Interrogation d’Alg`ebre 4 Ann´ee 2016-2017

(1)

Ann

´ee 2016

- 2017

(2)

Jéˇu`d˚iffl, 8 ¯jˇu˚i‹nffl 2017

Interrogation d’Alg`ebre 4 Ann´ee 2016-2017

Dur´ ee : 1h15mn

Pour tout ce qui suit, k d´ esigne un param` etre r´ eel et q

_k

d´ esigne la forme quadratique r´ eelle de R

³

(d´ ependant de k), d´ efinie par :

q

_k

(x) := k x

²

+ (k + 3) y

²

+ z

²

+ 6 xy + 2 xz + 4 yz ( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

1. R´ eduire q

_k

par la m´ ethode de Gauss en distinguant les valeurs de k.

2. D´ eterminer le rang et la signature de q

_k

en distinguant les valeurs de k.

3. En d´ eduire les valeurs de k pour lesquelles q

_k

est non d´ eg´ en´ er´ ee, puis les valeurs de k pour lesquelles q

_k

est positive et enfin les valeurs de k pour lesquelles q

_k

est d´ efinie positive.

4. On prend dans cette question k = 0.

(a) Ecrire l’expression de la forme polaire f associ´ ee ` a q

₀

.

(b) Ecrire la matrice associ´ ee ` a f relativement ` a la base canonique de R

³

.

(c) D´ eterminer Ker f et pr´ eciser sa dimension.

5. On prend dans cette question k = 3/2.

— D´ eterminer une base de R

³

qui soit q

_3/2

-orthogonale.

6. D´ eterminer les valeurs du param` etre k pour lesquelles la forme quadratique q

k

est ´ equivalente (sur R ) ` a la forme quadratique q

^′

de R

³

, d´ efinie par :

q

^′

(x) := 4xy − z

²

( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

Bon travail

B. Farhi

(3)

Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 4 Département de Mathématiques Durée : 2 heures

15/06/2017

Lè˙s èˇr˚rèˇu˚r¯s `dè `cá˜lćˇu˜l ¯sfiò“n˚t ˚i‹m¯pà˚r`dò“n‹nà˜b˝lé˙s

Exercice 1 (5 points) :

PosonsE :=C⁰([0,1],R)et soit φ:E² →Rl’application définie par : φ(f, g) :=

∫ 1 0

f(x)g(x)(3x−1)dx (∀f, g ∈E).

1. Montrer que φest une forme bilinéaire symétrique sur E.

2. Montrer que φn’est pas positive.

3. Montrer que φest non dégénérée.

Pour ce qui suit, on note parR2[X]leR-espace vectoriel des polynômes à coeﬃcients réels, de degré

≤2. Soit :

f : R2[X]×R2[X] −→ C (P, Q) 7−→ ¹₂(

P(1 +i)Q(1−i) +P(1−i)Q(1 +i) )

(où i désigne le nombre complexe de module 1et d’argument ^π₂).

1. Montrer que f prend ses valeurs dansR.

2. Montrer que f est une forme bilinéaire symétrique sur R2[X].

3. Montrer que f est positive mais qu’elle n’est pas définie positive.

4. Donner la matrice associée à f relativement à la base canonique de R2[X].

5. Calculer le cône isotrope C deR2[X] pour f et montrer qu’on a : C =R2[X]^⊥.

Pour tout ce qui suit, k désigne un paramètre réel. On considère q_k la forme quadratique réelle de R³, définie par :

qk(X) := k²x²+y²+ (k+ 1)z²+ 2xy+ 2yz+ 2(k²+k+ 1)xz (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

1. Réduire q_k par la méthode de Gauss en distinguant, si nécessaire, les valeurs de k.

2. En déduire le rang et la signature de q_k en distinguant les valeurs de k.

3. (a) Déterminer les valeurs de k pour lesquelles q_k est non dégénérée.

(b) Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles q_k est positive ? Justifier.

4. Soit q^′ la forme quadratique réelle de R³, définie par :

q^′(X) := xy+xz−yz (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

(4)

(a) Réduire q^′ par la méthode de Gauss.

