Septembre2019 Franc¸oisLangot Croissance

Franc¸ois Langot

Universit´e du Mans (GAINS-TEPP, IRA) Institut Universitaire de France

Paris School of Economics Cepremap (ENS-Paris)

Septembre 2019

Les hypoth` eses du Mod` ele de Solow

Question

Comment utliser le mod` ele de Solow ?

Epargne S

= sY

Investissement I

= S

Accumulation du capital : K

= (1 − δ)K

+ I

Fonction de production : Y

= K

(X

L

)

Coissance de la population : L

= (1 + n)L

Coissance des connaissances : X

= (1 + g )X

R´ esoudre le mod` ele de Solow

La dynamique d’´ equilibre en niveau K

= (1 − δ)K

+ I

= (1 − δ)K

+ S

= (1 − δ)K

+ sY

= (1 − δ)K

+ sK

(X

L

)

Probl` eme : X

et L

croissent ⇒ faire un changement de

variable pour tout exprimer en variable par ”tˆ ete efficace”

R´ esoudre le mod` ele de Solow

On d´ efinit k

= K

/(X

L

) K

X

L

= (1 − δ) K

X

L

+ s

K

X

L

α

K

X

L

X

L

X

L

= (1 − δ)k

+ sk

k

(1 + g )(1 + n) = (1 − δ)k

+ sk

En utilisant l’approximation (1 + g )(1 + n) ≈ 1 + n + g , on d´ eduit

(1 + n + g )k

= (1 − δ)k

+ sk

L’´ etat stationnaire

Id´ee

Il existe un ´ etat stationnaire lim

k

= k Solution de l’´ etat stationnaire (t → ∞)

(1 + n + g )k = (1 − δ)k + sk

(n + g + δ)k = sk

k =

s n + g + δ

_1−α¹

le capital par tˆ ete croˆıt avec le taux d’´ epargne s et d´ ecroˆıt

avec la d´ epr´ eciation (n, g, δ)

Approximations pour simplifier l’analyse de la dynamique

Question

Comment simplifier pour obtenir une ´ evolution lin´ eaire ? Un peu de ”cuisine”

on a une ´ equation de r´ ecurrence non-lin´ eaire : k

= (1 − δ)k

+ sk

(1 + n + g ) ≡ F (k

)

On fait une approximation de la fonction F (k

) autour de k pour avoir une fonction lin´ eaire (d´ eveloppement de Taylor ` a l’ordre 1)

k

≈ F (k) + F

(k)(k

− k)

Approximations pour simplifier l’analyse de la dynamique

Calcul de F

(k) F

(k) = d

dk

(1 − δ)k + sk

(1 + n + g )

= (1 − δ) + s αk

(1 + n + g ) La solution de l’´ etat stationnaire donne k

= (n + g + δ)/s d’o` u F

(k ) =

(1+n+g)

=

. Soit

F

(k ) ≈ 1−(1−α)δ+α(n+g )−(n +g ) = 1−(1−α)(δ +n +g ) on regroupe, sachant que k = F (k),

k

≈ k + (1 − (1 − α)(δ + n + g )) (k

− k ) k

− k

≈ − (1 − α)(δ + n + g )

| {z }

=λ∈(0,1)

(k

− k)

Les enseignements de la dynamique

Question

Que se passe-t-il avant l’infini, ie. avant de converger vers l’´ etat stationnaire ?

L’´ ecart entre ce que l’on obsreve aujourd’hui et l’´ etat stationnaire qui sera atteint ` a l’infini est donn´ e par

k

− k

= −λ(k

− k ) ⇔ (k

− k) = (1 − λ)(k

− k) Partant d’une condition initial k

quelconque, on a donc

k

= (1 − λ)

k

avec (k

− k) ≡ k

∀t

On convrege vers l’´ etat stationnaire ∀k

. Comme 0 < λ < 1,

lim

k

= 0 ⇔ lim

k

= k.

Vitesse de convergence

Question

A quelle rythme converge-t-on vers l’´ etat stationnaire ?

