MP 2021/2022
DS n°1
Problème n°1 : Le condensateur pour stocker de l’énergie
Concours CPGE EPITA-IPSA-ESME 2021 Option Physique
Le condensateur est une brique de base des circuits électroniques de commande ou de puissance.
Les condensateurs sont en particulier utilisés comme dispositifs de stockage de l’énergie, à l’instar des batteries. Ce problème s’intéresse à la question de leur recharge.
I. Modèle électrocinétique
On considère un condensateur utilisé dans la convention récepteur.
1- En partant de la relation Q(t) = C.u(t), démontrer la relation usuelle entre tension u(t) et intensité i(t) pour un condensateur.
2 - En exploitant la question précédente, démontrer l’expression Estockée = 1 2 CU
2 de l’énergiestockée par le condensateur qui est chargé sous une tension électrique U.
II Un exemple d’utilisation des condensateurs : les supercondensateurs
Un “supercondensateur” est un condensateur de technique particulière, qui permet d’obtenir une capacité élevée pour un encombrement réduit, et donc une densité de puissance et une densité d’énergie intermédiaires entre les batteries et les condensateurs électrolytiques classiques. Ils sont utilisés dans des domaines variés, dont la propulsion de bateaux, de bus ou de tramway. Leur faible résistance interne permet des courants élevés et donc des charges rapides et des puissances de sortie importantes.
Nous étudions ici un exemple d’application des supercondensateurs, et en particulier nous voyons ce qui contraint leur dimensionnement (quelle capacité, quelle résistance interne?).
Remarques générales sur la présentation des copies de Concours :
- La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
- Les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.
- Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
- Pour plus de clarté dans la présentation, il est impératif de changer de copie pour chaque problème ou exercice et de numéroter vos copies (1/N, 2/N…)
Figure 1 – Exemples de supercondensateurs
Document
En 2009, la RATP et Alstom ont expérimenté en service commercial un tramway Citadis équipé de supercondensateurs sur la ligne T3 du réseau francilien. La rame a été équipée de 48 modules de supercondensateurs (15 kg pièce) pour le stockage de l’énergie à bord.
L’ensemble est équivalent à 48 supercondensateurs montés en dérivation sous une tension de 750V. Ceci permet aux trams de circuler en autonomie sur les sections dépourvues de ligne aérienne de contact. En autonomie la rame peut franchir 400 m, soit la distance entre deux stations sur la ligne T3, avec une vitesse moyenne d’environ 15 km/h.
Les moteurs développent une puissance moyenne continue de 500 kW, et sont alimentés sous 750 V. Présentant une résistance interne très faible, les supercondensateurs autorisent le passage d’intensités très importantes pendant
les 20 secondes que dure un rechargement en station, et sont donc en cela plus adaptés que les batteries conventionnelles.
Source images : Wikipedia, et texte :
https://www.ville-rail-transports.com/ferroviaire/alstom-et-la-ratp-testent-les-supercondensateurs-2/
À l’aide des données du document ci-dessus et des approximations nécessaires, en déduire les valeurs : 3 - de l’énergie Etot nécessaire au trajet entre deux stations,
4 - de la capacité d’un des 48 supercondensateurs (commenter la valeur trouvée), 5 - de la résistance du circuit de charge.
III Stratégies de charge d’un condensateur
Remarque : les sous-parties III.1et III.2 sont liées.
Lorsqu’un condensateur est utilisé comme une batterie, la question de sa recharge se pose. L’énergie est prélevée sur le réseau électrique, et on souhaiterait que 100% de cette énergie soit transférée au condensateur. Nous allons montrer que ceci dépend de la stratégie de charge retenue.
On appelle “rendement de la charge du condensateur” le rapport entre l’énergie stockée par le condensateur à l’issue de la charge et de l’énergie fournie par le générateur au cours de cette charge :
η = stockée
fournie
E
E (1)
6 - De manière générale, la charge se fait à travers la résistance totale du circuit R. On note C la capacité du condensateur et E la tension finale à atteindre aux bornes du condensateur. Montrer par des arguments dimensionnels que l’expression du rendement η ne peut pas dépendre des valeurs de R, C ou E.
Dans les sous-parties III.1 et III.2 on raisonne sur le circuit ci- contre pour envisager deux méthodes de recharge, qui vont mener à deux valeurs de rendement différentes.
III.1- Premier procédé de charge
L’interrupteur K est d’abord dans la position intermédiaire où il n’établit aucun contact.
