Correction de l’examen partiel de Physique statistique du 10 mars 2021

Christophe Texier

L3 et Magist` ere de physique fondamentale, DLMP & ENS-PSay

Correction de l’examen partiel de Physique statistique du 10 mars 2021

1 D´ efauts de Frenkel

N atomes dont N − n occupent les N sites du r´ eseau cristallin et n occupent les N

sites interstitiels. Coˆ ut du passage (r´ eseau)→(site interstitiel) pour un atome : ε.

1/ Postulat fondamental de la physique statistique :

Tous les micro´ etats accessibles d’un syst` eme isol´ e et ` a l’´ equilibre (macroscopique) sont ´ equiprobables.

3/ Il y a N !/[n!(N − n)!] de mani` eres de choisir les n atomes quittant les N sites du r´ eseau et N

!/[n!(N

− n)!] fa¸ cons de les placer sur les N

sites interstitiels.

4/ Dans l’exercice, on s’int´ eresse aux configurations des atomes (les micro´ etats). Leur nombre est donc

Ω(n) = N ! n!(N − n)!

N

!

n!(N

− n)! ' (N

N )

(n!)

pour n N, N

. (1) Comme E = nε, ` a n fix´ e, Ω(n) est bien le nombre de micro´ etats accessibles.

5/ La formule de Boltzmann-Planck relie le nombre de micro´ etats accessibles ` a l’entropie mi- crocanonique par S

= k

ln Ω. Dans la limite N, N

n 1 on obtient donc (utilisant Stirling)

S

' n k

2 + ln

N

N n

(2) 6/ On d´ eduit la temp´ erature

=

=

'

[ln(N

N) − 2 ln n], i.e.

T

(E) ' ε/k

ln(N

N/n

) = ε/k

ln[N

N (ε/E)

] (3)

On inverse pour exprimer plutˆ ot n en fonction de la temp´ erature n ' √

N

N exp −ε

2k

T

(4) Cela rend clair que le r´ egime o` u n N, N

correspond aux basses temp´ eratures T

ε/k

. Dans ce r´ egime, le nombre d’atomes quittant le r´ eseau est exponentiellement petit dans le rapport ε/(k

T

), i.e. d´ ecroit extrˆ emement vite avec la temp´ erature. Ce comportement est caract´ eristique de l’existence d’un gap d’excitation (une ´ energie minimale).

2 Variables conjugu´ ees dans l’ensemble microcanonique

Dans le chapitre ”canonique” on a vu que la moyenne canonique d’une observable est donn´ ee par la relation g´ en´ erale X

= −

o` u φ est la force conjugu´ ee de X. Nous montrons dans l’exercice qu’une relation analogue existe dans l’ensemble microcanonique

X

= T

∂S

∂φ (5)

o` u X

est la moyenne microcanonique de l’observable, i.e. la moyenne sur les ´ etats accessibles : X

= Ω

X

`t.q. E`∈[E,E+δE]

X

et X

= h ` |X| `i = −∂E

/∂φ (th. de Feynman-Hellmann) est la moyenne sur le micro´ etat | ` i.

On note Ω(E, φ) le nombre de micro´ etats accessibles.

1/ Si l’on change le param` etre φ suffisamment ”doucement”, cela a du sens de suivre les

´

energies

E

(φ). En outre, si la transformation est lente, les occupations des ´ etats sont inchang´ ees.

Dans ces conditions l’´ energie du syst` eme change comme E → E −X

δφ et il y a conservation du nombre de micro´ etats

Ω(E, φ) = Ω(E − X

δφ, φ + δφ) (6)

Ce qui est illustr´ e sur la figure.

− ) φ+δφ (E,φ)

Ω(E Xδφ φ, +δφ δE

accessibles microétats

φ Ω

E

X δ φ E

δE

Figure 1 : Evolution des micro´ ´ etats accessibles lors d’un changement du param` etre φ → φ + δφ.

Dans la limite δφ → 0 nous obtenons 0 ' − ∂Ω

∂E X

δφ + ∂Ω

∂φ δφ (7)

En multipliant par k

/Ω et en utilisant la d´ efinition de l’entropie microcanonique S

= k

ln Ω, on d´ eduit la sublime formule (5).

Rq : En thermodynamique, on aurait parl´ e de

transformation isentropique

(` a S

=cste).

2/ Application : cristal de spins 1/2

On applique ces consid´ erations dans un cas tr` es simple : on consid` ere un cristal (isol´ e) de N spins 1/2, soumis ` a un champ magn´ etique B. On note n

le nombre de spins dans l’´ etat

| ± i d’´ energie ε

= ∓ε

avec ε

= m

B o` u m

est l’aimantation d’un spin.

a) Ω = N !/

n

!n

!

b) L’entropie microcanonique est S

' k

N ln N − n

ln n

− n

ln n

(en supposant N, n

1 et utilisant Stirling). On a n

=

1 ∓ E/(N ε

)

, d’o` u la jolie forme S

(E, N, B) = N k

σ(E/N ε

) avec σ(x) = − 1 + x

2 ln

1 + x 2

− 1 − x 2 ln

1 − x 2

(8) qui met en valeur les propri´ et´ es d’extensivit´ e. k

σ(x) est l’entropie par spin.