(b) Déterminer les valeurs de k pour lesquelles q_k est équivalente à q^′.

(c) Justifier l’existence de trois formes linéaires L₁, L₂ et L₃ en x, y, z (R-linéairement indé- pendantes) tel que l’on ait :

q₁(L₁, L₂, L₃) = q^′(x, y, z).

(d) Question supplémentaire^∗ : Déterminer telles formesL₁, L₂ et L₃.

Bon travail B. Farhi

∗. Cette question ne fait pas partie de l’examen.

2/2

(5)

Ann

´ee 2015

- 2016

(6)

Mà˚r`d˚iffl, ˜lé 7 ¯jˇu˚i‹nffl 2016

Interrogation d’Alg`ebre 4 Ann´ee 2015-2016

Dur´ ee : 1h15mn

Pour tout ce qui suit, k d´ esigne un param` etre r´ eel et q

_k

d´ esigne la forme quadratique r´ eelle de R

³

(d´ ependant de k), d´ efinie par :

q

_k

(x) := x

²

+ (k + 1)y

²

+ (k + 1)z

²

+ 2xy + 2xz ( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

1. R´ eduire q

_k

par la m´ ethode de Gauss en distinguant les valeurs de k.

2. D´ eterminer le rang et la signature de q

k

en distinguant les valeurs de k.

3. En d´ eduire les valeurs de k pour lesquelles q

_k

est non d´ eg´ en´ er´ ee, puis les valeurs de k pour lesquelles q

_k

est positive et enfin les valeurs de k pour lesquelles q

_k

est d´ efinie positive.

4. On prend dans cette question k = 1.

(a) Ecrire l’expression de la forme polaire f associ´ ee ` a q

₁

.

(b) Ecrire la matrice associ´ ee ` a f relativement ` a la base canonique de R

³

.

(c) D´ eterminer Ker f et pr´ eciser sa dimension.

5. On prend dans cette question k = 2.

— D´ eterminer une base de R

³

qui soit q

₂

-orthogonale.

6. D´ eterminer les valeurs du param` etre k pour lesquelles la forme quadratique q

_k

est ´ equivalente (sur R ) ` a la forme quadratique q

^′

de R

³

, d´ efinie par :

q

^′

(x) := x

²

+ y

²

− z

²

( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

Bò“nffl ˚tˇrà‹vâ˚i˜l

(7)

Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 4 Département de Mathématiques Durée : 2 heures

19/06/2016

PosonsE :=C⁰([−1,1],R)et soit φ:E² →R l’application définie par : φ(f, g) :=

∫ 1

−1

f(x)g(x)x dx (∀f, g∈E).

≤2. Soit ⟨ , ⟩:R2[X]×R2[X]→R l’application définie par :

⟨P, Q⟩:=P(1)Q(1) +P^′(1)Q^′(1) +P^′′(1)Q^′′(1) (∀P, Q∈R2[X]).

1. Montrer que ⟨, ⟩ est un produit scalaire sur R2[X].

2. Soit H(X) := 3X²−14X+ 15.

— Calculer{H}^⊥ en lui précisant une base.

q_k(X) := −x²−y² +k xy+xz+k²−1

4 z² (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

1. Réduire q_k par la méthode de Gauss en distinguant, si nécessaire, les valeurs de k.

(b) Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles q_k est positive ? négative ? Justifier.

4. Soit q^′ la forme quadratique réelle de R³, définie par :

q^′(X) := xy+xz+yz (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

(b) Déterminer les valeurs de k pour lesquelles qk est équivalente à q^′.

(8)

(c) Justifier l’existence de trois formes linéaires L₁, L₂ et L₃ en x, y, z (R-linéairement indé- pendantes) tel que l’on ait :

q1(L1, L2, L3) = q^′(x, y, z).

(d) Déterminer telles formes L₁, L₂ etL₃.

2/2

(9)

Faculté des Sciences Exactes Examen de remplacement d’Algèbre 4

Département de Mathématiques Durée : 2 heures

29/06/2016

∫ ₁

0

f(x)g(x) sin(3πx)dx+f (1

2 )

g (1

2 )

(∀f, g∈E).

