L’INSTITUTFOURIER DE ANNALES

A L

E S

E D L ’IN IT ST T U

F O U R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Jean-Claude LOOTGIETER

Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique deR^p

Tome 57, n^o1 (2007), p. 45-126.

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Article mis en ligne dans le cadre du

LE THÉORÈME DE

RIESZ-RAIKOV-BOURGAIN POUR UN ENDOMORPHISME ALGÉBRIQUE DE R

par Jean-Claude LOOTGIETER

Résumé. — Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier θ >1et toutef deL¹(T), oùT=R/Z, les moyennes

1 N

N

X

1

f(θⁿx)convergent versR

Tf(t) dt

pour presque tout point xdeR. J. Bourgain (cf. Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébriqueθ >1et toutefdeL²(T). Dans cet article nous prouvons que, siϕest un endomorphisme de R^p algébrique sur Q, dont les valeurs propres sont toutes de module > 1, alors pour toute f deL²(T^p), les moyennes(1/N)PN

1 f(ϕⁿx) convergent vers

R

T^pf(t) dtpour presque tout pointxdeR^p. Nous suivons et adaptons les argu- ments développés par J. Bourgain dans l’article précité.

Abstract. — The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer θ >1and anyf ofL¹(T), whereT=R/Z, the averages

1 N

N

X

1

f(θⁿx)converge toR

Tf(t) dt

for almost every pointxofR. J. Bourgain (cf. Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic numberθ >1 and anyf ofL²(T). In this paper we prove that, for any endomorphismϕofR^p algebraic onQ, whose proper values all have modulus>1, for anyfofL²(T^p), the averages1/NPN

1 f(ϕⁿx)converge toR

T^pf(t) dtfor almost every pointxofR^p. We follow and adapt J. Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.

Mots-clés :Théorème de Riesz-Raikov, théorème ergodique maximal de Hopf, zéro-multi- plicité des suites récurrentes linéaires, presque-orthogonalité, séries de Fourier et inéga- lités maximales.

Classification math. :47A35, 11D61, 42B05.

1. Introduction et résultats 1.1. Préliminaires et résultats

Soit q entier, q > 1. Nous identifions les fonctions définies sur R^p à valeursC, de périodeq, i.e. pour lesquellesf(x) =f(y)six−y∈qZ^p, aux fonctions définies surT^pq (oùTq =R/qZ) à valeursC. Nous identifions alors l’espace vectoriel des fonctions definies surR^p à valeursC, de périodeqet localement de puissances,16s <∞, Lebesgue-intégrables, resp. bornées, à l’espace vectoriel L^s(T^pq), resp. L^∞(T^pq), des fonctions définies sur T^pq

à valeursCde puissancesLebesgue-intégrables, resp. bornées.

Pourf définie surR^pde périodeqet localement de puissancesintégrable, resp. bornée, nous écrirons :

• kfk_Ls(T^pq)au lieu dekfk_Ls(−¹₂q,¹₂q)^p,

• kfk_L^∞_(T^p_q)au lieu dekfk_L∞(−¹₂q,¹₂q)^p.

Soit θ >1 un réel algébrique sur Q. Dans [1], J. Bourgain prouve que, pour toute fonctionf deL²(T)et pour presque toutx,

(1.1) 1

N

N

X

n=1

f(θⁿx)−→

Z

T

f(t)dt.

Dans le cas particulier où θ est un entier>2, (1.1) a lieu pour toutef deL¹(T): c’est le théorème classique de Riesz-Raikov (voir [6], [5]).

Pour prouver (1.1), J. Bourgain montre d’abord l’inégalité maximale : pour toutef deL²(T),

(1.2)

sup

N

1 N

N

X

n=1

f(θⁿx) _L2(−1

2,¹₂)6Ckfk_L2(T)

oùC est une constante ne dépendant que deθ.

L’hypothèse θ > 1 assure facilement que (1.1) est vérifiée pour f poly- nôme trigonométrique à coefficients complexes. Toute f ∈ L²(T^p) étant approximée dansL²(T^p)par des polynômes trigonométriques, de (1.2) dé- coule que (1.1) a lieu pour presque tout x ∈ (−¹₂,¹₂) et, par suite, pour presque toutx∈R.

Nous nous proposons dans cet article, en suivant la démarche de J. Bour- gain, d’étendre (1.2) et (1.1) au cas oùf ∈L²(T^p), l’applicationx7→θx étant remplacée par un endomorphismeϕde R^p algébrique sur Qet dont toutes les valeurs propres, quelles soient réelles ou complexes, sont de mo- dule strictement supérieur à 1.

