A nn ´ee
20 15
- 20 16
Interrogation d’Alg`ebre 3 Ann´ee 2015-2016
Dur´ ee: 1h15mn
Pour tout ce qui suit, k d´esigne un param`etre r´eel. On travaille sur le corps commutatif R et on consid`ere A
kla matrice carr´ee d’ordre 4 donn´ee par:
A
k:=
k + 1 1 1 1
− 1 k − 1 − 1 − 1
0 0 4 k + 2
0 0 − k − 2 − 2 k
.
On pose aussi: A = A
1et B = A
−2.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique de A
ket en d´eduire que A
kest trig- onalisable pour tout k ∈ R .
2. D´eterminer les valeurs propres de A
ktout en pr´ecisant la multiplicit´e alg´ebrique de chacune d’entre elles (vous distinguez, si n´ecessaire, les valeurs de k ).
3. Montrer, sans calcul d’espace propre, que la matrice A n’est pas diago- nalisable.
4. (a) D´eterminer les espaces propres de B tout en pr´ecisant la dimension de chacun d’entre eux.
(b) La matrice B est-elle diagonalisable? Justifier votre r´eponse.
(c) R´eduire B (la diagonaliser si elle est diagonalisable; la trigonaliser sinon).
5. (a) Montrer que la matrice ( A − I
4) est nilpotente et pr´eciser son indice de nilpotence.
(b) Exprimer A
nen fonction de n (o` u n est un entier naturel).
Bon travail
B. Farhi
Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2015-2016 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 3
Département de Mathématiques Durée : 2 heures
19/03/2016
L`e˙s `eˇr˚r`eˇu˚r¯s `d`e `c´a˜l´cˇu˜l ¯sfi`o“n˚t ˚i‹m¯p`a˚r`d`o“n‹n`a˜b˝l´e˙s
Exercice 1 (10 points):
Pour tout ce qui suit,kdésigne un paramètre réel. On considère Ak la matrice réelle d’ordre 3 donnée par :
Ak:=
3 1 0
−k−2 0 k
2 1 1
.
1. Calculer le polynôme caractéristique de Ak et factoriser le en produit de polynômes de premier degré.
2. En déduire les valeurs propres deAktout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
3. En distinguant les valeurs dek, déterminer les espaces propres deAk tout en précisant la dimen- sion de chacun d’entre eux.
4. Montrer qu’il existe une unique valeur dekpour laquelle la matriceAkest diagonalisable. Préciser cette valeur dek.
5. Réduire la matriceA0(la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
6. Résoudre le système linéaire d’équations différentielles :
x′ = 3x+y y′ = −2x z′ = 2x+y+z
,
oùx,yetzsont des fonctions réelles d’une variable réellet. Exercice 2 (7 points):
Soit (un)n∈Nla suite réelle définie par :u0=0,u1=1 et un+2=1
2(un+un+1) (∀n∈N).
Pour toutn∈N, on pose :Xn:= µ un
un+1
¶ .
1. Déterminer une matriceA∈M2(R) telle que :
Xn+1=AXn (∀n∈N).
2. En déduire que pour toutn∈N, on a :
Xn=AnX0.
3. Déterminer l’expression explicite deAnen fonction den(pourn∈N).
1/2
4. En déduire l’expression explicite deunen fonction denpuis la valeur de la limite lim
n→+∞un. Exercice 3 (3 points):
1. Montrer que toute matrice A∈M2(R), ayant la forme A= µa b
b c
¶
(avec a,b,c∈R) est diagonali- sable surR.
2. Proposer (sans démonstration) une généralisation aux matrices deMn(R) (n≥2, quelconque).
Bon travail B. FARHI
2/2
Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2015-2016 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 3 Département de Mathématiques Durée : 2 heures
10/09/2016
L`e˙s `eˇr˚r`eˇu˚r¯s `d`e `c´a˜l´cˇu˜l ¯sfi`o“n˚t ˚i‹m¯p`a˚r`d`o“n‹n`a˜b˝l´e˙s
Exercice 1 (9 points):
Pour tout ce qui suit,kdésigne un paramètre réel. On considère Ak la matrice réelle d’ordre 3 donnée par :
Ak:=
2 −1 2k
1 k k
1 0 2k
.
