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Quatrième – Chapitre n°25 : Programme de calcul : équations - Page

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Chapitre XXV : Programme de calcul : équations

Liste des objectifs :

a. 4^ème : [Pas dans le socle commun] connaître l’équivalence entre l’égalité a=b et a-b=0.

b. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

Rappel n°1 : en classe, on vérifie toutes les réponses des exercices (y compris de ceux qui sont faits à la maison). On

recommence si c’est faux.

Rappel n°2 : une réponse doit comporter au minimum le calcul fait, en ligne.

Exercice n°1 : Égalité et opérations ( Source : Sésamath ) Ali et Sonia ont le même nombre de billes.

1. Si tu donnes autant de billes à l'un qu'à l'autre, auront-ils toujours le même nombre de billes ?

2. Si tu prends des billes à Ali, que dois-tu faire pour qu'ils aient toujours le même nombre de billes ?

3. Sonia double son nombre de billes en jouant. Que doit faire Ali pour conserver le même nombre de billes que Sonia ?

4. Ali partage équitablement son paquet de billes en trois paquets et n'en garde qu'un seul, donnant les autres à ses camarades. Sonia décide de faire la même chose. Ali et Sonia ont-ils toujours le même nombre de billes ?

Exercice n°2 :

1. Sur une balance, quatre équerres et 600 grammes sont en équilibre avec une masse de 700 grammes :

(4x+600=700)

600 700

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On cherche à connaître la masse d’une équerre. Comment faire (dessine en détail les différentes étapes de la balance).

2. Complète :

Dans une équation, on peut :

S……… ou a……… un m………. terme aux deux parties de l’équation.

D……….. ou m……… chacune des deux parties de l’équation par un nombre différent de 0.

Exercice n°3

On traduit le premier équilibre de l’exercice n°2 par l’équation : 4x+600=700.

Traduis les autres étapes par des égalités semblables Exercice n°4

a. Si 5x = 8, quelle est la valeur de 5x ─ 8 ? b. Si 9x = 3x+2, quelle est la valeur de 9x ─ 3x ? Exercice n°5

Le but est de déterminer x dans chacune des équations suivantes.

Compléter.

On rédige de la façon suivante (compléter) : x + 5 = ─ 2

x + 5 …… = ─ 2 ……

x = ─7

On rédige de la façon suivante (compléter) : 3x = 7

3x ÷ … = 7 … … x =



Cours n°1



Cours à

compléter

^{, à}

montrer

au professeur puis, s’il est validé, à

recopier

intégralement

dans le cahier de cours, sans rien oublier

Chapitre XXV : Programme de calcul : équations

I) Equations Propriété n°1

Dans une équation, on peut :

- S……… ou a……… un m………. terme aux deux

parties de l’équation.

...

x + 5 = – 2

x = ...

3x = 7

... ...

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- D……….. ou m……… chacune des deux parties de

l’équation par un nombre différent de 0.

Exemple n°1

« Résoudre l’équation 2x+7=5x+9 » : 2x+7=5x+9

2x+7 – …….=5x+9 – ………→ on soustrait …x aux deux membres, pour éliminer 2x.

7 = ……… → on réduit

7 – ……= 3x+9 –…… → on soustrait …. aux deux membres pour n’avoir que du x d’un côté.

– 2 = …….. → on réduit.

– = ……. → on divise par le coefficient devant le x pour trouver

la valeur de x.

La s……… de cette é……… est …………

 Fin du Cours n°1 

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en

« accordéon ».

COLLER L’ACCORDEON DANS LE CAHIER D’EXERCICE OU DE COURS.

Recopier le cours dans le cahier de cours ( à la maison ! )

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Contrôle du savoir faire (SANS REGARDER LE COURS) : Exemple n°1

« Résoudre l’équation 2x+7=5x+9 » : 2x+7=5x+9

2x+7 – …….=5x+9 – ………

7 = ………

7 – ……= 3x+9 –……

– 2 = ……..

– = …….

La s……… de cette é……… est …………

Exercice n°6

Résoudre les équations suivantes :

a. – 6x + 8 = – 7

b. 4x + 7 = 9

c. 3x + 9 = 3

d. – 8p + 6 = 5p

e. – m + 8 = – 6m – 2 Exercice n°7

Résoudre les équations suivantes :

a. 2=5x+8

b. 4x+9 = 2x+3

c. 8x – 7 =5x +4

d. 7x –2 = – 7x+1

e. 6g + 4 = 9g – 4

Exercice n°8 – Mise en équation aidée

Alice et Bertrand saisissent le même nombre de départ sur leurs calculatrices puis effectuent les programmes de calculs suivants :

 Alice multiplie le nombre de départ par 8 puis ajoute 7 au résultat obtenu.

 Bertrand multiplie le nombre de départ par 6 puis ajoute 13 au résultat obtenu.

Chloé effectue avec le même nombre de départ qu'Alice et Bertrand le programme de calculs suivant :

 Chloé multiplie le nombre de départ par 3 puis ajoute 30 au résultat obtenu.

a. La formule correspondant au programme de calcul d’Alice est 8x+7 si x désigne le nombre choisi au départ. Donnez les formules correspondant à chacun des autres programmes de calcul.

b. En écrivant l’équation à résoudre, puis en utilisant la technique de résolution vue au cours n°1, trouvez quel nombre Bertrand et Chloé doivent choisir au départ pour obtenir le même résultat.