⟨P, Q⟩:=P(0)Q(0) +P^′(1)Q^′(1) +P^′′(2)Q^′′(2) (∀P, Q∈R2[X]).

1. Montrer que ⟨, ⟩ est un produit scalaire sur R2[X].

2. Soit H :={P ∈R2[X] : P(1) = 0}.

— CalculerH^⊥ en lui précisant une base.

q_k(X) := kx²+ (k+ 1)y²+ (k+ 2)z²+ (2k+ 1)xy+ (2k+ 2)xz+yz (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

1. Réduire qk par la méthode de Gauss en distinguant, si nécessaire, les valeurs de k.

(b) Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles q_k est positive ? Justifier.

4. Soit q^′_a,b (a, b∈R) la forme quadratique réelle de R³, définie par :

q^′_a,b(X) := xy+axz+byz (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

(a) Réduire q^′_a,b par la méthode de Gauss.

(b) En déduire le rang et la signature de q_a,b^′ en distinguant les valeurs de a et b.

(c) En posant q^′ :=q_1,^′ ₋₁, déterminer les valeurs de k pour lesquelles qk est équivalente à q^′.

(10)

(d) Justifier l’existence de trois formes linéaires L₁, L₂ et L₃ en x, y, z (R-linéairement indé- pendantes) tel que l’on ait :

q0(L1, L2, L3) = q^′(x, y, z).

(e) Déterminer telles formes L₁, L₂ etL₃.

2/2

(11)

Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 4 Département de Mathématiques Durée : 2 heures

4/10/2016

∫ ₁

0

f(x)g(x)(2x−1)dx (∀f, g ∈E).

1. Montrer que φest une forme bilinéaire symétrique sur E. 2. Montrer que φn’est pas positive.

⟨P, Q⟩:=P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P^′(1)Q^′(1) (∀P, Q∈R2[X]).

1. Montrer que ⟨ , ⟩est un produit scalaire sur R2[X].

2. Soit H(X) :=X²−X et L(X) := X²−4X+ 2.

— Calculer {H, L}^⊥ en lui précisant une base.

q_k(X) := x²+ (k²+k)y²+ 2k z²+ 2k xy−2xz (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

1. Réduire q_k par la méthode de Gauss (distinguer, si nécessaire, les valeurs de k).

2. En déduire le rang et la signature de q_k en distinguant les valeurs dek.

3. (a) Déterminer les valeurs dek pour lesquelles q_k est non dégénérée.

(b) Déterminer les valeurs de k pour lesquelles qk est définie positive.

4. Soit q^′ la forme quadratique réelle deR³, définie par :

q^′(X) := xy+xz+ 2yz (∀X =^t(x, y, z)∈R³).

(b) Déterminer les valeurs de k pour lesquelles q_k est équivalente à q^′.

(c) Justifier l’existence de trois formes linéaires L₁, L₂ etL₃ enx, y, z (R-linéairement indépen- dantes) tel que l’on ait :

q₋₁(L₁, L₂, L₃) = q^′(x, y, z).

(d) Déterminer telles formes L₁, L₂ et L₃.

(12)

Ann

´ee 2014

- 2015

(13)

Interrogation d’Alg`ebre 4 Ann´ee 2014-2015

Pour ce qui suit, k d´ esigne un param` etre r´ eel et q d´ esigne la forme quadratique r´ eelle de R

³

d´ efinie par:

q(x) := x

²

+(k+1)y

²

+(k+1)z

²

+2xy+2yz+(2 − 2k)xz ( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

1. R´ eduire q par la m´ ethode de Gauss.

2. D´ eterminer le rang et la signature de q en distinguant les valeurs du param` etre r´ eel k.

3. D´ eterminer une base de R

³

qui soit q-orthogonale.

4. D´ eterminer les valeurs du param` etre k pour lesquelles la forme quadratique q est ´ equivalente (sur R ) ` a la forme quadratique q

^′

de R

³

, d´ efinie par:

q

^′

(x) := xy + xz − yz ( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

Bon travail

B. Farhi

(14)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 4

Département de Mathématiques Durée : 2 heures

16/06/2015

Le erreur de calcul sont impardonnable

Exercice 1 (8 points):

Pour tout ce qui suit,k désigne un paramètre réel. On considèreq_k la forme quadratique réelle deR³, définie par :

q_k(X) := x²−k y²+kxz−k y z (∀X =^t(x,y,z)∈R³).