Le condensateur étant initialement déchargé, on bascule l’interrupteur K dans la position (2) à t = 0.
Figure 2 - Tramway de la ligne T3, ici sur une section avec ligne aérienne de contact.
7 - Établir l’équation différentielle portant sur uc(t).
On fera apparaitre une constante de temps τdont on précisera l’expression.
8 – Déterminer, sans utiliser l’équation différentielle, la valeur de uc(0+) (juste après le basculement de l’interrupteur).
9 - Résoudre l’équation différentielle obtenue ci-dessus.
10 - Tracer l’allure de la solution uc(t).
11 - Donner en fonction de C et de E l’expression de l’énergie stockée par le condensateur à la fin de sa charge.
12 - Déterminer le courant ic pour tout t ≥ 0
13 - Calculer alors l’énergie électrique fournie par le générateur sur l’ensemble de la charge.
14 - Quelle est la valeur du rendement de la charge (défini par l’expression (1)) avec la méthode envisagée?
Peut-il être optimisé en changeant la résistance R ?
III.2 Second procédé de charge
On souhaite utiliser une méthode qui permet d’améliorer le rendement de la charge. On réalise une charge en deux temps. Le condensateur est initialement déchargé. L’interrupteur K est d’abord dans la position intermédiaire où il n’établit aucun contact. Puis il est fermé en position (1) à t = 0. Lorsque le régime transitoire qui s’ensuit est achevé, l’interrupteur est basculé en position (2).
15 - Déterminer l’expression de uc(t) pendant la première phase de la charge.
16 - Déterminer en fonction de R et de C l’expression de l’instant t1 pour lequel la tension uc aux bornes du condensateur atteint 99% de sa valeur finale au cours de cette première étape.
Dans la suite, on considérera que la charge est totalement achevée à cet instant t1 et qu’on passe en phase 2 (basculement de l’interrupteur en position (2)).
17 - Exprimer la tension uc(t) aux bornes du condensateur au cours de la deuxième phase de charge, qui commence à l’instant t1.
18 - Tracer l’allure de uc(t) en fonction du temps au cours de l’ensemble des deux phases de charge.
19 - Exprimer l’intensité ic qui traverse le condensateur pendant les deux phases de charge. On distinguera les cas en fonction de t.
20 - Déterminer l’énergie électrique fournie par les deux générateurs pendant la charge.
21 - En déduire le rendement pour cette nouvelle façon de procéder. Conclure quant aux avantages et désavantages par rapport à la première méthode.
Problème n°2 : Accordeur de guitare
(Extrait Epreuve Centrale-Supélec TSI 2019)
Nous allons étudier quelques aspects d’un accordeur de guitare. La problématique est la suivante.
- La guitare comporte six cordes : Mi grave, La, Ré, Sol, Si, Mi aigu.
- Les fréquences fondamentales théoriques de vibration de ces cordes, notées fac sont données dans le tableau 1.
Corde Fréquence (fac) Mi grave 82,4 Hz
La 110,0 Hz
Ré 146,8 Hz
Sol 196 Hz
Si 246,9 Hz
Mi aigu 329,6 Hz
Tableau 1 Fréquences fondamentales de vibration des cordes de guitare
- On souhaite accorder une corde légèrement désaccordée : on notera fco la fréquence fondamentale de vibration de la corde en question.
Principe de l’accordeur
- Sélection de la corde à accorder (donc fac est fixée).
- Création d’un signal carré de référence de fréquence fac avec un oscillateur de type astable.
- Enregistrement du signal ue(t) provenant de l’excitation de la corde à accorder : signal quelconque, d’amplitude assez faible, de fréquence fco
- Amplification et filtrage de ce signal.
- Extraction de la fondamentale du signal : obtention d’un signal sinusoïdal de fréquence fco par l’utilisation d’un filtre à fréquence caractéristique réglable par le signal extérieur de référence.
- Mise en forme de ce signal : obtention d’un signal carré de fréquence fco
- On a donc à disposition deux signaux carrés (signaux logiques) de fréquences respectives fac et fco. Dans les accordeurs récents le traitement est numérique : les signaux sont envoyés dans un calculateur numérique intégré qui calcule l’écart de fréquence et indique à l’utilisateur quand la corde est accordée, c’est-à-dire quand fco = fac.
Ce principe général est schématisé sur la figure 1.
