1/10 T.S. 2015 – Chap.18 : Échantillonnage et estimation.
Chapitre n°18
Objectifs
1. Intervalle de fluctuation :
→Connaître l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
[ p− 1,96 √ p(1− √ n p) ; p+1,96 √ p(1− p)
√ n ] où p désigne la proportion dans la population.
2. Intervalle de confiance (estimation) :
→Savoir estimer un intervalle dans lequel est une proportion inconnue, à partir d'un échantillon.
[Les attendus de ce paragraphe sont modestes][On illustre ces notions par des exemples issus d'autres disciplines]
→Déterminer une taille d'échantillon suffisante pour obtenir, avec une précision donnée, une estimation d'une proportion avec un niveau de confiance de 0,95.
[Lien avec les autres disciplines : SVT : Analyse de graphiques où les données sont fournies par des intervalles de confiance]
[Approfondissements possibles : Prise de décision lors de la comparaison de deux proportions (par exemple, lors d'un essai thérapeutique]
Activité n°1 (Source d'inspiration : Sésamath)
Partie A : Rappels
1. Une machine produit des clous en série. Le fabricant de la machine affirme que 97 % des clous sont sans défaut. Un client teste ce pourcentage : il décide de compter le nombre X de clous défectueux dans un échantillon de 10 000 clous.
a. Quelle loi suit X ? Préciser les paramètres.
...
...
b. Déterminer un intervalle de fluctuation de X au seuil de 95 %.
...
...
...
c. Le client compte 399 clous défectueux. Peut-il remettre en cause l'affirmation du fabricant ?
...
...
2. Un candidat à une élection commande un sondage portant sur 1000 personnes.
Il est donné gagnant avec 51 %.
a. Déterminer un intervalle de confiance sur la proportion des voix qu'il
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obtiendra lors de l'élection.
...
...
b. Est-il sûr de gagner, au seuil de 95 % ?
...
c. Quel devrait-être le nombre de personnes sondées pour qu'un sondage lui donnant 51 % d'intention de vote assure sa victoire au seuil de 95 % ?
...
...
...
Partie B : Contrôle de qualité
Une entreprise fabrique des vis en acier. Elle affirme que 5 % des pièces qu'elle produit ont un défaut à la fin de la chaîne de production. La responsable du contrôle qualité prélève un échantillon de n vis(au vu du grand nombre de vis produites, on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise) pour effectuer une analyse.
La contrôleuse prélève un échantillon de 200 vis au hasard.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de vis avec défaut qui suit donc une loi binomiale.
1. Quels sont les paramètres de cette loi ?
...
2. On donne le tableau et le graphique ci-contre, représentant en partie cette loi :
a. Que vaut la probabilité qu'elle
constate entre 6 et 10 vis défectueuses
?
…...
b. Déterminer le plus grand entier a tel que P( X
200≤ a ) ≤ 0,025
…...
c. Déterminer le plus petit entier b tel que P( X
200≥ b ) ≤ 0,025
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…...
d. En déduire l'intervalle minimum [a;b] pour lequel P( a ≤ X
200≤ b ) ≥ 0,95 .
…...
e. On désigne par F
200= X
200200 la variable aléatoire donnant la fréquence des vis défectueuses dans l'échantillon. Déduire de ce qui précède l'intervalle minimum [f
1; f
2] tel que P(f
1≤ F
200≤ f
2) ≥0,95.
...
Compléter :
Cet intervalle est un intervalle de f...
Cela signifie qu'il y a plus de … % de chance que la fréquence de vis défectueuses (dans cet échantillon de 200 vis) soit dans cet intervalle.
Partie C : estimation
Le théorème de Moivre-Laplace indique que si n (la taille de l'échantillon) tend vers l'infini, la variable aléatoire Z = lim
n→∞
X
n– np
√ np (1− p) suit la loi normale centrée réduite.
Dans ce cas, quelque soit le nombre réel α positif plus petit que 1, il existe u
αtel que P(- u
α<Z< u
α) = 1 – α.
1. Compléter : pour α ≈ 0,05, u
α≈ …... et pour α ≈ 0,01, u
α≈ …...
2. Démontrer que si -u
α<Z< u
α, alors p – u
α√ p(1− p )
√ n < X n
n<p + u
α√ p(1− p)
√ n
...
...
...
...
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Cet intervalle, à la différence du précédent, est appelé intervalle de fluctuation asymptotique.
3. Application :
a. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de vis défectueuses.
...
...
...
...
...
...
...
b. Comparer l'intervalle de fluctuation et l'intervalle de fluctuation asymptotique : quel est l'intervalle le plus précis ?
