Chapitre 1 fonction polynôme du second degré
1) Equation du second degré
a) DéfinitionOn appelle trinôme du second degré une expression de la forme :
T(x) = ax² + bx + c où a, b ,c sont des réels et a ≠ 0.
b) Théorème-Définition
Tout trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme :
T( x ) = a[ (x + b2a)² – b² –4ac4a² ] Cette écriture est appelée forme canonique du trinôme.
c) Définition
On appelle discriminant du trinôme T(x) = ax² + bx + c ou de l’équation ax² + bx + c = 0
le réel noté ∆∆∆∆ = b² – 4ac .
d) Théorème résolution
Soit ∆ le discriminant du trinôme T(x) = ax² + bx + c alors :
Si ∆∆∆∆ < 0 , alors l’équation ax² + bx + c = 0 n’a pas de solution.
Si ∆∆∆∆ = 0 , alors l’équation ax² + bx + c = 0 possède une unique solution x0 = – b2a. Si ∆∆∆∆> 0 , alors l’équation ax² + bx + c = 0 possède deux solutions distinctes :
x1 = – b – ∆
2a et x2 = – b + ∆ 2a
e) Théorème factorisation-signe du trinôme
Soit ∆ le discriminant du trinôme T(x) = ax² + bx + c alors :
Si ∆ < 0 , alors on ne peut pas factoriser T(x) et T(x) est du signe de a pour tout x ∈ IR Si ∆ = 0 , alors T(x) = a( x – x0 )² et T(x) est du signe de a pour tout x ∈ IR.
Si ∆ = 0 , alors T(x) = a( x – x1 )( x – x2 ) et T(x) est du signe de a ssi x ∈] – ∞ ; x1 [ ∪ ] x2 ; + ∞ [ ( en supposant x1 < x2 ) 2)
Parabole et fonctions ;
a) variations
Soit T un trinôme du second degré de la forme T(x) = ax² + bx + c où a, b ,c sont des réels et a ≠ 0 alors : o Si a > 0 la fonction T est décroissante sur ] – ∞ ; – b2a ] et croissante sur [ – b2a ; + ∞ [ o Si a< 0 la fonction T est croissante sur ] – ∞ ; – b2a ] et décroissante sur [ – b2a ; + ∞ [ .
b) Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction T trinôme du second degré dans un repère orthogonal est une parabole de sommet le point S de coordonnées ( – b2a ; – ∆∆∆∆
4a ), et d’axe de symétrie la droite d’équation x = – b2a