Nous partons donc d’un endomorphismeϕdeR^ppour lequel, d’une part, il existe un polynôme

(1.3) P=a_dX^d+· · ·+a₁X+a₀, P ∈Z[X], P 6= 0, tel que

(1.4) P(ϕ) = 0

et, d’autre part,

(1.5) λ∈Sp_C(ϕ) implique |λ|>1

oùSp_C(ϕ)désigne l’ensemble des valeurs propres réelles ou complexes deϕ.

De l’hypothèse (1.5) résulte que ϕest un automorphisme deR.

Il est clair que les conditions (1.3)–(1.4) impliquent que toutes les valeurs propres deϕsont algébriques surQ. Réciproquement, si toutes les valeurs propres deϕsont algébriques surQ, il n’est pas difficile de prouver, à l’aide du théorème de Caley-Hamilton, queϕest algébrique surQ.

Nous supposerons dorénavant que le polynôme P satisfaisant les condi- tions (1.3)–(1.4) est, au signe près, l’unique polynôme minimal deϕsurQ pour lequel les coefficientsa_d,a_d−1,. . . ,a₀ premiers entre eux.

Dans le cas où |ad|= 1, nous dirons queϕest un endomorphismeentier algébrique surQ.

Par définition le degré de ϕsur Q, que nous noteronsdeg_Q(ϕ), est égal au degré du polynôme minimal deϕsurQ, i.e.

(1.6) deg_Q(ϕ) =d.

Il est clair que les itéréesϕⁿ,n>1, deϕsont à leur tour algébriques surQ et que

(1.7) pour toutn>1, deg_Q(ϕⁿ)6d.

Dans toute la suiteC,c, resp.c⁰,c⁰⁰,c0,c1,c2,c3,C0,C1,C2,C3, désigne- ront des constantes strictement positives variées, resp. fixées, ne dépendant que deϕ.

L’espace R^p est muni de sa structure euclidienne usuelle : le produit scalaire de deux élémentsxety deR^pest notéhx, yiet la norme associée d’un élémentxdeR^p notée|x|2.

Nous désignerons par ϕ^∗l’adjoint deϕ.

Pour x= (x1, . . . , xp)∈R^p nous notons |x|_∞ = max(|x1|, . . . ,|, xp|)la norme “infinie” de x. La notation kϕk_∞, resp. kϕ^∗k_∞, désigne la norme associée de l’endomorphismeϕ, resp.ϕ^∗.

Remarque. — Pour éviter une redondance de parenthèses nous écrirons

• ϕⁿx, resp.ϕ^∗nx, au lieu deϕⁿ(x), resp.ϕ^∗n(x),

• ϕ^{n x}_q, resp.ϕ^{∗n x}_q, au lieu deϕ^{n x}_q

, resp.ϕ^{∗n x}_q .

Compte tenu des notations précédentes et de la linéarité des ϕⁿ, resp.

desϕ^∗n, on a ϕⁿ(x/q) =ϕⁿx/q, resp.ϕ^∗n(x/q) =ϕ^∗nx/q,

Dans le cas où à la place dexoux/qfigure une expression plus complexe nous garderons les parenthèses, par exempleϕⁿ(ϕ^mx), etc.

À partir de la réduction de Dunford-Schwarz on déduit facilement de l’hypothèse (1.5) que l’endomorphismeϕ, resp.ϕ^∗, est dilatant : il existe une constanteµ >1et une constante0< κ <1telle que, pour toutx∈R^p et toutn>1,

(1.8) |ϕⁿx|∞> κµⁿ|x|∞, (1.9) |ϕ^∗nx|_∞> κµⁿ|x|_∞.

Pour f ∈L²(T^pq)nous notons fb(k/q), k∈Z^p, les coefficients de Fourier def et suppfble support defb:

fbk q

= 1 q^p

Z

T^pq

e^2iπhk/q,xif(x)dx,

suppfb=nk

q;k∈Z^p et fbk q

6= 0o .

Posons, pourf ∈L²(T^p)et N entier>1,

(1.10) A_Nf(x) = 1

N

N

X

n=1

f(ϕⁿx).

Nous avons alors l’inégalité maximalesuivante

Théorème 1.1. — Sous les conditions(1.3)–(1.5), il existe une constanteC, ne dépendant que deϕ, telle que, pour toutef deL²(T^p),

(1.11)

sup

N

A_Nf

L²(−¹₂,¹₂)^p6CkfkL²(T^p).

