k est un r€el donn€

On obtient l’ordonn€e du point A’ de Chen multipliant l’ordonn€e du point A de Cfpar k.

Remarque :

On note cette fonction kf.

Si k > 0, alors la fonction kf a le m‹me sens de variation que la fonction f.

Si k < 0, alors la fonction kf a le sens de variation contraire de la fonction f.

y

x

y

x

y

x

Cas particulier k = -1.

x- f(x)

Chest la sym€trique de la courbe Cf par rapport ‚ l’axe des abscisses.

 x f(x)

Pour repr€senter f , on conserve la partie de Cfqui est au-dessus de l’axe des abscisses et on compl‡te par le sym€trique de la partie qui est au-dessous de cet axe.

Remarque :

On note cette fonction f . Exercices : 18 ‚ 23 page 139

IV. OpÄrations sur les fonctions

1) Somme de deux fonctions

Soit f et g deux fonctions d€finies sur un m‹me intervalle I deIR.

La fonction f + g est la fonction d€finie sur I par : f(x) + g(x).

La fonction f - g est la fonction d€finie sur I par : f(x) – g(x).

Sens de variation :

Si deux fonctions ont le m‹me sens de variation sur un intervalle I alors la fonction f + g garde ce sens de variation.

Exercice : 68 page 145

2) Produit .

Le produit de deux fonctions f et g est la fonction x ^f(x)g(x). Elle est not€e fg.

3) Inverse et quotient .

L’inverse f

1 d’une fonction f est la fonction x  ) x ( f

1 avec f(x) 0.

Le quotient g

fde deux fonctions f et g est la fonction x

) x ( g

) x (

 f avec g(x) 0.

y

x

V. Fonctions composÄes

1) Exemple

Soit f la fonction d€finie sur [–2 ; + [ par f(x) = x2

Pour calculer f(x) avec x 2, nous calculons d’abord X = x + 2, puis la racine carr€e de X : f(x) = X Avec X = x + 2.

Distinguer ainsi les €tapes du calcul de f(x) conduit ‚ la d€composition suivante de la fonction f.

x

g





 X

2

x h

X

x f

x+2 On dit que f est la compos€e de g suivie de h .

Remarque : f(x) = h(X) avec X = g(x) donc f(x) = h(g(x)) Exemple :

Soit g(x) = 5 – x h(x) = 3

x– 2

Caract€riser la fonction f, compos€e de g suivie de h.

x g





 X

x 5

h 3

X-2

x f 3

5-x-2 On a donc ,f(x) = 2

x 5

3 

 =

x 5

7 x 2 x

5 x 2 10 3



 







Exercices : 50 Ä 52 p.141 Exercices : 55-60 p.141

2)Sens de variation des fonctions composÄes

En se plaŒant sur un intervalle I oŠ la fonction compos€e existe :

Si les deux fonctions ont m‹me sens de variation, alors leur compos€e est croissante sur I.

Si les deux fonctions ont des sens de variation contraires, alors leur compos€e est d€croissante sur I.

Exemple :

Soit la fonction f d€finie sur R \ {2} par f(x) = 2 x

1



f est la compos€e de la fonction g suivie de la fonction h oŠ : g(x) = x - 2

h(x) = 1 x

Sur ] 2, +[ la fonction affine g est croissante et ‚ valeurs dans ]0,+[.

Sur ] 0,+[ la fonction inverse h est d€croissante

donc par compos€e la fonction f est d€croissante sur ]2, +[.

De m‹me,

sur ]-; 2[ la fonction g est croissante et ‚ valeurs dans ]-; 0[.

Sur ]-; 0[ la fonction inverse h est d€croissante

donc par compos€e la fonction f est d€croissante sur ]-; 2 [.

Ex. 47 Ä 51 p.162