Partiel : Méthodes numérique, optimisation (L3)
13/03/2018 D. Gontier,gontier@ceremade.dauphine.fr
Deux heures. Les documents ne sont pas autorisés. Les exercices sont indépendants.
Exercice 1 (3pts)
Soit F : Rd →R de classe C1, et soitx ∈Rd tel que ∇F(x)6= 0. Montrer que h∈ Rd est une direction de descente enxsi et seulement sih∇F(x),hi<0.
Exercice 2 (7pts)
SoitΦ :R→Rla suite définie parΦ(x) =x+ sin(x). On pose x0∈Retxn+1= Φ(xn).
a/ Montrer queΦest une fonction strictement croissante, et calculer ses points fixes.
b/ Soitk∈N, etx0∈(kπ,(k+ 1)π). Montrer que pour toutn∈N, on axn∈(kπ,(k+ 1)π), puis montrer que la suite(xn)est croissante sikest pair, et décroissante sikest impair.
c/ Montrer que six0= 3, alors la suite (xn)converge versπ.
d/ Montrer que pour tout x∈R, on a
|Φ(x)−Φ(π)| ≤ 1
6max|Φ000| · |x−π|3. e/ En déduire que six0= 3, alors la suite (xn)converge versπà l’ordre3.
Exercice 3 (7pts)
SoitF(v) :R2→Rde classeC1et soitτ >0. On étudie l’algorithme suivant : on commence env0= (x0, y0)∈ R2, puis on pose
vn+1=vn+τhn, avec hn=
((−∂xF(vn),0)T sinest pair (0,−∂yF(vn))T sinest impair.
a/ Montrer que pour toutn∈N, ou bienhn est une direction de descente, ou bienhn=0.
b/ Dans le cas oùF(v) :=kvk2 (=x2+y2),
(i) Montrer que pour toutn∈N, on avn+2= (1−2τ)vn.
(ii) À quelle condition surτ la suite(vn)converge-t-elle vers0? Que se passe-t-il siτ =12?
(iii) Tracer quelques courbes de niveau deF et les points(v0,v1,v2,v3,v4,v5)lorsquev0= (−1,−1)etτ= 14, puis lorsqueτ =34 (deux grandes figures !).
c/ Le code suivant implémente la méthode dans le cas général, mais comporte des erreurs, lesquelles ?
1 d e f a l g o r i t h m e( F , dF , v0 , tau , tol =1 e -6 , N i t e r = 1 0 0 0 ) : 2 f o r n in r a n g e( N i t e r ) :
3 vn = v0
4 g r a d F = dF ( vn )
5 h1 , h2 = g r a d F [0] , g r a d F [1]
6 if a b s( g r a d F ) < tol :
7 r e t u r n vn
8 if ( n %2 == 0) : # n %2 est n m o d u l o 2.
9 vn = vn + tau * a r r a y ([ - h1 , 0])
10 e l s e:
11 vn = vn + tau * a r r a y ([ - h2 , 0])
12 p r i n t(" Erreur , l ’ a l g o r i t h m e n ’ a pas c o n v e r g é a p r è s ", Niter , " i t é r a t i o n s . ")
Exercice 4 (3pts)
Soitg∈C0([−1,1])une fonction continue. On cherche la meilleure approximation linéaire deg. Autrement dit, on veut minimiserF :R2→R, où
F(a0, a1) :=
Z 1
−1
(g(x)−a0−a1x)2dx.
a/ Montrer que F(a0, a1) =
Z 1
−1
g2(x)dx−1 2
Z 1
−1
g(x)dx 2
−3 2
Z 1
−1
xg(x)dx 2
+2
a0−1 2
Z 1
−1
g(x)dx 2
+2 3
a1−3
2 Z 1
−1
xg(x)dx 2
. b/ En déduire queF admet un unique minimum. Quel est ce minimum ?