1. Calculer le polynôme caractéristique de Ak et factoriser le en produit de polynômes de premier degré.
2. En déduire les valeurs propres deAktout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles (distinguer si nécessaire les valeurs dek).
3. Montrer, sans calcul d’espace propre, queAkest diagonalisable pour toutk∈R\ {−1, 0, 1}.
4. Montrer, en calculant le minimum d’espaces propres, qu’aucune des matrices A0, A1, A−1 n’est diagonalisable.
5. Justifier le fait queA1est trigonalisable puis la trigonaliser.
Exercice 2 (7 points):
Soit (un)n∈Nla suite de nombres réels strictement positifs, définie par :u0=1,u1=2 et un+2 = 3unun+1
2un+un+1
(∀n∈N).
Pour toutn∈N, on pose :Xn:=
1 un
1 un+1
.
1. Déterminer une matriceA∈M2(R) telle que :
Xn+1=AXn (∀n∈N).
2. En déduire que pour toutn∈N, on a :
Xn=AnX0.
3. Déterminer l’expression explicite deAnen fonction den(pourn∈N).
4. En déduire l’expression explicite deunen fonction denpuis la valeur de la limite lim
n→+∞un.
1/2
Exercice 3 (4 points):
Soientn∈N∗et Aune matrice deMn(R) dont les coefficients sont touspositifset telle quela somme des coefficients de chaque ligne vaut 1. En écrivant A=(ai j)1≤i≤n
1≤j≤n, ces hypothèses s’interprètent ma- thématiquement comme ceci :
(i) ai j≥0, ∀i,j∈{1, . . . ,n}.
(ii)
n
X
j=1
ai j=1, ∀i∈{1, . . . ,n}.
1. Montrer que 1 est une valeur propre deA.
2. Montrer que toute valeur propre complexeλde Avérifie : |λ| ≤1.
Bon travail B. FARHI
2/2
A nn ´ee
20 14
- 20 15
Universit´e A. Mira de B´ejaia D´epartement de Math´ematique
Ann´ee universitaire 2014/2015
Interrogation d’Alg`ebre 3
Pour tout ce qui suit, k d´esigne un param`etre r´eel. On travaille sur le corps commutatif R et on consid`ere A
kla matrice carr´ee d’ordre 3 donn´ee par :
A
k:=
2 k 0 − k k 1 −1 k 0 0
.
1) Calculer le polynˆome caract´eristique de A
ket en d´eduire le spectre de A
k. 2) Montrer, sans calcul d’espace propre, que la matrice A
1n’est pas diago-
nalisable.
3) En distinguant les valeurs de k , d´eterminer les espaces propres de A
ktout en pr´ecisant la dimension de chacun d’entre eux.
4) En d´eduire qu’il existe une unique valeur de k pour laquelle la matrice A
kest diagonalisable. On vous demande de pr´eciser cette valeur de k .
5) Trigonaliser A
1puis exprimer A
n1
en fonction de n (o` u n est un entier naturel).
Bonne chance
B. Farhi
Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 3
Département de Mathématiques Durée : 2 heures
02/03/2015
Exercice 1 (5 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 4, à coefficients réels, donnée par :
A :=
4 −2 −1 1 6 −3 0 −1
0 0 2 0
0 0 1 1
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deAet le factoriser.
2. En déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
3. Déterminer la multiplicité géométrique de chacune des valeurs propres deA.
4. La matriceAest-elle trigonalisable ? est-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse.
Exercice 2 (10 points):
Pour toutk∈R, on considère la matrice réelle d’ordre 3 :
Ak :=
4 0 −2 k k −2 3 0 −1
.
1. (a) Calculer le polynôme caractéristique de Aket le factoriser.
(b) En déduire que Akest diagonalisable pour toutk∈R\ {1, 2}.