La démonstration du théorème 1.1 sera l’objet des sections 2 à 7.

Remarque 1.2. — Considérons le cas particulier :

ϕ(x1, . . . , xp) = (a11x1+· · ·+a1pxp, . . . , ap1x1+· · ·+appxp), aij ∈Z. Commedet((a_ij))6= 0l’application(x₁, . . . , x_p)7−→^S ϕ(x₁, . . . , x_p)(mod1) deT^p dansT^p préserve la mesure de Lebesgue (il n’est pas nécessaire que

les valeurs propres de ϕ soient de module > 1). Suivant des arguments classiques de la théorie ergodique, il en résulte que

sup

N

|ANf| _Ls(

T^p)6 s

s−1kfkL^s(T^p) pour 1< s <∞.

On a également l’inégalité maximale faible. Dans le cas présent aucune des valeurs propres de l’endomorphisme ϕ n’est racine de l’unité. L’applica- tionS est donc ergodique. Il en résulte que, pour toute f ∈L¹(T^p),

ANf(x)−→

Z

T^p

f(t)dt

pour presque toutxdeR^p.

Aux hypothèses (1.3)–(1.5) nous ajouterons l’hypothèse supplémentaire : (1.12) pour toutn>1, deg_Q(ϕⁿ) = deg_Q(ϕ).

Montrons que l’hypothèse supplémentaire (1.12) ne nuit pas à la démons- tration générale du théorème 1.1.

Si (1.12) n’a pas lieu considérons l’une des itéréesϕ^sdeϕpour laquelle (1.13) deg_Q(ϕ^s) = min deg_Q(ϕⁿ), n>1

.

Il est alors clair quedeg_Q(ϕ^ns) = deg_Q(ϕ^s), pour toutn>1. L’endomor- phismeϕ^svérifie donc l’hypothèse (1.12),ϕétant remplacé parϕ^s.

Supposons que pour l’endomorphisme ϕ^s l’inégalité maximale (1.11) ait lieu, i.e.

(1.14)

sup

M

1 M

M

X

m=1

f(ϕ^msx) _L2

(−¹₂,¹₂)^p6CkfkL²(T^p)

pour toutef ∈L²(T^p).

Associons à l’entier N l’entier M pour lequel (M −1)s < N 6M s et considérons unentieratel que, pour16`6s,

ϕ^` (−¹₂,¹₂)^p

⊆ −¹₂a,¹₂a^p . De l’inégalité

N

X

n=1

f(ϕⁿx) 6

s

X

`=1 M−1

X

m=0

f(ϕ^ms+`x)

résulte que sup

N

A_Nf(x) _L2(−1

2,¹₂)^p 62 s

s

X

`=1

sup

M

1 M

M−1

X

m=0

|f(ϕ^ms+`x)|

_L2(−1

2,¹₂)^p

6c

s

X

`=1

sup

M

1 M

M−1

X

m=0

|f(ϕ^msx)|

_L2(ϕ`((−1 2,¹₂)^p))

6C sup

M

1 M

M−1

X

m=0

|f(ϕ^msx)|

_{L2(−a/2,a/2)p}

6c sup

M

1 M

M−1

X

m=0

|f(aϕ^msx)|

_L2(−1

2,¹₂)^p

.

Commef(a .)∈L²(T^p), de (1.14) résulte alors que

sup

N

|ANf| _L2(−1

2,¹₂)^p6Ckfk_L2(T^p)

i.e. (1.11). L’hypothèse supplémentaire (1.12) ne nuit donc pas à la dé- monstration générale du théorème 1.1.

Le théorème 1.1 implique le

Théorème 1.3. — Pour toutef deL²(T^p),

(1.15) ANf(x)−→

Z

T^p

f(t)dt pour presque toutxdeR^p.

Démonstration. — D’après (1.8), (1.16)

∞

[

n=1

ϕⁿ −¹₂,¹₂^p

=R^p.

Compte tenu de l’inégalité maximale (1.11) et de l’approximation de f dansL²(T^p)par des polynômes trigonométriques, il suffit de prouver (1.15) pourf(x) = e^2iπhk,xi,x∈(−¹₂,¹₂)^p,k∈Z^p, k6= 0.

Posons, pour k∈Z^p,k6= 0,

(1.17) ak= inf |ϕ^∗nk−ϕ^∗mk|_∞; n, m∈N, n6=m . De (1.9) découle que lesa_k sont strictement positifs.