Exercice n°9 – Mise en équation aidée

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Voici un texte : « Pour la rentrée, Bastien achète 5 petits cahiers et 8 classeurs. Un classeur coûte le double d’un petit cahier. Sachant qu’il dépense 26,25€, combien coûte un cahier ?».

a. Désigne le prix d’un cahier par une lettre et écris la formule qui permet de calculer le prix total des achats si on connaît la valeur de la lettre.

b. Il dépense 26,25 €. Quelle équation faut-il écrire ? c. Résoudre l’équation et conclure.

Exercice n°10 – Mise en équation aidée (Sésamath)

Voici un texte : « Trois nombres entiers consécutifs (c'est-à-dire qui se suivent) ont pour somme 513. ».

a. Désigne par une lettre un des nombres et écris le programme de calcul qui permet de calculer la somme des trois nombres entiers consécutifs.

b. Quelle équation faut-il écrire ? c. Résoudre l’équation.

d. Il semble y avoir un problème. Pourquoi ? e. Conclure.

Exercice n°11 : Interprétation du résultat

Problème 1 : Aujourd’hui, Sylvia a sept ans de plus que sa sœur Rose. Dans 5 ans, Sylvia aura le double de l'âge de Rose. Quel est l'âge de Rose ? Appelle x l'âge de Rose.

Problème 2 : En 2000, Paul avait 5 ans et Louis 12 ans. En quelle année, l'âge de Louis a-t-il été le double de l'âge de Paul ? Appelle x la différence entre cette année et 2000.

1. Analyse des problèmes.

a. Pour le problème n°1, recopie et complète le tableau suivant :

Sylvia Rose

Aujourd’hui …………. x

Dans 5 ans ………. ……….

b. Quelle équation faut-il résoudre ?

c. Construis un tableau similaire pour le problème n°2.

d. Quelle équation faut-il résoudre ?

e. En comparant les deux problèmes, que remarques-tu ?

2. Résous l'équation, sachant que 2(x+7), donne le même résultat que 2x+…. (voir la formule de distributivité de 5^ème )

3. Déduis-en la solution de chaque problème.

Exercice n°12 – Résolution de problèmes

Dans ma classe, il y a 28 élèves. Le jour où Lucas était absent, il y avait deux fois plus de filles que de garçons. Combien y a-t-il de filles dans ma classe ? Justifier la réponse.

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Peux-tu trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme vaut 201

? Justifie.

Trouver les dimensions du rectangle BVEH pour que son aire soit égale à celle du triangle ABC.

Entrainement au brevet – Liste des objectifs

24a. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser la calculatrice pour déterminée la valeur approchée du cosinus d’un angle donné, ou de l’angle aigu dont le cosinus est donné.

24b. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents.

25a. 4^ème : [Pas dans le socle commun] connaître l’équivalence entre ….

25b. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

Entrainement au brevet

4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser la calculatrice pour déterminée la valeur approchée du cosinus d’un angle donné, ou de l’angle aigu dont le cosinus est donné.

4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents.

Exercice n°15 [6 pts]

On sait que YBZ est rectangle en Y. De plus, YB= 6 cm et l'angle \s\up8(a mesure 31,6°. Calculez BZ au centième de centimètre près.

...

C A

B

H E

V 9 5,8

12

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...

On sait que YVL est rectangle en Y. De plus, VL= 4,96 cm et l'angle

\s\up8(a mesure 64,9°. Calculez YL au dixième de centimètre près.

...

On sait que CLI est rectangle en C. De plus, LI= 7,21 cm et CL= 4 cm.

Calculez l'angle \s\up8(a au centième de degré près.

...

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...

4^ème : [Pas dans le socle commun] connaître l’équivalence entre ….

Résoudre 4 ─ 2 x = 8 x ─ 9

...

4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

Pour la rentrée, Bastien achète 6 petits cahiers et 2 classeurs. Un classeur coûte le triple d’un petit cahier. Sachant qu’il dépense 24, 25

€, combien coûte un cahier ?

...

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...

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Résultats ou indices – rappel : si une réponse est fausse, la question doit être recommencée en classe.

Ex.1 : 1. Oui 2. Prendre le m……… n………… de billes 3. d………. 4. ÷ … Ex.2 : enlève d’abord 600g sur chaque plateau. Résultat à trouver : 25g.

Ex.3 : 4x+600 ─ 600= 700 ─ 600 ; 4x = 100 ; 4x÷…=100÷… ; x=25 Ex.4 a. 0 b. 2

Ex.5 : ─5 ; ÷3

Ex.6 a.(ou 2,5) b.(ou 0,5) c. ─2 d.d. ─2

Ex.7 : a. ─ (ou ─1,2) b. ─3 c. d. e.

Ex.8 : a. 6x+13 et 3x+30 b.

Ex.9 : a. 5×c + …×…×c b. 5×c + …×… ×c=2…,…… c. 1,25€.

Ex.10 : a. n+(n+1)+(n+2) b. n+ (n+1)+(n+2) = …. c. d. entier ? e. Il n’ex……….. pas …

Ex.11 : 1a. x+7 ; x+12 ; x+5 1b. x+12=2×(x+5) 1c. 1d.

12+x=2×(5+x) 2. 2 3. Pb1 : Rose a 2 ans. Pb2 : En 2002.

Ex.12 : …8

Ex.13 : Oui : 66,67 et 68

Ex.14 : On pose BV=x… ;x×9=(x+5,8)×6 ; 11,6.

Ex.15 : BZ ≈ 7,04 cm ; YL ≈ 2,1 cm ; \s\up4(a ≈ 56,30°

Ex.16 : 1,3 ou Ex.17 : ≈ 2,02€

Paul Louis

2000 5 12

2000+

x 5+x 12+x