Figure 1 Principe de fonctionnement de l’accordeur de guitare Ce problème s’intéresse au traitement du signal venant de la corde.
A – Le signal
La figure 2 montre un exemple de signal électrique à la sortie du micro d’une guitare électrique.
Figure 2 Signal de la guitare Q 1 Donner une valeur approchée de la valeur moyenne de ce signal.
Q 2 Donner une estimation de la valeur de la fréquence de ce signal (on peut supposer qu’en première approximation le signal est périodique).
Q 3 De quelle corde de guitare s’agit-il ?
Q 4 L’analyse spectrale de ce signal fera-t-elle apparaitre des harmoniques ? Justifier.
B – Premier filtre
Avant toute chose, le signal électrique provenant du micro de la guitare est envoyé sur le filtre de la figure 3 (filtre (Fa)).
Q 5 En supposant l’entrée sinusoïdale, définir et exprimer la fonction de transfert H1(jω) de ce filtre en fonction de R1, C1 et de la pulsation ω du signal.
Q 6 De quel type de filtre s’agit-il ? Faire apparaître une pulsation caractéristique ω1 en fonction de R1 et C1 et préciser sa signification.
Q 7 Tracer sans calcul l’allure du diagramme de Bode asymptotique relatif au gain.
Q 8 On a choisi R1 = 100 kΩ et C1 = 100 nF. Calculer la fréquence de coupure f1 à - 3 dB de ce filtre. Au vu de l’allure du signal de la figure 2, quel est le rôle de ce premier filtre ?
C – Deuxième filtre : Amplification (légèrement) sélective
En sortie du filtre de la figure 3 le signal u1(t) est envoyé sur un filtre filtre (Fb) dont la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :
2 0
2 1
2
1 1
= = + + ω
ω G H u
u j
Où : u1 et u2 sont respectivement les tensions électriques d’entrée et de sortie du filtre (Fb) G0 et ω2 sont deux constantes
Q 9 Quelle est la limite de |H2| en basse fréquence ? en haute fréquence ? Q 10 On donne G0 = 113 et ω2 = 3130 rad.s-1.
Expliquer quel est le rôle de ce second filtre.
Figure 3 Filtre (Fa)
D – Filtrage (très) sélectif commandé
On souhaite maintenant sélectionner la fréquence fondamentale fco du signal u2, dont la valeur est a priori voisine de celle de la fréquence fondamentale théorique de vibration de la corde sélectionnée sur l’accordeur (fac) (on suppose que la corde est légèrement désaccordée). On suppose pour la suite que c’est la corde Mi aigüe que l’on souhaite accorder.
Le principe du filtre (Fc) est que sa fréquence caractéristique soit réglée par le signal de référence de fréquence fac. Ce type de commande (à capacité commutée) sera précisé dans la sous-partie E.
D.1) Diagramme de Bode
La figure 4 représente le diagramme de Bode relatif au gain du filtre (Fc) tracé à deux échelles différentes.
(a) (b)
Figure 4 Diagramme de Bode en gain du filtre (Fc)
Q 11 Dire en le justifiant rapidement, de quel type de filtre il s’agit. Quelle est sa fréquence centrale caractéristique ?
Q 12 Donner une estimation de sa bande-passante à -3 dB après l’avoir définie.
Q 13 Si la corde est désaccordée à fco = 315 Hz, estimer, en le justifiant, de quel facteur est atténuée sa composante spectrale fondamentale en sortie de ce filtre.
D.2) Analyse spectrale
La figure 5 correspond au spectre du signal d’entrée ue représenté sur la figure 2.
Q 14 Justifier qu’il est parfaitement cohérent qu’il s’agisse du spectre du signal de la figure 2.
Q 15 En le justifiant soigneusement, dire quel spectre de la figure 6 correspond à la sortie du premier filtre (Fa).
Q 16 Même question, pour la sortie du filtre (Fb).
Q 17 Tracer l’allure du spectre du signal en sortie du filtre (Fc). Tracer l’allure du signal (temporel) correspondant.
Figure 5 Spectre du signal d’entrée
Figure 6 Spectres
À la sortie de l’étage précédent, le signal est donc proche d’un signal sinusoïdal de fréquence fco et d’amplitude dépendant de la force avec laquelle on a gratté la corde, mais de l’ordre du volt. Dans la pratique, pour effectuer un traitement numérique qui permettra de comparer fco à la fréquence théorique fac on fabrique à partir du signal précédent un signal créneau de fréquence fco.