1. Réduireqkpar la méthode de Gauss.

2. En déduire le rang et la signature deq_ken distinguant les valeurs du paramètre réelk.

3. (a) Déterminer les valeurs dekpour lesquellesq_k est non dégénérée.

(b) Existe-t-il des valeurs dekpour lesquellesq_kest le carré d’une norme deR³? Justifier.

4. Déterminer une base deR³qui soitq_k-orthogonale.

5. Soitq^′la forme quadratique réelle deR³, définie par :

q^′(X) = (x+y)(y+z) (∀X =^t(x,y,z)∈R³).

(a) Montrer qu’il existe une unique valeur dekpour laquelleq_kest équivalente àq^′.

(b) Pour cette valeur précise de k, déterminer trois formes linéaires L1,L2 et L3 en x,y,z (R-linéairement indépendantes) tel que l’on ait :

q_k(L₁,L₂,L₃) = q^′(x,y,z).

On munit leR-espace vectorielR[x]^∗de l’application〈, 〉:R[x]²→R, définie par :

〈P, Q〉 := P(1)Q(1)−

∫ ₁

0

P^′(x)Q^′(x) lnx d x (∀P,Q∈R[x]).

1. Montrer que〈, 〉constitue un produit scalaire deR[x].

2. Etablir la formule : ∫ ₁

0

xⁿlnx d x = − 1

(n+1)² (∀n∈N).

3. En utilisant le procédé de Gram-Schmidt, déterminer une base deR2[x]^† qui soit orthonormée pour le produit scalaire ci-dessus.

4. Calculer

a,binf∈R

{

(a+b−1)²−

∫ ₁

0

(2x−a)²lnx d x }

.

∗. On a notéR[x] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

†. On a notéR2[x] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degrés au plus 2.

1/2

(15)

Soient E un espace euclidien de dimension n (n ∈N^∗) et (ei)₁_≤_i_≤_n une base orthonormée de E. Soit aussi f un automorphisme de E (i.e., un endomorphisme bijectif deE). On suppose que f conserve l’orthogonalité ; c’est à dire que f vérifie la propriété :

∀x,y∈E: x⊥y =⇒ f(x)⊥ f(y).

1. Montrer que la famille (f(e_i))_1≤i_≤nconstitue une base orthogonale deE. 2. Montrer que pour tousi,j∈{1, . . . ,n}, on a :

(f(e_i)+f(e_j))

⊥(

f(e_i)−f(e_j)) .

3. En déduire que les vecteurs f(ei) (1≤i ≤n) sont tous de même norme.Désignons park cette norme commune.

4. Montrer que pour toutx∈E, on a :

°°f(x)°° = k°°x°°. (On dit que f est une similitude de rapportk^‡).

Bon travail B. FARHI

‡. k

éJ. Ë@ ð X éK.A

(16)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015

Faculté des Sciences Exactes Examen de remplacement d’Algèbre 4 Département de Mathématiques Durée : 2 heures

30 juin 2015

Le erreur de calcul sont impardonnable

q_k(X) := x²+(k+1)y²+(k²+1)z²+2x y+2xz+2(1−k)y z (pour toutX =^t(x,y,z)∈R³).

1. Réduireq_kpar la méthode de Gauss.

2. Déterminer le rang et la signature deq_ken discutant suivant les valeurs dek.

3. (a) Quelles sont les valeurs dekpour lesquellesq_kest non dégénérée ? Justifier.

(b) Quelles sont les valeurs dekpour lesquellesp

q_kdevient une norme surR³? Justifier.

4. Déterminer une base deR³qui soitq_k-orthogonale.

q^′(X) = (x+y)²+(x+z)²+(y−z)² (∀X =^t(x,y,z)∈R³).

(a) Montrer qu’il existe une unique valeur dekpour laquelleq_kest équivalente àq^′.

