Partiel de Statistique

UPS TOULOUSE III Le 14/11/2018 M1 MAPI3 2018

Partiel de Statistique

Durée 2 heures

Les notes manuscrites de cours sont autorisées

1 Loi Binomiale

Soit X 1 , . . . , X n un n -échantillon de la loi B(1, θ ∗ ), 0 < θ ∗ < 1. On pose T = X(1 − X) et S = _n−1 ⁿ X(1 − X). On veut estimer f(θ ∗ ) = θ ∗ (1 − θ ∗ ).

a) Donner un estimateur sans biais de f (θ ∗ ).

b) Quelle est la borne de Cramér-Rao pour les estimateurs sans biais de f (θ ∗ )?

c) On veut montrer que Var θ

(S) = _n ¹ ϕ(θ ∗ ) + O(n ⁻² ) et calculer ϕ(θ ∗ ).

α ) Calculer E _θ

f(X) et E _θ

f (X) ² en utilisant la formule de Taylor appliquée à f (X) − f (θ _∗ ) et f (X) ² − f (θ _∗ ) ² .

β ) Vérier que E _θ

(X − θ ∗ ) ³ et E _θ

(X − θ ∗ ) ⁴ sont de l'ordre de O(n ⁻² ).

γ) Conclure.

d) Calculer Var θ

(S).

2 Cuatro Cuaranta

Soit n ₁ et n ₂ deux entiers strictement positifs xés et n = 2p > 2 max(n ₁ , n ₂ ) . On considère pour j = 1 . . . n , des variables aléatoires ε _j i.i.d de loi normale centrée de variance σ ² et le modèle de régression périodique :

Y _j = a ₀ + a ₁ cos(2πn ₁ j

n ) + a ₂ cos(2πn ₂ j

n ) + b ₁ sin(2πn ₁ j

n ) + b ₂ sin(2πn ₂ j

n ) + ε _j . a) Montrer ou admettre pour i, i ⁰ = 1, 2 , les relations suivantes :

n

X

j=1

cos(2πn _i j

n ) cos(2πn _i

j

n ) = 0 si i 6= i ⁰

= p si i = i ⁰

n

X

j=1

sin(2πn i

j

n ) sin(2πn i

j

n ) = 0 si i 6= i ⁰

= p si i = i ⁰

n

X

j=1

cos(2πn _i j n ) =

n

X

j=1

sin(2πn _i j n ) =

n

X

j=1

cos(2πn _i j

n ) sin(2πn _i

j n ) = 0.

1

b) Dans ce modèle linéaire, montrer que les estimateurs des paramètres sont :

b a 0 = 1 n

n

X

j=1

Y j

b a _i = 1 p

n

X

j=1

Y _j cos(2πn _i j

n ), i = 1, 2

b b _i = 1 p

n

X

j=1

Y _j sin(2πn _i j

n ), i = 1, 2

S ² = 1

2p − 5

n

X

j=1

Y _j − Y b _j 2

, où

Y b _j := b a ₀ + b a ₁ cos(2πn ₁ j

n ) + b a ₂ cos(2πn ₂ j

n ) + b b ₁ sin(2πn ₁ j

n ) + b b ₂ sin(2πn ₂ j n ) c) Construire le test d'hypthèse de a ₁ = a ₂ = b ₁ = b ₂ = 0 , puis celui de a ₁ = b ₁ = 0 . d) Application numérique pour le second test de la question précédente. Cas de la note

LA, n ₂ = 440 n = 1000 . Tester si la note est un LA pur (c'est-à-dire a ₁ = b ₁ = 0 ) avec S obs ² = 1, 5 , b a obs

1 = 0, 52 , b b obs

1 = 0, 98 . On rappelle que P (χ ² (3) > 7.81) ≈ 0.05 .

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