2. (a) Pourk∈{1, 2}, que doit valoir le polynôme minimal de Akpour que Ak soit diagonalisable ? Justifier.
(b) En déduire toutes les valeurs réelles dekpour lesquellesAkest diagonalisable.
3. On poseA=A1. En utilisant la méthode de votre choix, exprimer explicitementAnen fonction de n(oùnest un entier naturel).
4. On poseB=A2. RéduireB (la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
5. Résoudre le système linéaire d’équations différentielles :
x′ = 4x−2z y′ = 2x+2y−2z z′ = 3x−z
,
oùx,yetzsont des fonctions réelles d’une variable réellet. Exercice 3 (5 points):
Trois matricesA,B,C deM2(R) sont telles que :
Tr(A)=0 ; det(A)= −1 ; Tr(C)=1 ; det(C)=0 et (A+I2)BC =(0).
1. Déterminer les polynômes caractéristiques des deux matricesAetC. 1/2
2. En déduire que l’on a :
A2=I2 et C2=C.
3. SoitMla matrice deM4(R) donnée par sa décomposition en blocs matriciels d’ordre 2 : M :=
µ A B (0) C
¶ .
(a) Déterminer le polynôme caractéristique deMpuis le polynôme minimal deM. (b) En déduire queMest diagonalisable.
Bonne chance B. FARHI
2/2
Université A. Mira de Béjaia Examen de remplacement d’Algèbre 3 Faculté des Sciences Exactes 2èmeannée Licence Maths
Département de Mathématiques Durée : 2 heures 18/03/2015
Exercice1(7 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 4, à coefficients réels, donnée par :
A:=
−6 2 3
−8 3 4
−7 2 4
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deAet en déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deAtout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceAest-elle trigonalisable ? est-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse.
4. RéduireA(la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
Exercice2(4 points):
Pour toutt∈R, soitAt la matrice réelle d’ordre 3 donnée par :
At :=
2 −1 1
−1 t 1
1 1 2
.
1. Montrer queAt possède une valeur propre indépendante detqu’on demande de préciser.
2. Montrer queAt est diagonalisable pour toutt∈R.
Exercice3(5 points):
Soientnun entier≥2 ettun paramètre réel. On considèreAt la matrice deMn(R) donnée par :
At :=
t 1 . . . 1 1 t . .. ...
... . .. ... 1 1 . . . 1 t
.
1. Montrer queλ1=t−1 etλ2=t+n−1 sont des valeurs propres deAt.
2. Déterminer la multiplicité géométrique deλ1=t−1 et en déduire sa multiplicité algébrique puis la multiplicité algébrique deλ2=t+n−1.
— En déduire que la matriceAt est diagonalisable pour toutt∈R.
3. Donner l’expression explicite du polynôme caractéristique deAt.
Exercice4(4 points):
Montrer que pour toute matriceA∈M2(R), on a : det¡
A2+A+I2¢
≥ 3
4(detA−1)2.
Bon courage B. FARHI
Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 3 Département de Mathématiques Durée : 2 heures
L`e˙s `eˇr˚r`eˇu˚r¯s `d`e `c´a˜l´cˇu˜l ¯sfi`o“n˚t ˚i‹m¯p`a˚r`d`o“n‹n`a˜b˝l´e˙s
Exercice 1 (4 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 4, à coefficients réels, donnée par :
A :=
4 −2 1 −1 3 −1 5 2
0 0 1 1
0 0 1 1
.
1. Calculer le polynôme caractéristique de A et factoriser le en produit de polynômes de premier degré.
2. En déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
3. Déterminer la multiplicité géométrique de chacune des valeurs propres deA.
4. La matriceAest-elle trigonalisable ? est-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse.
Exercice 2 (4 points):
Considérons la matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A :=
0 −1 −1
2 3 1
2 1 3
.
1. Montrer qu’il existe une unique valeurλ∈Rpour laquelle on ait : (A−λI3)2 = (0).
On vous demande de préciser cette valeur deλ.