Introduisons alors la densité de probabilité surR^p (1.18) Ωρ(x1, . . . , xp) =

p

Y

1

sin²πρx`

ρπ²x²_` (ρ >0)

dont la transformée de Fourier Ωbρ(x1, . . . , xp) =

Z

R^p

e^{2iπ(x1y1+···+xpyp)}

×Ω_ρ(y₁, . . . , y_p)dy₁· · ·dy_p est donnée par

(1.19) Ωbρ(x1, . . . , xp) =

p

Y

1

1−|x`|

ρ ⁺

.

Nous avons alors, en choisissantρ <min(1, ak),

N

X

n=1

e^2iπhk,ϕnxi

2

L²(−¹₂,¹₂)^p 6C

N

X

n=1

e^2iπhk,ϕnxi

2 L²(Ω_ρ)

=C

N

X

n=1

e^{2iπhϕ∗nk,xi}

2 L²(Ωρ)

=C X

16m,n6N

Ωb_ρ(ϕ^∗nk−ϕ^∗mk) =CN.

De l’inégalité

(1.20)

N

X

n=1

e^2iπhk,ϕnxi

2

L²(−¹₂,¹₂)^p6CN résulte que

(1.21) X

N>1

A_N2e^2iπhk,xi

2

L²(−¹₂,¹₂)^p<∞, et, par suite, pour presque toutx∈(−¹₂,¹₂)^p,

(1.22) A_N2e^2iπhk,xi−→0

Associons maintenant à l’entierNl’entierM pour lequelM²6N <(M+ 1)². De l’inégalité

(1.23) |ANe^2iπhk,xi|6 M²

N |AM²e^2iπhk,xi|+2M+ 1 N résulte que

(1.24) ANe^2iπhk,xi−→0

pour presque toutx∈(−¹₂,¹₂)^p.

La démonstration du théorème 1.3 est donc achevée.

En dehors du cas particulier précité (cf. remarque 1.2), la démonstration de l’inégalité maximale (1.11) est complexe. Nous adaptons en dimensionp la démarche suivie dans [1]. Dans la sous-section qui suit nous donnerons la démonstration de l’inégalité maximale (1.11) dans le cas particulier où l’endomorphismeϕest diagonal : cette démonstration annonce les grandes lignes de la démonstration de l’inégalité maximale (1.11) dans le cas général, lignes que nous esquissons à présent.

Partons donc d’unef ∈L²(T^p). Soit

f = X

k∈Z^p

fb(k)e^2iπhk,xi

son développement en série de Fourier dans L²(T^p). Comme ϕ est un automorphisme de R^p on vérifie sans peine que, dans L²(−¹₂,¹₂)^p, pour toutn>1,

f(ϕⁿx) = X

k∈Z^p

fb(k)e^2iπhk,ϕnxi et donc

(1.25) f(ϕⁿx) = X

k∈Z^p

fb(k)e^{2iπhϕ∗nk,xi}.

Deux outils seront essentiellement utilisés : d’une part, l’introduction d’une classe de contractions positives auxquelles sera appliquée le théorème er- godique maximal de Hopf (cf. [2]), d’autre part, un critère de presque- orthogonalité. Ces deux outils mettent en jeu, pourk∈suppfb, la distance entre lesϕ^∗nket les réseauxq⁻¹Z^p, distance que nous noterons provisoire- mentd(ϕ^∗nk, q⁻¹Z^p).

(S1) Une classe de contractions linéaires positives. — Soitg ∈L²(T^p).

Supposons que, pour toutk∈suppbg, les distances

d(ϕ^∗k, q⁻¹Z^p), d(ϕ^∗2, q⁻¹Z^p), . . . , d(ϕ^∗Nk, q⁻¹Z^p)

soient petites pour unq pas trop grand, plus précisément (pour fixer les idées)

(1.26) max

16n6Nd(ϕ^∗nk, q⁻¹Z^p)<2^−cN avec q <2^−c

√N

(oùc est une constante>1 qui ne dépendra que de ϕ). Alors, on pourra définir une contraction linéaire positive deL¹(T^pq)etL^∞(T^pq)(cf. section 3) pour laquelle, dansL²((1/q^p)(−¹₂q,¹₂q)^p),

ANg≈ 1 N

N

X

1

T_qⁿg,

cette approximation étant d’autant meilleure queN est grand.