Combien de p´ eriodes T faut-il pour r´ eduire de moitier l’´ ecart entre la condition initiale et l’´ etat stationnaire ?

k

= 1

2 k

soit

= (1 − λ)

⇔ T =

λ petit ⇒ T petit : λ indique la vitesse de convergence

α δ n g λ T

0.3 0.1 0.01 0.02 0.0910 7.2649

0.4 0.1 0.01 0.02 0.0780 8.5352

0.3 0.05 0.01 0.02 0.0560 12.0277

0.3 0.1 0.03 0.02 0.1050 6.2484

0.3 0.1 0.01 0.01 0.0840 7.9001

De la th´ eorie aux donn´ ees : tout ´ ecrire en revenu par tˆ ete ( y e

)

Remarque 1 : on a y

= αk

⇒

k

= (1 − λ)

k

⇔ y

= (1 − λ)

y

Remarque 2 :

log(k

) − log(k) = log(k

/k ) = log 1 +

≈

⇒

y

= (1 − λ)

y

⇔

log(y

) − log(y) = (1 − λ)

(log(y

) − log(y )) Remarque 3 : y = k

=

s n+g+δ

_1−α^α

⇒

log(y) =

(log(s) − log(n + g + δ)) Remarque 4 : y

=

t

y

o` u y

= Y

/L

et X

= (1 + g )

X

⇒

log(y

) = −gt − log(X

) + log( y

)

De la th´ eorie aux donn´ ees

L’´ evolution de la richesse par tˆ ete ( y

= Y

/L

) est : log( y

) = gt + [1 − (1 − λ)

] log(X

) + (1 − λ)

log(

y

)

+[1 − (1 − λ)

] α

1 − α (log(s ) − log(n + g + δ)) On observe pour chaque pays i

{yi,t}^T_t=0 yi,0

On suppose que les param` etres communs sont {g , α, s, n} ⇒ λ identique entre pays Les diff´ erences institutionnelles sont dans

log(X

) = x

+

De la th´ eorie aux donn´ ees : y-a-t-il convergence ?

Utilisation des MCO sur la diff´ erence entre t = T et t = 0 :

log(yei,T) = gT+ [1−(1−λ)^T] log(Xi,0) + (1−λ)^Tlog(yei,0) +[1−(1−λ)^T] α

1−α(log(s)−log(n+g+δ)) log(yei,0) = log(yei,0)

⇒log(eyi,T)−log(yei,0) = gT+ [1−(1−λ)^T] log(Xi,0)−[1−(1−λ)^T] log(yei,0) +[1−(1−λ)^T] α

1−α(log(s)−log(n+g+δ))

⇔log(eyi,T)−log(yei,0) = a+blog(yei,0) +i

a b λ = 1 − (b + 1)

R

22 pays 3.69 -0.341 0.0167 0.46

OCDE (0.68) (0.079) (0.0023)

98 pays -0.266 0.0943 -0.0036 0.03 (0.38) (0.049) (0.00219)

Mankiw et al (1992) – 1960-1985

Les donn´ ees : une convergence conditionnelle

Utilisation des MCO sur la diff´ erence entre t = T et t = 0 :

log(yei,T)−log(eyi,0) = a0+a1log(si) +a2log(ni+g+δ) +blog(eyi,0) +i

a

a

a

b λ R

22 pays 2.19 0.392 -0.753 -0.351 0.0173 0.62 OCDE (1.18) (0.176) (0.341) (0.066) (0.0019)

98 pays 1.93 0.647 -0.299 -0.141 0.006 0.38

(0.83) (0.087) (0.304) (0.052) (0.00182)

Mankiw et al (1992) – 1960-1985

Probl` emes : irr´ ealisme des estimateurs

Pour les pays de l’OCDE

λ∈[0.0167,0.0173] soit T ∈[39.7; 41.15]

alors que la calibration deλavec des valeurs observables de {α, δ,n,g} conduisent `a

λ≥0.0560 soit T ≤12

Sur l’ensemble des pays, des estimations tr` es faibles

λ = 0.006 soit T = 115

⇒

Ce mod` ele est donc trop ”r´ eduit” pour rendre compte des donn´ ees et surtout expliquer le ”sous-d´ eveloppement”

Id´ee

Introduire un autre facteur accumulable, autre que le capital

Extension : le capital humain ` a la Mankiw et al (1992)

Epargne financi` ere : I

= s

Y

Education : E

= s

Y

Accumulation du capital physique : K

= (1 − δ)K

+ I

Accumulation du capital humain : H

= (1 − δ)H

+ E

Fonction de production : Y

= K

H

(X

L

)

Coissance de la population : L

= (1 + n)L

Coissance des connaissances : X

= (1 + g )X

Extension : le capital humain ` a la Mankiw et al (1992)

Changements de variable : k

=

tLt

et h

=

tLt

La fonction de production : y

= k

h

Les ´ evolutions temporelles des variables accumulables :