2. En déduire l’expression explicite deAnen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice 3 (12 points): Pour toutk∈R, on définit :
Ak :=
k −1 −1
−1 0 1 k 0 −1
.
1. Calculer le polynôme caractéristique de Ak et factoriser le en produit de polynômes de premier degré.
2. En distinguant les valeurs du paramètre réelk, déterminer le polynôme minimal deAk. 3. En déduire les valeurs dekpour lesquelles la matriceAkest diagonalisable.
4. PosonsA=A0(la matriceAkpourk=0).
(a) Réduire A(la diagonaliser si elle est diagonalisable ; la trigonaliser sinon).
1/2
(b) Résoudre le système linéaire d’équations différentielles :
x′ = −y−z y′ = −x+z z′ = −z
,
oùx,y,zsont des fonctions réelles d’une variable réellet. 5. PosonsB =A2(la matriceAkpourk=2).
— En utilisant la méthode de votre choix, exprimerBnen fonction den(oùnest un entier naturel).
Bon travail B. FARHI
Note :S˚u˚i˚t´e `àffl ˜l´affl `gˇr`è›vfle `d`e˙s `e›n¯sfi`eˇi`g›n`a‹n˚t˙s `qfi˚u˚iffl `affl `d˚u˚r`é ¯p˚r`e˙sfi`qfi˚u`e ˚tˇr`o˘i¯s ”m`o˘i¯s, ˚i˜l `affl `éˇt´é `d`é´cˇi`d`é
`d`e ˜f´a˚i˚r`e ˚u‹nffl `e›x´a‹m`e›nffl `d`e ˚r`a˚tˇtˇr`a¯p`a`g´e `dffl’˚u‹n`e ˛h`eˇu˚r`e `eˇt `d`e›m˚iffl (`a˚uffl ˜lˇi`eˇuffl `d`e `d`eˇu‹x ˛h`eˇu˚r`e˙s); ¯p`o˘u˚rffl
`c´eˇtˇt´e ˚r`a˚i¯sfi`o“nffl, ˜l´e˙s `qfi˚u`e˙sfi˚tˇi`o“n¯s 4.(b) et 5. `o“n˚t `éˇt´é ¯sfi˚u¯p¯p˚r˚i‹m`é´e˙s `d`e `c´e ¯sfi˚u¯j´eˇt. P˚r`é´cˇi¯sfi`o“n¯s `a˚u¯sfi¯sfi˚iffl `qfi˚u`e
˜l„`e›x´a‹m`e›nffl `affl `eˇuffl ˜lˇi`eˇuffl ˜l´e 7 `d`é´c´e›m˜b˘r`e 2015.
2/2
A nn ´ee
20 13
- 20 14
Interrogation d’Alg`ebre 3 (Groupe 1) Ann´ee universitaire 2013-2014
Pour tout ce qui suit, k d´esigne un param`etre r´eel. On travaille sur le corps commutatif R et on consid`ere A
kla matrice carr´ee d’ordre 3 donn´ee par :
A
k:=
0 k − k
−1 k + 1 − k
0 0 1
.
1) Calculer le polynˆome caract´eristique de A
ket en d´eduire le spectre de A
k.
2) Montrer, sans calcul d’espace propre, que la matrice A
1n’est pas diagonalisable.
3) En distinguant les valeurs de k , d´eterminer les espaces propres de A
ktout en pr´ecisant la dimension de chacun d’entre eux.
4) En d´eduire que A
kest diagonalisable pour tout k ∈ R \ {1}.
5) Trigonaliser A
1puis exprimer A
n1
en fonction de n (o` u n est un entier naturel).
Bonne chance
B. Farhi
Interrogation d’Alg`ebre 3 (Groupe 2) Ann´ee universitaire 2013-2014
Pour tout ce qui suit, k d´esigne un param`etre r´eel. On travaille sur le corps commutatif R et on consid`ere A
kla matrice carr´ee d’ordre 3 donn´ee par :
A
k:=
k − 1 1 −1 k − 2 2 −1
0 0 1
.