Soitf ∈L²(T^p). Posons σN =

k∈Z^p; max

16n6Nd(ϕ^∗nk, q⁻¹Z^p)<2^−cN puis

g_N = X

k∈σN

fb(k)e^2iπhk,xi.

Alors, on pourra ramener l’estimation, dans L²((1/q^p)(−¹₂q,¹₂q)^p), de sup_N|ANgN|à celle desup_N(1/N)

PN

1 T_qⁿgN

. En admettant que l’on ait prouvé (ce sera le thème de la section 5) l’inégalité maximale

sup

N

|gN| _L2(

T^p)6Ckfk_L2(T^p), le théorème ergodique maximal de Hopf conduit alors à

sup

N

1 N

N

X

1

T_qⁿgN

_L2(

T^pq)6 sup

N

1 N

N

X

1

T_qⁿ(sup

N

|gN|) _L2(

T^pq)

6CkfkL²(T^p).

(S₂)Un critère de presque-orthogonalité. — Soith∈L²(T^p). Pour unε >0 donné, nous convenons de dire que

h(ϕx), h(ϕ²x), . . . , h(ϕ^Nx) sontpresque-orthogonauxdansL²(−¹₂,¹₂)^p si

(1.27)

N

X

n=1

h(ϕⁿx) _L2(−1

2,¹₂)^p

< εNkhk_L2(T^p)

(cette notion ne présente d’intérêt que pourε=ε(N) =o(1)).

On disposera alors d’un critère de presque-orthogonalité que l’on peut formuler comme suit (pour fixer les idées) (˜εdésigne une puissance positive suffisamment grande deε) : à ε > 0 on peut associer un entier q(ε) pas trop grand (q(ε)<2^cε˜) tel que si, pour toute fréquencek∈suppbh,

(1.28) max

16n6c˜εNd(ϕ^∗nk, q⁻¹Z^p)>2^−cεN (cεN >˜ 1) alors (1.27) a lieu :

N

X

n=1

h(ϕⁿx) _L2(−1

2,¹₂)^p

< εNkhk_L2(T^p).

Partant d’une fonctionf deL²(T^p), endécoupantZ^psuivant la distance desϕ^∗k, ϕ^∗2k, . . . , ϕ^∗Nk, k ∈ Z^p, aux réseaux q⁻¹Z^p (q = q(ε) pour des

valeurs variées deεtendant vers0), nous décomposeronsf en une somme finie de termes dansL²(T^p):

(1.29) f =X

`

gN,`+X

`⁰

hN,`⁰,

décomposition qui sera dépendante deN : N sera choisi dyadique, voire quadriadique.

Pour `<sup>0</sup> fixé, les suppbhN,`⁰ seront disjoints et le traitement des contri- butions maximalessup_N|ANhN,`<sup>0</sup>| deshN,`⁰ s’inscrira dans le cadre (S2).

Le traitement des contributions maximales sup_N|ANgN,`| des gN,` s’ins- crira dans le cadre(S₁) tout en ayant partiellement recours au critère de presque-orthogonalité précité.

La démonstration du critère de presque-orthogonalité évoqué ci-dessus n’est pas aisée : elle s’appuie essentiellement sur le fait que l’endomor- phismeϕest algébrique surQ, dilatant et sur l’hypothèse (1.12) :

pour toutn>1, deg_Q(ϕⁿ) = deg_Q(ϕ).

Le fait que ϕ soit un automorphisme algébrique sur Q et l’hypothèse additionnelle (1.12) conduira à une étape intermédiaire importante : il existe un indice entier R tel que, pour toute suite d’exposants entiers n₁< n₂<· · ·< n_R,

dim_Q(ϕⁿ¹, . . . , ϕ^nR) = deg_Q(ϕ).

1.2. Cas d’un endomorphisme diagonal rationnel dilatant

Nous considérons donc le cas particulier :

(1.30) ϕ(x₁, . . . , x_p) = (λ₁x₁, . . . , λ_px_p) oùλ1, . . . , λp sont des rationnels tels que

|λ₁|>1, . . . ,|λ_p|>1.

Dans cette sous-section nous nous proposons de prouver queϕ satisfait l’inégalité maximale (1.11). Nous nous contenterons d’adapter la démons- tration de J. Bourgain [1] (cf. 3, The Riesz-Raikov theorem for rational dilatation) (cas oùp= 1) au casp= 2. Il est alors facile de l’adapter au caspquelconque.