(1 + n + g )k

= (1 − δ)k

+ s

y

(1 + n + g )h

= (1 − δ)h

+ s

y

Extension : le capital humain ` a la Mankiw et al (1992)

L’´ etat stationnaire, ie. quand lim

k

= k et lim

h

= h est d´ efini par

(δ + n + g )k = s

y (δ + n + g )h = s

y y = k

h

Ce qui consuit ` a

k = s

s

δ + n + g

!_1−α−β¹

h = s

s

δ + n + g

!_1−α−β¹

Calculs pour obtenir k et h

k

h = s

s

y =

s

s

α

h

(δ + n + g )h = s

s

s

h

= s

s

h

h = s

s

δ + n + g

!_1−α−β¹

Idem pour k

Extension : le capital humain ` a la Mankiw et al (1992)

On d´ eduit alors le produit par tˆ ete y = s

α 1−α−β

k

s

β 1−α−β

h

(δ + n + g )

−α−β 1−α−β

Ce qui conduit ` a

log(y) = α

1 − α − β log(s

) + β

1 − α − β log(s

)

− α + β

1 − α − β (δ + n + g )

Pour une mˆ eme valeur de α que dans le mod` ele de Solow, le

mod` ele de Mankiw et al pr´ edit une plus forte sensibilit´ e du revenu

par tˆ ete (y ) au taux d’´ epargne s

, mais aussi au taux de croissance

d´ emographique n

La dynamique du mod` ele de Mankiw et al (1992)

Comme dans le mod` ele de Solow, l’accroissement du produit par tˆ ete est donn´ e par

y

− y

= −λ(y

− y ) (y

− y) − (y

− y) = −λ(y

− y )

y

− y

y − y

− y

y = −λ y

− y y y

− y

y = (1 − λ) y

− y y

log(y

) − log(y) = (1 − λ)[log(y

) − log(y)]

log(y

) − log(y) = (1 − λ)

[log(y

) − log(y )]

log(y

) = (1 − λ)

log(y

) + [1 − (1 − λ)

] log(y)

Mais y change et donc n´ ecessairement l’estimation de λ

Evaluation empirique de Mankiw et al (1992)

Etape 1 : les donn´ ees en coupe.

Supposons que l’on est ` a l’´ etat stationnaire.

L’´ evolution de la richesse par tˆ ete ( y

= Y

/L

) est : log( y

) = gt + log(X

) + log(y )

= gt + log(X

) + α

1 − α log(s

)

− α

1 − α log(δ + n + g ) + β

1 − α log(h) car y =

sk

δ+n+g

_1−α^α

h

h est approxim´ e par le taux de scolarisation entre 12 et 17 ans

Evaluation empirique de Mankiw et al (1992)

Table– log(yet) =a+blog(sk) +clog(δ+n+g) +dlog(h)

Non-Oil Intermediate OECD

a 6.89 7.81 8.63

b 0.69 0.70 0.28

c -1.73 -1.50 -1.07

d 0.66 0.73 0.76

R

0.78 0.77 0.24

] 98 75 22

Evaluation empirique de Mankiw et al (1992)

Etape 1bis : les donn´ ees en coupe et estimation structurelle.

Supposons que l’on est ` a l’´ etat stationnaire.

L’´ evolution de la richesse par tˆ ete ( y

= Y

/L

) est : log( y

) = gt + log(X

) + log(y )

= gt + log(X

) + α

1 − α − β [log(s

) − log(δ + n + g )]

+ β

1 − α − β [log(s

) − log(δ + n + g )]

car y = s

α 1−α−β

k

s

β 1−α−β

h

(δ + n + g )

−α−β 1−α−β

s

est approxim´ e par le taux de scolarisation entre 12 et 17 ans

Evaluation empirique de Mankiw et al (1992)

Table–

log(yet) =a+b[log(sk)−log(δ+n+g)] +c[log(sh)−log(δ+n+g)]

Non-Oil Intermediate OECD

a 7.86 7.97 8.71

b 0.73 0.71 0.29

c 0.67 0.74 0.76

R

0.78 0.77 0.28

] 98 75 22

Implied α 0.31 0.29 0.14

Implied β 0.28 0.30 0.37

La vitesse de convergence - Mankiw et al (1992)

Une calibration simple.