1) Calculer le polynˆome caract´eristique de A
ket en d´eduire le spectre de A
k.
2) Montrer, sans calcul d’espace propre, que la matrice A
1n’est pas diagonalisable.
3) En distinguant les valeurs de k , d´eterminer les espaces propres de A
ktout en pr´ecisant la dimension de chacun d’entre eux.
4) En d´eduire que A
kest diagonalisable pour tout k ∈ R \ {1}.
5) Trigonaliser A
1puis exprimer A
n1
en fonction de n (o` u n est un entier naturel).
Bonne chance
B. Farhi
Université A. Mira de Béjaia Examen d’Algèbre 3 Faculté des Sciences Exactes 2èmeannée Licence Maths
Département de Mathématiques Durée : 2 heures 22/01/2014
Exercice1(7 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 4, à coefficients réels, donnée par :
A:=
1 −2 1 1
1 4 −1 −3
0 0 3 −2
0 0 2 −1
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deAet en déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deAtout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceAest-elle diagonalisable ? est-elle trigonalisable ? Justifier votre réponse.
4. RéduireA(la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
Exercice2(4 points):
SoitAla matrice réelle d’ordre 3 donnée par :
A :=
3 0 1 0 3 2 0 0 3
.
1. Montrer, sans calculs d’espaces propres, queAn’est pas diagonalisable.
2. ExprimerAnen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice3(6 points):
Pour toutt∈R, on définit :
At :=
0 −1 1
2 3 t
0 0 2
.
1. En distinguant les valeurs du paramètre réelt, déterminer le polynôme minimal deAt. 2. En déduire les valeurs det pour lesquelles la matriceAt est diagonalisable.
3. On prend dans cette questiont=0.
— Exprimer, en utilisant la méthode de votre choix,An
0 en fonction den(oùnest un entier natu- rel).
Exercice4(3 points):
SoitA∈M2(C).
1. On suppose queAest de trace non nulle.
— Montrer que toute matriceM∈M2(C) qui commute avecA2commute aussi avecA. + Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.
2. Montrer, par un contre exemple, que ce résultat est en général faux lorsqueAest de trace nulle.
Bonne chance B. FARHI
http://farhi.bakir.free.fr/
Université A. Mira de Béjaia Examen de remplacement d’Algèbre 3 Faculté des Sciences Exactes 2èmeannée Licence Maths
Département de Mathématiques Durée : 2 heures 06/03/2014
Exercice1(7 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 4, à coefficients réels, donnée par :
A:=
−6 2 3
−8 3 4
−7 2 4
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deAet en déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deAtout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceAest-elle diagonalisable ? est-elle trigonalisable ? Justifier votre réponse.
4. RéduireA(la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
Exercice2(4 points):
Pour toutt∈R, soitAt la matrice réelle d’ordre 3 donnée par :
At :=
2 −1 1
−1 t 1
1 1 2
.
1. Montrer queAt possède une valeur propre indépendante detqu’on demande de préciser.
2. Montrer queAt est diagonalisable pour toutt∈R. Exercice3(5 points):
Soientnun entier≥2 ettun paramètre réel. On considèreAt la matrice deMn(R) donnée par :
At :=
t 1 . . . 1 1 t . .. ...
... . .. ... 1 1 . . . 1 t
.
1. Montrer queλ1=t−1 etλ2=t+n−1 sont des valeurs propres deAt.
2. Déterminer la multiplicité géométrique deλ1=t−1 et en déduire sa multiplicité algébrique puis la multiplicité algébrique deλ2=t+n−1.
— En déduire que la matriceAt est diagonalisable pour toutt∈R. 3. Donner l’expression explicite du polynôme caractéristique deAt. Exercice4(4 points):
Montrer que pour toute matriceA∈M2(R), on a : det¡
A2+A+I2¢
≥ 3
4(detA−1)2.