Nous partons donc d’un endomorphisme diagonalϕdeR²: ϕ(x1, x2) = (λ1x1, λ2x2)

pour lequel

λ1= p1

q1

, λ2= p2

q2

, |λ1|>1, |λ2|>1,

oùp1 etq1, resp.p2et q2, sont des entiers relatifs premiers entre eux.

Pour f ∈L²(T²)il est clair que f(ϕⁿ(x1, x2)) =f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2)

= X

(k₁,k₂)∈Z²

fb(k1, k2)e^{2iπ(k1λn1x1+k2λn2x2)}.

Nous nous proposons donc de démontrer queϕsatisfait l’inégalité maxi- male

(1.31)

sup

N

|ANf|

_L2(−1

2,¹₂)²6CkfkL²(T²). Il suffit de prouver que

(1.32)

sup

N

|A₂Nf| _L2(−1

2,¹₂)²6ckfkL²(T²).

En effet on passe de (1.32) à (1.31) en supposant d’abordf >0.

La démonstration de l’inégalité maximale (1.32) s’appuie sur les trois parties A, B et C qui suivent. Bien entendu, nous supposons implicitement queλ1 ouλ2 n’est pas un entier relatif, sinon on se retrouve dans un cas particulier du cas exposé dans la remarque 1.2.

A. — Un lemme de presque-orthogonalité

Nous avons le lemme suivant, lequel est une extension en dimension 2 du lemme 4.10 de [1] (cf. 3,The Riesz-Raikov theorem for rational dilatation).

Notations. — Poura, b, k, `entiers relatifs,(a, b)|(k, `), resp.(a, b)-(k, `), signifie que a|k et b|` (i.e. a divise k et b divise `), resp. a - k ou b - ` (i.e.ane divise paskoubne divise pas`).

Lemme 1.4. — Soient f ∈ L²(T²) et fb(k1, k2),(k1, k2)∈ Z², les coef- ficients de Fourier de f. Pour0 < ε < 1 et εN >1, posons n₀ = bεNc.

Supposons que, pour tout(k₁, k₂)∈suppfb,(q₁ⁿ⁰, q₂ⁿ⁰)-(k₁, k₂). Alors, pour une constantecne dépendant que de(λ1, λ2),

(1.33)

N

X

1

f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2) _L2

(−¹₂,¹₂)²6cN ε¹⁴kfkL²(T²).

Démonstration. — On peut toujours supposerλ₁etλ₂positifs sans que cela affecte la démonstration du lemme 1.4.

Introduisons d’abord, pourρ >0, la densité de probabilité surR² (1.34) Ω_ρ(x₁, x₂) = sin²(ρπx1)

ρπ²x²₁ ·sin²(ρπx2) ρπ²x²₂ dont la transformée de Fourier est donnée par (1.35) Ωb_ρ(x₁, x₂) =

1−|x₁| ρ

⁺

1−|x₂| ρ

⁺ .

FixonsM entier tel que

(1.36) λ^−M₁ < 1

q₁, λ^−M₂ < 1 q₂· On vérifie sans peine que, pourn>1,

f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2) _L2(−1

2,¹₂)² 62kfk_L2(T²). Si ε¹²M >1, il est clair que

(1.37)

N

X

1

f(λⁿ₁x₁, λⁿ₂x₂) _L2(−1

2,¹₂)²62M¹²N ε¹⁴kfk_L2(T²).

Si ε¹²M < 1, considérons une partition de {1,2, . . . , N} en intervalles d’entiersI₁, I₂, . . . , I_L−1, I_L tels que

|I1|=· · ·=|IL−1|=bε¹²Nc, |IL|6bε¹²Nc.

(1.38) Commeχ₍₋1

2,¹₂)²(x1, x2)6π⁴Ω1

4(x1, x2), nous avons

N

X

1

f(λⁿ₁x₁, λⁿ₂x₂) _L2(−1

2,¹₂)²

(1.39)

6

Mbε¹²Nc

X

1

f(λⁿ₁x₁, λⁿ₂x₂) _L2(−1

2,¹₂)²

+

N

X

Mbε¹²Nc+1

f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2) _L2(−1

2,¹₂)²

62Mbε¹²Nckfk_L2(T²)+π²

L

X

j=M+1

X

I_j

f(λⁿ₁x₁, λⁿ₂x₂) _L2(Ω

1/4)

.

