Utilisation des nombres complexes en sciences physiques
Définitions :
On note un nombre complexe z = a + j.b (où j est le nombre imaginaire pur j
2= -1).
a = Re(z) : partie réelle de z ; b = Im(z) : partie imaginaire de z ;
page 1/1
On peut représenter ce nombre dans le plan complexe (plan cartésien) par le vecteur OM d’affixe z.
On définit le module de z :
2
2
b
a
z = + = OM
Et l’argument de z : ϕ = (Ox, OM ). On note ainsi les relations trigonométriques :
a x b
O
tanϕ = a b cosϕ =
2
2
b
a a
+ sinϕ =
2
2
b
a b
+
z ϕ y
M
On peut ainsi noter le nombre complexe z sous la forme :
=
ϕϕ +
ϕ
= z . cos .j z . sin z . e
jz
Expression conjuguée :
Le conjugué du nombre complexe z = a + j.b s’écrit z* = a - j.b.
On a ainsi z.z*= (a + j.b).(a - j.b) = a
2+ b
2= z
2On peut ainsi, si on le souhaite, séparer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe
b .j a
1
+ en le multipliant, haut et bas, par le conjugué du dénominateur a - j.b.
b .j a
1
+ =
2 2b a
b .j a
+
− =
2 2b a
a
+ + j.
2 2b a
b +
−
Quelques propriétés utiles :
Deux nombres complexes sont égaux ⇔ leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
Le module d’un produit (respectivement d’un rapport) de nombres complexes est égal au produit (respectivement au rapport) des modules :
2 1
. z
z = z
1. z
2et
2 1
z z =
2 1
z z
L’argument d’un produit (respectivement d’un rapport) de nombres complexes est égal à la somme (respectivement la différence) des arguments :
argument( z
1. z
2) = argument ( z
1)+ argument ( z
2) argument (
2 1