Bonne chance B. FARHI
http://farhi.bakir.free.fr/
Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2013-2014 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 3
Département de Mathématiques Durée : 2 heures 2 septembre 2014
Exercice 1 (7 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par : A :=
0 9 2
−1 2 1 4 0 −2
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deAet en déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deAtout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceAest-elle diagonalisable ? est-elle trigonalisable ? Justifier votre réponse.
4. RéduireA(la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
Exercice 2 (4 points):
SoitAla matrice réelle d’ordre 3 donnée par : A :=
2 1 −1
0 2 1
0 0 2
.
1. Montrer, sans calculs d’espaces propres, queAn’est pas diagonalisable.
2. ExprimerAnen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice 3 (5 points):
Pour tout ce qui suit,aetbdésignent deux paramètres réels. On définit : Aa,b :=
3 1 a 1 3 b 0 0 2
. 1. En distinguant les valeurs deaetb, déterminer le polynôme minimal deAa,b.
2. En déduire les cas où la matriceAa,best diagonalisable.
3. Dans cette question, on prenda=0,b=1 et on poseA:=A0,1.
— Exprimer (par la méthode de votre choix)Anen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice 4 (4 points):
Soitf l’endomorphisme duR-espace vectorielR[X], défini par : f : R[X] −→ R[X]
P 7−→ f(P) := P+P′+P′′+. . . .
1. Montrer que f est un automorphisme deR[X] (i.e., f est bijectif ) tout en explicitant son endo- morphisme inverse f−1.
2. Montrer queλ=1 est une valeur propre de f.
3. Montrer que f ne possède pas d’autres valeurs propres réelles, autre la valeur propreλ=1.
Bonne chance B. FARHI
A nn ´ee
20 12
- 20 13
Université A. Mira de Béjaia Faculté de Sciences Exactes Département de Mathématiques
Le 15 décembre 2012
Interrogation d’Algèbre 3 (Licence Maths) Durée: 45mn
Pour tout ce qui suit, k désigne un paramètre réel. Soit A la matrice réelle d’ordre 3 donnée par:
A =
1 1 − 1 0 2 − 1 0 k 1 − k
.
1. Déterminer les valeurs propres de A .
2. Déterminer (en distinguant les valeurs du paramètre réel k ) les espaces pro- pres de A tout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. Pour quelles valeurs de k , la matrice A est-elle diagonalisable? Justifier votre réponse.
4. On prend ici k = 1. Réduire A puis exprimer A
nen fonction de n (où n est un entier naturel).
Bon travail
Université A. Mira de Béjaia Faculté de Sciences Exactes Département de Mathématiques
Le 16 décembre 2012
Interrogation d’Algèbre 3 (STID) Durée: 45mn
Soit A la matrice réelle d’ordre 4 donnée par:
A =
3 − 2 0 − 1 2 − 1 2 − 2 0 0 − 1 1 0 0 − 2 2
.
1. Déterminer les valeurs propres de A .
2. Déterminer les espaces propres de A tout en précisant la dimension de cha- cun d’entre eux.
3. La matrice A est-elle diagonalisable? Justifier votre réponse.
4. Réduire A (la diagonaliser si elle est diagonalisable et la trigonaliser sinon).
Bon travail
Université A. Mira de Béjaia
Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 3
Département de Mathématiques 2èmeannée Licence Maths 31/01/2013
Exercice1(7 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 4, à coefficients réels, donnée par :
A:=
0 1 0 −1
−1 2 0 −1
0 0 1 0
0 0 0 0
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deAet en déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deAtout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceAest-elle diagonalisable ? est-elle trigonalisable ? Justifier votre réponse.
4. RéduireA(la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
Exercice2(5 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
1 1 1 0 1 0 0 0 2
. 1. Déterminer le polynôme minimal deA.
2. La matriceAest-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse.
3. Exprimer, par la méthode de votre choix,Anen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice3(4 points):
SoitA∈M2(C).
1. On suppose que A est de trace non nulle. Montrer que toute matrice M ∈M2(C) qui commute avecA2commute aussi avecA.
2. Ce résultat reste-t-il vrai lorsqueAest de trace nulle ? Justifier votre réponse.
Exercice4(4 points): Toute tentative de résolution de cet exercice sera prise en compte.