D’autre part,

X

Ij

f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2)

2 L²(Ω_1/4)

(1.40)

= X

(k1,k2),(k⁰₁,k⁰₂)∈supp^fb

n,n⁰∈Ij

bf(k₁, k₂) ·

bf(k₁⁰, k₂⁰)

×Ωb1/4(k₁⁰λⁿ₁⁰−k1λⁿ₁, k⁰₂λⁿ₂⁰−k2λⁿ₂)

6 2 X

(k1,k2),(k₁⁰,k⁰₂)∈supp ˆf n,n⁰∈Ij,n⁰>n

bf(k1, k2) ·

bf(k⁰₁, k⁰₂)

×Ωb1/4(k₁⁰λⁿ₁⁰−k1λⁿ₁, k⁰₂λⁿ₂⁰−k2λⁿ₂).

Il est clair que, pournetn⁰ ∈Ij, avecj>M + 1et n⁰>n, la condition (1.41) Ωb_1/4(k₁⁰λⁿ₁⁰−k₁λⁿ₁, k⁰₂λⁿ₂⁰−k₂λⁿ₂)6= 0

implique, compte tenu de (1.36),

|k⁰₁λⁿ₁⁰⁻ⁿ−k1|< 1

4λ^−M₁ ^|Ij|< 1 q^|I₁^j|

, |k₂⁰λⁿ₂⁰⁻ⁿ−k2|<1

4λ^−M|I₂ ^j|< 1 q₂^|Ij|

, puis|k₁⁰λⁿ₁⁰⁻ⁿ−k₁|= 0,|k⁰₂λⁿ₂⁰⁻ⁿ−k₂|= 0, d’où

(1.42) qⁿ₁⁰⁻ⁿ|k₁⁰, q₂ⁿ⁰⁻ⁿ|k₂⁰ et donc, d’après les hypothèses du lemme 1.4,

(1.43) n⁰−n <bεNc.

Pour chaque(k⁰₁, k₂⁰)∈ suppfb, il existe au plus un(k1, k2)tel que (1.41) ait lieu, et, pour chaque(k1, k2)∈suppfb, il existe au plus un(k₁⁰, k₂⁰)pour lequel (1.41) ait également lieu. De (1.40) résulte alors que, pourj > M, (1.44)

X

Ij

f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2)

2

L²(Ω_1/4)62|Ij| · bεNc · kfk²_L2(T²). Revenant à (1.39), compte tenu que L 6 N/bε¹²Nc+ 1 < 3ε⁻¹², on en déduit que

N

X

1

f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2) _L2

(−¹₂,¹₂)²

(1.45)

62Mbε¹²Nc kfk_L2(T²)+ 3√

2π²N ε¹⁴kfk_L2(T²)

6(2M+ 3√

2π²)N ε¹⁴kfk_L2(T²).

La démonstration du lemme 1.4 est donc achevée.

B. — Sur une contraction linéaire positive de L¹(T²) etL^∞(T²)

Posons, pour f ∈L¹(T²), T f(x1, x2)

(1.46)

= X

(n1,n2)∈Z²

f λ1(x1+n1), λ2(x2+n2)

Ω_1/4(x1+n1, x2+n2).

La définition deT est similaire à celle introduite dans [1] (cf. 1,Construc- tion contractions of certain positive contractions). Comme dans [1], on peut prouver aisément que T est une contraction positive de L¹(T²) et deL^∞(T²)(cf. lemme 3.1 de la section 3 de cet article). Le théorème ergo- dique maximal de Hopf (cf. [2]) conduit à l’inégalité maximale forte

(1.47)

sup

N

1 N

N

X

1

Tⁿf(x₁, x₂) _L2(−1

2,¹₂)² 62kfkL²(T²).

L’intérêt de l’introduction de la contraction T réside dans la remarque suivante.

Remarque 1.5. — Soitf ∈L²(T²). La condition : pour tout(k1, k2)∈suppf ,b q1|k1 etq2|k2,

implique quef(λ₁x₁, λ₂x₂)appartient àL²(T²). Par suite, en tenant compte que

X

(n₁,n₂)∈Z²

Ω_1/4(x1+n1, x2+n2) = X

(k₁,k₂)∈Z²

Ωb_1/4(−k1,−k2)e^{2iπ(k1x1+k2x2)} (d’après la formule sommatoire de Poisson)

=Ωb1/4(0,0) = 1, la définition (1.46) deT conduit à

T f(x₁, x₂) =f(λ₁x₁, λ₂x₂).

Par suite, la condition :

pour tout(k1, k2)∈suppfb, q₁ⁿ|k1 etqⁿ₂|k2, implique

T f(x₁, x₂) =f(λ₁x₁, λ₂x₂), T²f(x₁, x₂) =f(λ²₁x₁, λ²₂x₂),

...