...
...
...
c. La contrôleuse a finalement choisi de prélever 200 vis. 26 d'entre elles ont un défaut. Elle décide de demander un nouveau réglage de la machine si la fréquence observée n'est pas dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Que décide-t-elle ?
...
...
...
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Cours n°1
I) Intervalle de fluctuation asymptotique et prise de décision Définition n°1
Soit I un intervalle, s un réel positif inférieur à 1, et X une variable aléatoire.
I est un intervalle de fluctuation au seuil de s si P(X ∈ I) ≥ s.
Propriété n°1
Soit X
nune variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Soit α un nombre réel positif plus petit que 1.
Alors,
1) Z = lim
n→∞
X
n– np
√ np (1− p) suit une loi normale centrée réduite, et il existe u
αtel que P(-u
α<Z< u
α) = …...
2) I
n= [ p – u
α√ p(1− √ p)
n ;p + u
α√ p(1− p)
√ n ] est un intervalle de fluctuation asymptotique de … ....
... au seuil de …... .
3) En particulier, si α=0,05 , u
α= …... , et si α=0,01 , u
α= …...
Démonstration :
Voir le chapitre n°16 et l'activité précédente.
Propriété n°2
On considère une population (par exemple, des individus). On veut savoir si l'hypothèse « la proportion de la population possédant le caractère (par exemple une taille supérieure à 1,9 m) est p. » est vraie.
Pour cela :
1) On détermine un intervalle I de fluctuation asymptotique.
2) On prélève un échantillon dans la population.
3) On calcule la fréquence f du caractère observé dans l'échantillon.
4) Si f ∈ I, on accepte l'hypothèse formulée, sinon, on la rejette.
Exemple n°1
Le pourcentage de personnes du groupe sanguin «O» dans la population française
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est de 43 %. On souhaite savoir si d'autres populations ont la même proportion de «O» .
1. On prélève un échantillon de 250 personnes canadiennes, et l'on constate que 47 % d'individus sont du groupe sanguin «O».
Peut-on rejeter l'hypothèse « La population canadienne a le même pourcentage de groupe sanguin « O » que la population française ?
...
...
...
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...
...
2. On prélève un échantillon de 250 personnes basques, et l'on constate que 138 individus sont du groupe sanguin «O».
Peut-on rejeter l'hypothèse « La population basque a le même pourcentage de groupe sanguin « O » que la population française ?
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Exercice n°1
Ex.4 p.364
Exercice n°2
Ex.8 p.364
Exercice n°3*
Ex.22 p.365
Cours n°2
II) Intervalle de confiance Propriété n°3
On considère une population dont on ignore la proportion p d'individus possédant un caractère donné.
On souhaite estimer la proportion p en prélevant un échantillon de taille n.
Sur cet échantillon, on constate que m individus possèdent le caractère donné.
Alors, si n est plus grand que 30, si m est plus grand que 5 et si n – m est plus grand que 5, on a :
P( … .
.... – 1
√ n ≤ p ≤ … .... . – √ 1 n ) ≥ 0,95.
L'intervalle [ m
n – 1
√ n ; m n + √ 1 n ] est appelé intervalle de …...
de la proportion p au seuil de 95 %.
Exemple n°2
Dans une école, on cherche à estimer la proportion d'élèves malades durant une épidémie de grippe. Pour cela, on choisit au hasard 50 élèves. Parmi eux, 13 sont malades.
Estimer la proportion d'élèves malades dans l'école, au seuil de 95 %.
...
...
...
...
...
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Exercice n°4
Ex.10 p.364
Exercice n°5
Ex.35 p.367
Exercice n°6*
Ex.43 p.368
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Indices et résultats
Ex.n°1 (Ex.4 p.364) : n>30, np>5, n(1-p)>5. [0,68;0,74]
Ex.n°2 (Ex.8 p.364) : 1. n>30, np>5, n(1-p)>5. [0,72;0,78] 3. f ≈0,61 ∉ I on n'accepte pas l'hypothèse.
Ex.n°3* (Ex.22 p.365) : 1.a. 0,95 1.b. 0,95 2.a. [0,9 – 0,588
√ n ;0,9 + 0,588 √ n ]2.b.n ≥ 50 2.c. n≥3458
Ex.n°4 (Ex.10 p.364) : n>30, nf>5, n(1-f)>5. [0,12;0,24]
Ex.n°5 (Ex.35 p.367) : 1. n>30, nf>5, n(1-f)>5. [0,79;0,99] 2. Faux : p peut ne pas appartenir à cet intervalle de confiance.
Ex.n°6* (Ex.43 p.368) : n ≥ 2500
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