Montrer que pour toute matriceA∈M2(R), on a : det¡
A2+A+I2¢
≥ 3
4(detA−1)2.
Bonne chance
B. FARHI
http://farhi.bakir.free.fr/
Université A. Mira de Béjaia
Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 3
Département de Mathématiques 2èmeannée STID 27/01/2013
Exercice1(7 points):
SoitM la matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
M:=
2 1 2
1 2 2
−1 −1 −1
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deMet en déduire les valeurs propres deMtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deM tout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceM est-elle diagonalisable ? est-elle trigonalisable ? Justifier votre réponse.
4. Réduire la matriceM (la diagonaliser si elle est diagonalisable ; la trigonaliser sinon).
Exercice2(4 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
2 1 1 0 2 0 0 0 2
.
— Exprimer, par la méthode de votre choix,Anen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice3(4 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 2, à coefficients réels, donnée par :
A:=
µ2 −1
1 0
¶ .
— En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, exprimerAnen fonction den(oùnest un entier natu- rel).
Exercice4(5 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
1 0 0 2 2 1 0 0 1
.
1. Déterminer le polynôme minimal deA. 2. En déduire queAest diagonalisable.
3. En utilisant le polynôme minimal deA, calculerA−1.
Bonne chance
B. FARHI
http://farhi.bakir.free.fr/
Université A. Mira de Béjaia
Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 3
Département de Mathématiques 2èmeannée Licence Maths 11/04/2013
Exercice1(7 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
2 −1 −1 0 −1 0 1 −3 0
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deAet en déduire les valeurs propres deAtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deAtout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceAest-elle diagonalisable ? est-elle trigonalisable ? Justifier votre réponse.
4. RéduireA(la diagonaliser si elle est diagonalisable, la trigonaliser sinon).
Exercice2(4 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
2 −1 1 0 2 −1
0 0 2
.
— En utilisant la méthode de votre choix, exprimerAnen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice3(5 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
1 1 1
0 1 2
0 0 −1
.
1. Déterminer le polynôme minimal deA.
2. En déduire si la matriceAest diagonalisable ou non.
3. Exprimer, par la méthode de votre choix,Anen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice4(4 points):
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie etf un endomorphisme deEvérifiant :f2=f. On suppose quef 6≡0 etf 6≡IdE.
1. Montrer que 0 et 1 sont des valeurs propres def.
2. En se servant d’un polynôme annulateur, conclure que : Sp(f)={0, 1}.
Bonne chance
B. FARHI
Université A. Mira de Béjaia
Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 3
Département de Mathématiques 2èmeannée STID 08/04/2013
Exercice1(7 points):
SoitM la matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
M:=
0 0 0
3 −1 1 7 −4 3
.
1. Calculer le polynôme caractéristique deMet en déduire les valeurs propres deMtout en précisant la multiplicité algébrique de chacune d’entre elles.
2. Déterminer les espaces propres deM tout en précisant la dimension de chacun d’entre eux.
3. La matriceM est-elle diagonalisable ? est-elle trigonalisable ? Justifier votre réponse.
4. Réduire la matriceM (la diagonaliser si elle est diagonalisable ; la trigonaliser sinon).
Exercice2(4 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
3 1 1 0 3 1 0 0 3
.
— Exprimer, par la méthode de votre choix,Anen fonction den(oùnest un entier naturel).
Exercice3(4 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
1 1 1 0 1 1 0 0 0
.
— En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, exprimerAnen fonction den(oùnest un entier natu- rel).
Exercice4(5 points):
SoitAla matrice carrée d’ordre 3, à coefficients réels, donnée par :
A:=
1 1 1
0 3 −1
0 2 0
.
1. Déterminer le polynôme minimal deA. 2. En déduire siAest diagonalisable ou non.
3. En utilisant le polynôme minimal deA, calculerA−1.
Bonne chance B. FARHI