Tⁿf(x1, x2) =f(λⁿ₁x1, λⁿ₂x2).

C. — Sommes de Riemann et inégalités de Jessen

Soient f dansL^s(T²), N et M entiers >1. Considérons les sommes de Riemann

(1.48) R_N,Mf(x₁, x₂) = 1 N M

N−1

X

n=0 M−1

X

m=0

f x₁+ n

N, x₂+ m M

.

Un théorème de Jessen (cf. [3]), adapté en dimension 2, assure que, pourqa

etq_b entiers>1,

(1.49)

sup

j

|R_qj a,q_b^jf|

_Ls(

T²)6c(s)kfkL^s(T²) (1< s <∞)

avecc(s)6s/(s−1). Donnons une démonstration de (1.49) dans le cass= 2 analogue à celle de [1] (cf. 2, Riemann’s sums and Jessen’s inequality) en dimension 1.

Observons d’abord, d’une part, que les R_qj

a,q_b^j, j >0, sont des contrac- tions linéaires positives auto-adjointes deL²(T²)et que, d’autre part,

R_qj a,q_b^j ◦R

q_a^j0,q_b^j0 =R

q^j_a⁰,q^j_b⁰ si j6j⁰.

Par dualité, montrer l’inégalité maximale (1.49) dans le cass= 2revient à montrer que

X

j

R_qj

a,q_b^j(gj)

L²(T²)6c(2)

X

j

gj

L²(T²)

pour toute suite finieg1,. . . ,gJ de fonctions positives deL²(T²).

Fixons J. SoitC(J)la meilleure constante telle que

X

j

R_qj a,q^j_b(gj)

_L2(

T²)6C(J)

X

j

gj

_L2(

T²)

pour toute suite finieg₁,. . . ,g_J de fonctions positives deL²(T²). Alors

X

j

R_qj a,q_b^j(gj)

2

L²(T^p)62X

j6j⁰

R_qj

a,q_b^j(gj), R_qj0

a,q_b^j0(gj⁰)

= 2X

j6j⁰

g_j, R

q^j_a⁰,q^j_b⁰(g_j⁰)

62D X

j

g_j,X

j

R_qj

a,q^j_b(g_j)E

62C(J)

X

j

g_j

2 L²(T²)

.

D’où(C(J))²62C(J)et doncC(J)6√

2. On conclut quec(2)6√ 2.

Passons maintenant à la démonstration de l’inégalité maximale (1.32).

Nous allons procéder à une décomposition de f en une somme finie de

termes dansL²(T²)suivant que λ²₁ⁿk₁, λ²₂ⁿk₂

,16n6N, figure dansZ² ou non, i.e. suivant que q₁²ⁿ, q₂²ⁿ

divise(k₁, k₂)ou non.

Introduisons les sous-ensembles deZ² σ0=

(k1, k2)∈Z²; (q1, q2)-(k1, k2) et, pourn>1,

(1.50) σ_n =

(k₁, k₂)∈Z²; (q₁²⁽ⁿ⁻¹⁾, q₂²⁽ⁿ⁻¹⁾)|

(k₁, k₂),(q²₁ⁿ, q²₂ⁿ)-(k₁, k₂) . Posons, pour f ∈L²(T²),

(1.51) fn(x1, x2) = X

(k1,k2)∈σn

fb(k1, k2)e^{2iπ(k1x1+k2x2)}.

Pour toutN >0, il est clair que

(1.52) f =f₀+f₁+· · ·+f_N+ X

n>N+1

f_n.

Notons que X

n>N+1

fn = X

(k₁,k₂)∈Z² q₁^2N|k₁, q₂^2N|k₂

fb(k1, k2)e^{2iπ(k1x1+k2x2)}=R_q2N 1 , q₂^2N.

Considérons les moyennes

(1.53) A₂Nf(x₁, x₂) = 1 2^N

2^N

X

1

f(λⁿ₁x₁, λⁿ₂x₂).

De (1.52) découle que (1.54) sup

N>0

A₂Nf

6X

n>0

sup

N>n

A₂NfN−n

+ sup

N>0

A₂N

X

n>N+1

fn

.

Comme

X

n>N+1

fn(x1, x2) = X

(k₁,k₂)∈Z² q²₁^N|k1, q²₂^N|k₂

fb(k1, k2)e^{2iπ(k1x1+k2x2)},