(b) Pour cette valeur précise de k, déterminer trois formes linéaires L1,L2 et L3 en x,y,z (R-linéairement indépendantes) tel que l’on ait :

q_k(L₁,L₂,L₃) = q^′(x,y,z).

On munit leR-espace vectorielR[x]^∗de l’application〈, 〉:R[x]²→R, définie par :

〈P ,Q〉 :=

∫ ₁

0

P^′(x)Q^′(x)

p1−x² d x+P(1)Q(1) (∀P,Q∈R[x]).

1. Montrer que〈, 〉constitue un produit scalaire deR[x].

2. Posons pour toutn∈N:

I_n :=

∫ ₁

0

xⁿ p1−x²d x. (a) Montrer que pour tout entiern≥2, on a :

I_n = n−1 n I_n−2.

(b) En déduire l’expression deI_nen fonction den(distinguer les cas «npair » et «nimpair »).

∗. On a notéR[x] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

1/2

(17)

3. En utilisant le procédé de Gram-Schmidt, déterminer une base deR2[x] qui soit orthonormée pour le produit scalaire ci-dessus.

4. Calculer

a,b∈Rinf {∫ ₁

0

(2ax+b)²

p1−x² d x+(a+b−1)² }

.

SoientEun espace euclidien et f etg deux applications deEdansE, vérifiant :

〈f(x) , y〉 = 〈x, g(y)〉.

— Montrer quef etg sont linéaires.

†. On a notéR2[x] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degrés au plus 2.

(18)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 4

Département de Mathématiques Durée : 1h30mn 14/12/2015

q_k(X) := x²+k²y²+z²+kx y+kxz+2k²y z (∀X =^t(x,y,z)∈R³).

1. Réduireq_kpar la méthode de Gauss.

2. En déduire le rang et la signature deq_ken distinguant les valeurs du paramètre réelk.

3. (a) Déterminer les valeurs dekpour lesquellesq_k est non dégénérée.

(b) Déterminer les valeurs dekpour lesquellesq_k est le carré d’une norme deR³. 4. Déterminer une base deR³qui soitq_k-orthogonale.

q^′(X) := x²−3y z (∀X =^t(x,y,z)∈R³).

(a) Déterminer les valeurs dekpour lesquellesq_k est équivalente àq^′. (b) On prend dans cette questionk=2et on poseq=q₂.

Déterminer trois formes linéaires L1,L2et L3 enx,y,z (R-linéairement indépendantes) tel que l’on ait :

q(L₁,L₂,L₃) = q^′(x,y,z).

Pour tout ce qui suit, on note parR[x]leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et par Rd[x](d∈N) le sous-espace vectoriel deR[x], constitué des polynômes de degrés au plusd.

On munit leR-espace vectorielR2[x] de l’application〈, 〉:R2[x]²→R, définie par :

〈P ,Q〉 := P(1)Q(1)+P^′(1)Q^′(1)+P^′′(1)Q^′′(1) (∀P,Q∈R2[x]).

1. Montrer que〈, 〉constitue un produit scalaire deR2[x].

2. Si l’on remplaceR2[x] parR3[x], obtient-on un produit scalaire ? Justifier.

3. En utilisant l’algorithme de Gram-Schmidt, déterminer une base deR2[x] qui soit orthonormée pour le produit scalaire ci-dessus.

4. Proposer (sans démonstration) un prolongement du produit scalaire deR2[x] ci-dessus à l’espace vectoriel plus largeR[x].

(19)

Ann

´ee 2013

- 2014

(20)

Interrogation d’Alg`ebre 4 Groupe 1

Ann´ee 2013-2014

Pour ce qui suit, k d´ esigne un param` etre r´ eel et q d´ esigne la forme quadratique r´ eelle de R

³

d´ efinie par:

q(x) := x

²

+ky

²

+(2k

²

− k − 1)z

²

+2xy+2kxz+2yz ( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

1. R´ eduire q par la m´ ethode de Gauss.

2. D´ eterminer le rang et la signature de q en distinguant les valeurs du param` etre r´ eel k.

3. D´ eterminer une base de R

³

qui soit q-orthogonale.