Param` etres de la fonction de production : α = β = 1/3 n + g + δ = 0.06

⇒

λ = (n + g + δ)(1 − α − β) = 0.02 ce qui implique une dur´ ee pour parcourir la moitier de la transition ´ egale ` a 34 ans Rappel : avec le mod` ele de Solow, on avait α = 1/3, mais β = 0, donc λ = 0.04 ce qui implique une dur´ ee pour parcourir la moitier de la transition ´ egale ` a 17 ans....

beaucoup moins de persistence !

La vitesse de convergence - Mankiw et al (1992)

Une estimation.

log(y

) = (1 − λ)

log(y

) + [1 − (1 − λ)

] log(y) log( y

) − log(y

) = gT + log(X

) − [1 − (1 − λ)

] log(y

)

+[1 − (1 − λ)

] log(y )

log( y

) − log(y

) = gT + log(X

) − [1 + (1 − λ)

] log(y

) +[1 − (1 − λ)

]







a

+b[log(s

) − log(δ + n + g )]

+c [log(s

) − log(δ + n + g )]







Calculs de la vitesse de convergence

k

= F (k

, h

) h

= G (k

, h

)

k

= k + F

(k , h)(k

− k) + F

(k, h)(h

− h) (k

− k )/k = F

(k, h)(k

− k )/k + F

(k, h)(h/k)(h

− h)/h

h

= h + G

(k , h)(k

− k) + G

(k , h)(h

− h) (h

− h)/h = G

(k, h)(k/h)(k

− k)/k + G

(k, h)(h

− h)/h

(y

− y)/y = α(k

− k )/k + β(h

− h)/h

Calculs de la vitesse de convergence

(y

− y)/y = α(k

− k)/k + β(h

− h)/h

= α

F

(k , h)(k

− k)/k + F

(k, h)(h/k)(h

− h)/h +β

G

(k , h)(k /h)(k

− k)/k + G

(k, h)(h

− h)/h F

(k, h) = 1 − δ + s

αy/k

1 + n + g = 1 − δ + α(δ + n + g ) 1 + n + g F

(k, h)(h/k) = s

βy /h

1 + n + g (h/k) = β(δ + n + g ) 1 + n + g G

(k, h)(k/h) = s

αy/k

1 + n + g (k/h) = α(δ + n + g ) 1 + n + g G

(k, h) = 1 − δ + s

βy/h

1 + n + g = 1 − δ + β(δ + n + g )

1 + n + g

Calculs de la vitesse de convergence

Multiplicateur devant les termes en (k

− k )/k :

αFk⁰(k,h) +βGk⁰(k,h)(k/h)

= α1−δ+α(δ+n+g)

1 +n+g +βα(δ+n+g) 1 +n+g

= α1−δ+ (α+β)(δ+n+g) 1 +n+g

≈ α[1−(1−α−β)(δ+n+g)]

Multiplicateur devant les termes en (h

− k )/h :

αFh⁰(k,h)(h/k) +βGh⁰(k,h)

= αβ(δ+n+g)

1 +n+g +β1−δ+β(δ+n+g) 1 +n+g

= β1−δ+ (α+β)(δ+n+g) 1 +n+g

≈ β[1−(1−α−β)(δ+n+g)]

Calculs de la vitesse de convergence

(y

− y)/y = α [1 − (1 − α − β)(δ + n + g )] (k

− k)/k +β [1 − (1 − α − β)(δ + n + g )] (h

− h)/h

= [1 − (1 − α − β)(δ + n + g )]

α(k

− k)/k +β(h

− h)/h

= [1 − (1 − α − β)(δ + n + g )] (y

− y)/y D’o` u l’on d´ eduit, avec λ = (1 − α − β)(δ + n + g ),

(y

− y)/y = (1 − λ)(y

− y)/y log(y

) − log(y) = (1 − λ)[log(y

) − log(y )]

(y

− y ) − (y

− y) = (1 − λ)(y

− y) − (y

− y)

y

− y

= −λ(y

− y)

Estimation de la vitesse de convergence par Mankiw et al (1992)

Table–log(ey1985)−log(ye1960) =

a+blog(ye₁₉₆₀) +clog(s_k) +dlog(s_h) +elog(δ+n+g)

Non-Oil Intermediate OECD

a 3.04 3.69 2.81

b -0.289 -0.366 -0.398

c 0.524 0.538 0.335

d 0.233 0.271 0.223

e -0.505 -0.551 -0.844

R

0.46 0.43 0.65

] 98 75 22

Implied λ 0.0137 0.0182 0.0203