1la notion de valeur propre n’a d’int´erˆet que pour les probl`emes stationnaires en principe.

c) Appliquons (5) pour calculer l’aimantation moyenne M

= T

∂S

∂B = N k

T

∂

∂B σ E

N m

B

= − k

T

E m

B

σ

E N m

B

(9) on calcule aussi

1

T

= ∂S

∂E = k

m

B σ

E

N m

B

(10) Combinant les deux ´ equations, on d´ eduit

M

= − E

B . (11)

C’est un peu trivial ! En effet, il n’y a que de l’´ energie magn´ etique, donc E = −M

B.

S’il y avait d’autres param` etres dans le probl` eme, l’application de (5) donnerait un r´ esultat moins trivial.

d) Limite de haute temp´ erature.– On d´ eveloppe l’expression de la fonction adimensionn´ ee : σ(x) ' ln 2 − x

/2 pour x 1.

Dans le r´ egime de haute temp´ erature (|E| N ε

) on d´ eduit T

(E) ' − ε

k

N ε

E (12)

d’o` u

M

= − E

B ' N m

ε

k

T

= N m

k

T

B (13)

On peut ´ ecrire M

' χ B o` u χ est la susceptibilit´ e magn´ etique, le coefficient de r´ eponse de l’aimantation au champ magn´ etique.

Le comportement χ ∝ 1/T

(loi de Curie) nous dit que plus l’agitation thermique aug- mente, plus l’aimantation diminue (comp´ etitition entropie/´ energie).

e) Bonus

: La structure S

(E, N, B) = N k

σ E/[N m

B]

est une cons´ equence de l’extensivit´ e. Elle reste correcte dans un cas plus g´ en´ eral (spins s > 1/2). En revanche, la fonction σ(x) change.

Puisque le calcul de M

ne fait pas intervenir la forme pr´ ecise de cette fonction, (11) reste ´ evidemment correct, et la discussion qui suit.

3 Oscillateur anharmonique

On consid` ere un syst` eme en contact avec un thermostat ` a temp´ erature T . 2/ Z = P

`

e

, donc, pour faire ”descendre” E

, on d´ erive par rapport ` a β : E

= −

ln Z 3/ On consid` ere un syst` eme unidimensionnel d´ ecrit par son hamiltonien

H(x, p) = p

2m + V (x) (14)

Le syst` eme est trait´ e classiquement.

a) La fonction de partition classique est Z =

Z dpdx

h e

= Z

−∞

dp h e

2 2m

| {z }

Zcin

Z

−∞

dx e

| {z }

Zpot

(15)

(il y a ici une part d’arbitraire pour s´ eparer Z

et Z

; sans cons´ equence pour la suite). Cette factorisation est propre au cas classique (dans le cas quantique, x et p ne commutent pas).

b) Int´ egrale gaussienne ⇒ Z

= 1/λ

o` u λ

= p

2π~

/(mk

T ) est la longueur thermique.

Puisque Z

∝ √

T ∝ 1/ √

β on a E

= −

ln Z

=

ln β =

k

T . c) Consid´ erons le potentiel

V (x) = 1

2 κ x

+ λ x

(16)

Nous ne pouvons pas calculer Z

exactement dans ce cas. Nous recourrons ` a des ap- proximations.

Ecrivons ´ e

= e

e

avec a

=

r k

T

κ avec a

= k

T

λ

(17) d) a

∝ T

alors que a

∝ T

.

Basses temp´ eratures : on attend donc a

a

. Tra¸cons dans ce cas les deux fonctions intervenant dans le calcul de

Z

= Z

−∞

dx e

e

(18)

C’est la fonction la plus ´ etroite qui l’emporte pour le calcul de l’int´ egrale, ce qui revient ici ` a n´ egliger la partie quartique du potentiel, d’o` u

Z

' Z

−∞

dx e

= √

2π a

=

r 2π

mβω

(19)

On d´ eduit E

= −

ln Z

'

ln β =

k

T pour les basses temp´ eratures.

e) Hautes temp´ eratures : c’est le contraire, le terme quadratique de V (x) est n´ egligeable.

Par simple analyse dimensionnelle Z

' R

dx e

∼ a

∝ β

(un calcul plus pr´ ecis donne Z

'

Γ(1/4) a

).

Le calcul grossier suffit : on trouve E

'

k

T pour les hautes temp´ eratures.

f) R´ esumons :

• Dans la limite des basses temp´ eratures, E

'

k

T +

k

T d’o` u C

' k

.

• Dans la limite des hautes temp´ eratures, E

'

k

T +

k

T ; la capacit´ e calorifique est plus petite C

'

k

.

L’´ echelle de temp´ erature qui s´ epare les deux r´ egimes est donn´ ee en ´ ecrivant a

= a

d’o` u T

= κ

/(k

λ) (si l’anharmonicit´ e disparaˆıt, λ → 0, T

→ ∞ comme il se doit).

Pour tracer l’allure de C

, on raccorde les deux limites (raccorder deux constantes, facile !, et les fonctions faisant intervenir des int´ egrales, elles doivent ˆ etre smooth). Avec un ordinateur, cela donne (en ´ echelles log-lin)

0.01 0.10 1 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

T/Tcrossover

CV/kB

L’anharmonicit´ e tend ` a diminuer la capacit´ e calorifique. Au hautes temp´ eratures,

la particule explore le potentiel plus haut, i.e. est sensible ` a la partie quartique. Par

rapport au cas harmonique, comme le potentiel croˆıt plus vite avec x, il est plus difficile

d’acc´ eder aux hautes ´ energies, d’o` u la plus faible capacit´ e calorifique.