4. D´ eterminer les valeurs du param` etre k pour lesquelles la forme quadratique q soit ´ equivalente ` a la forme quadratique q

^′

de R

³

, d´ efinie par:

q

^′

(x) := xy − z

²

( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

Bon travail

B. Farhi

(21)

Interrogation d’Alg`ebre 4 Groupe 2

Ann´ee 2013-2014

Pour ce qui suit, k d´ esigne un param` etre r´ eel et q d´ esigne la forme quadratique r´ eelle de R

³

d´ efinie par:

q(x) := x

²

+ (k

²

+ k)(y

²

+ z

²

) + 2k(xy + xz) ( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

1. R´ eduire q par la m´ ethode de Gauss.

2. D´ eterminer le rang et la signature de q en distinguant les valeurs du param` etre r´ eel k.

3. D´ eterminer une base de R

³

qui soit q-orthogonale.

4. D´ eterminer les valeurs du param` etre k pour lesquelles la forme quadratique q soit ´ equivalente ` a la forme quadratique q

^′

de R

³

, d´ efinie par:

q

^′

(x) := x

²

− 4yz ( ∀ x =



 x y z



 ∈ R

³

).

Bon travail

B. Farhi

(22)

Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2013-2014 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 4

Département de Mathématiques Durée : 2 heures 27/05/2014

Pour ce qui suit,kdésigne un paramètre réel. On considèreq_kla forme quadratique réelle deR³, définie par :

q_k(x) := x²+2y²+kz²+2x y+2y z (∀x=^t(x,y,z)∈R³).

1) Réduireq_kpar la méthode de Gauss.

2) En déduire le rang et la signature deq_ken distinguant les valeurs du paramètre réelk.

3) Quelles sont les valeurs du paramètre réelk pour lesquelles la fonctionp

q_k:R³→R⁺constitue une norme surR³? Justifier.

4) Déterminer une base deR³qui soitq_k-orthogonale.

5) Soitq^′la forme quadratique réelle deR³, définie par :

q^′(x) := 2x y+2xz−y z (∀x=^t(x,y,z)∈R³).

i) Réduireq^′par la méthode de Gauss.

ii) En déduire les valeurs dekpour lesquellesq_ketq^′sont équivalentes.

iii) On prend dans cette questionk=0. Déterminer trois formes linéairesL1,L2etL3enx,y,z (R-linéairement indépendantes) tel que l’on ait :

q₀(L₁,L₂,L₃) = q^′(x,y,z).

On munit leR-espace vectorielR[x] de l’application〈,〉:R[x]²→R, définie par :

〈P ,Q〉:=

∫ _+∞

0

P(x)Q(x)e⁻^xd x (∀P,Q∈R[x]).

1) Montrer que<, >constitue un produit scalaire deR[x].

2) Dans cette question, on admet la formule :

∫ _+∞

0

xⁿe^−xd x = n! (∀n∈N) .

— En utilisant l’algorithme de Gram-Schmidt, déterminer une base deR2[x] qui soit orthonormée pour le produit scalaire ci-dessus^∗.

Soient E un espace euclidien et e1, . . . ,en (n ∈N^∗) des vecteurs unitaires (càd de norme 1) de E. On suppose que l’on a pour toutx∈E:

∥x∥² = ∑ⁿ

i=1〈x,ei〉².

— Montrer que la famille (e₁, . . . ,e_n) constitue une base orthonormée deE.

Bonne chance B. FARHI

∗. On a notéR2[x] le sous-espace vectoriel deR[x], constitué des polynômes de degrés≤2.

(23)

Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 4

Pour ce qui suit,kdésigne un paramètre réel. On considèreq_kla forme quadratique réelle deR³, définie par :

q_k(x) := x²+y²+z²+2x y+2xz+k y z (∀x=^t(x,y,z)∈R³).

1) Réduireq_kpar la méthode de Gauss.

2) En déduire le rang et la signature deq_ken distinguant les valeurs du paramètre réelk.

3) Déterminer une base deR³qui soitq_k-orthogonale.

4) Soitq^′la forme quadratique réelle deR³, définie par :

q^′(x) := (x+y)²+(x+z)²−(y+z)²−(x+y+z)² (∀x=^t(x,y,z)∈R³).

i) Développer puis réduireq^′par la méthode de Gauss.

ii) En déduire les valeurs dekpour lesquellesq_ketq^′sont équivalentes.

Exercice 2 (6,5 points):

Pour tout ce qui suit, on note parR2[X] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels qui sont de degrés≤2. On considère l’application〈, 〉:R2[X]×R2[X]→R, définie par :

〈P ,Q〉 := P(1)Q(1)+2P(2)Q(2)+P(3)Q(3) (∀P,Q∈R2[x]).

1) Montrer que<, >constitue un produit scalaire deR2[x].

2) En utilisant l’algorithme de Gram-Schmidt, déterminer une base deR2[x] qui soit orthonormée pour ce produit scalaire.

Exercice 3 (6,5 points): SoitEun espace préhibertien.

1) Montrer que pour tousx,y,z∈E, on a :

∥x+y∥²+ ∥x+z∥² ≤ 2∥x∥²+ ∥y∥²+ ∥z∥²+2∥x∥ · ∥y+z∥ (⋆) 2) Décrire précisément (en justifiant bien sûr) les cas où l’inégalité (⋆) devient une égalité.

3) Qu’obtient-on exactement si l’on prend dans (⋆) :z= −y?

4) En déduire que leR-espace vectorielR²muni de la norme∥ · ∥1, définie par :

°°°°( a b

)°°°°

1

:= |a| + |b| (

∀ (a

b )

∈R²)

n’est pas euclidien (c’est-à-dire que cette norme∥ · ∥1n’est associée à aucun produit scalaire de R²).

Bonne chance

(24)

Ann

´ee 2012

- 2013

(25)

Université A. Mira de Béjaia Faculté des Sciences Exactes Département de Mathématiques

Le 14 mai 2013

Interrogation d’Algèbre 4 (Licence Maths) Durée: 1h

Exercice 1: Soit q : R

³

→ R , définie par:

q (x) : = x

₁²

+ 5x

₂²

+ 2x

₁

x

₂

− 2x

₁

x

₃

+ 2x

₂

x

₃

( ∀ x =



 x

₁

x

₂

x

₃



 ∈ R

³

).

1. Justifier rapidement pourquoi q est une forme quadratique sur R

³

.

2. Déterminer la forme polaire associée à q puis la matrice associée à q relativement à la base canonique de R

³

.

3. Réduire q par la méthode de Gauss.

4. En déduire le rang et la signature de q.

— Cette forme quadratique q est-elle positive? justifier.

5. Déterminer une base de R

³

qui soit orthogonale pour q . 6. Soit q

^′

: R

³

→ R la forme quadratique définie par:

q

^′

(x) : = x

₁

x

₂

− x

₃²

( ∀ x =



 x

₁

x

₂

x

₃



 ∈ R

³

).

— Les deux formes quadratiques q et q

^′

sont-elles équivalentes? Justifier.

Exercice 2: On note par E le R -espace vectoriel C

¹

^{([0, 1],} R ). Soit 〈 ., . 〉 : E

²

→ R l’application définie par:

〈 f , g 〉 : =

∫

1 0

f

^′

(x )g

^′

(x) d x + f (0)g (0) ( ∀ f , g ∈ E ).

1. Montrer que 〈 ., . 〉 constitue un produit scalaire sur E .

2. Déterminer l’orthonormalisée de Gram-Schmidt de la famille libre (P

₀

, P

₁

, P

₂

), avec P

₀

(x) = x − 1, P

₁

(x ) = x et P

₂

(x) = x

²

.

Bon travail

(26)

Université A. Mira de Béjaia

Faculté des Sciences Exactes Examen d’Algèbre 4

Département de Mathématiques Année universitaire 2012-2013 29/05/2013

On munit leR-espace vectorielR³de la forme quadratique réelle définie par :

q(x) := x₁²+x₂²+x²₃−2x₁x₂−2x₁x₃−2x₂x₃ (∀x=^t(x₁,x₂,x₃)∈R³).

1. Réduireqpar la méthode de Gauss.

2. En déduire le rang et la signature deq.

3. Déterminer une base deR³qui soit orthogonale pourq.

4. La forme quadratiqueqest-t-elle équivalente à la forme quadratiqueq^′définie par : q^′(x) := x₁²−x²₂−x₃² (∀x=^t(x₁,x₂,x₃)∈R³)?

(Justifier votre réponse).

Pour toutn∈N, on note parRn[X] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degrés

≤n.

Pour ce qui suit, on munit leR-espace vectorielR3[X] de l’application〈, 〉:R3[X]×R3[X]→Rdéfinie par :

〈P, Q〉 := P(−1)Q(−1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P^′(0)Q^′(0) (∀P,Q∈R3[X]).

1. Montrer que〈, 〉constitue un produit scalaire deR3[X].

2. Déterminer une base orthonormée du sous-espace vectorielR2[X] pour ce produit scalaire.

3. Calculer la projection orthogonale du polynômeX³surR2[X].

— En déduire la distance d(X³,R2[X]).

Pour ce qui suit, on note parE leR-espace vectorielC([−1, 1],R), muni du produit scalaire〈 , 〉défini par :

〈f , g〉 :=

∫ ₁

−1f(x)g(x)d x (∀f,g ∈E).

On note aussi parF le sous-espace vectoriel deE constitué des fonctions paires et parGle sous-espace vectoriel deEconstitué des fonctions impaires.

1. Montrer queF etGsont supplémentaires.

2. Montrer queF^⊥=G.

SoientEun espace préhilbertien et f une application deEdansE, vérifiant :

〈f(x) , f(y)〉 = 〈x, y〉 (∀x,y∈E).

1. Montrer que l’on a :

°°f(x)°° = ∥x∥ (∀x∈E).

2. Montrer que f est linéaire (doncf constitue un endomorphisme deE).

3. En supposant de plus queE est euclidien, montrer quef est un automorphisme deE.

— Quel est l’endomorphisme adjoint def dans ce cas ?

Bonne chance

(27)

Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage d’Algèbre 4

Exercice 1 (5, 5points):

On munit leR-espace vectorielR³de la forme quadratique réelle définie par :

q(x) := 4x²₁+x₃²−4x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃ (∀x=^t(x₁,x₂,x₃)∈R³).

1. Réduireqpar la méthode de Gauss.

2. En déduire le rang et la signature deq.

3. Déterminer une base deR³qui soit orthogonale pourq.

4. La forme quadratiqueqest-t-elle équivalente à la forme quadratiqueq^′définie par : q^′(x) := 4x₁x₂−x₃² (∀x=^t(x₁,x₂,x₃)∈R³)?

(Justifier votre réponse).

Exercice 2 (6, 5points):

Pour toutn∈N, on note parRn[X] leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degrés

≤n.

Pour ce qui suit, on munit leR-espace vectorielR2[X] de l’application〈, 〉:R2[X]×R2[X]→Rdéfinie par :

〈P,Q〉 := P(1)Q(1)+P^′(1)Q^′(1)+P^′′(1)Q^′′(1) (∀P,Q∈R2[X]).

1. Montrer que〈, 〉constitue un produit scalaire deR2[X].

2. Déterminer une base orthonormée deR2[X] pour ce produit scalaire.

3. Calculer la projection orthogonale du polynômeX²surR1[X].

— En déduire la distance d(X²,R1[X]).

Exercice 3 (4points):

SoitEun espace euclidien etF etGdeux sous-espaces vectoriels deE. Montrer les propriétés suivantes : i) (F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥.

ii) (F∩G)^⊥=F^⊥+G^⊥. iii) F^⊥⊥=F.

::::::::

Rappel:Dans un espace euclidien, un sous-espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires.

Exercice 4 (4points):

SoientEun espace euclidien et f etg deux applications deEdansE, satisfaisant :

〈f(x) , y〉 = 〈x, g(y)〉 (∀x,y∈E).

1. Montrer que f etg sont linéaires.

2. SoitBune base orthonormée deE. Soient AetB les matrices associées respectivement à f etg relativement à cette baseB^.

— Donner (en justifiant) la relation qui lie entreAetB.