Exercices Systèmes linéaires - Asservissement #Exo

Exercices Systèmes linéaires - Asservissement #Exo

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Les fondamentaux pour les systèmes

asservis

@poujouly

Eléments de correction

Exercice n°1 : Structure & performance d'un système asservi

Q1 : 1 : Consigne 2 : Comparateur / Soustracteur 3 : Signal d'erreur 4 : Correcteur 5 : Processus physique ou Système à asservir 6 : Perturbations 7 : Capteur

Q2 : Rapidité, Précision, Stabilité : Illustration voir Diapo Cours Q3 : Asservissement de température, de position, de vitesse, etc...

Exercice n°2 : Tracé de diagramme de Bode d'une fonction de transfert en BO [6pts]

Q1 : La fonction de transfert en boucle fermée correspond à la fonction de transfert qui relie la sortie S à l'entrée E.

) p ( B ).

p ( A 1

) p ( A )

p ( E

) p ( ) S p (

FTBF = = +

Q2 : On peut écrire que

(

)

) p ( B ) p ( A ) p (

FTBO ₂

1 ⋅τ⋅

⋅ τ

= +

⋅

= que l'on peut mettre sous la forme

p i 1 p

) 1 p (

FTBO 2

1

⋅ω







 +ω

= ^avec 100rad/s

i i 1 =

= τ

ω ^et 1 10rad/s

1

1 =

= τ ω

Q3 : L'argument de TBO passe par -π pour 1 10rad/s

1

1 =

= τ

ω ^.

Pour ω=ω₁ le gain de A(p) est de -6dB (2 fois -3dB puisqu'il s'agit de la pulsation de coupure) mais le gain de B(p) est de +20dB donc on en déduit le gain de T = +14dB

-60dB/dec

-40dB/dec

-20dB/dec

-π

ω 6dB

-π/2

-3π/2

ω1=10rad/s ωi=100rad/s

0dB 20dB

ω

Exercice n°3 : Tracé du diagramme de Bode d'un correcteur [10pts]

Q2 : comme

Ra 1 Rb K= +

alors ^Rb=^Ra⋅

(

)

. 2

Rb C 1

= ω ^{soit C}≈1µF

Q3 :

ω ω1=100rad/s ω2=25rad/s ω₁⋅ω₂ =50rad/s

20.log|T| 2,74dB 9,3dB 6dB

Arg(T) -31° -31° -37°









+ ω

⋅ + ω

⋅

=

1 2

1 p 1 p

K 1 ) p ( T

Q4 :

-20dB/dec

+20dB/dec

-90°

ω

0

ω2 ω1

20log(K)=

12dB

0dB 12dB

2 1

ω

ω

Exercice n°4 : Identification & modélisation d'un capteur de température Q1 : On se place à 63% et l'on reporte sur la caractéristique ce qui donne τ≈5s.

Q2 : Il s'agit d'une mesure lorsqu'il n'y a aucune circulation d'air ambiant autour du capteur. Lorsque de l'air chaud par exemple est en mouvement le capteur répond beaucoup plus vite. Collé contre un bloc d'aluminium le capteur répond encore plus vite car l'aluminium est un excellent conducteur thermique (Voir PCS S2).

Q3 : K=28mV/°C car il s'agit de la grandeur donnée dans l'équation de fonctionnement du capteur. Si l'on se place en régime permanent on obtient une tension Vout=0,25V + (28mV/°C)×20°C=0,81V pour une température de 20°C

Q4 : On retrouve la réponse classique d'un système passe bas du 1er ordre :

Exercice n°5 : Identification pour un système linéaire du 2nd ordre Q1 : Il s'agit d'une réponse indicielle.

Q2 : En régime permanent l'amplification du système linéaire est de 2V/0,5V soit 4.

Il s'agit d'un filtre passe bas car en régime permanent la tension continue d'entrée se retrouve en sortie.

Q3 : Comme 100% correspond à 2V alors le dépassement de 3,05324V-2V correspond à D%=52,662%

tpic=103,44ms-50ms=53,4ms

Q4 : Comme













− π

= −

m2

1 exp m . 100

%

D alors

m2

1 m

% D ln 100

−

= π



 



 soit

2 2

m 1

² m

²

% D ln 100

−

= π



 





donc



 

 +  π



 





=

% D ln 100

²

% D ln 100 m

2 2

soit m=0,2 dans ces conditions 60rad/s m

1 tpic o

2 =

−

⋅

= π ω

Exercice n°6 : Montage amplificateur à AOP vue comme un système bouclé

Q1 : En appliquant le théorème de Millman :

2 R

1 1 R

1 2 R

S 1 R

E +

= + ε

− ^donc

2 R 1 R

1 S R 2 R 1 R

2 E R

⋅ + + −

−

=

ε

Q2 : En regardant le schéma bloc on peut écrire : ε=E.C(p)-B(p).S(p)

Donc par identification :

2 R 1 R

2 ) R

p (

C =− + ^et

2 R 1 R

1 ) R p (

B = +

0 1 2 3 4 5 6 7

0,81V

Vout

t/τ

2,07V

A(p)

ε S

E

B(p) C(p)

Q3 : En reprenant les équations du précédent schéma bloc il vient : S

).

p ( B ) p ( A E ).

p ( C ).

p ( A

S= − que l'on peut réécrire :







 − ⋅

= S

) p ( C

) p ( E B ).

p ( C ).

p ( A

S ce qui ressemble à la forme du 2nd schéma bloc ^S=^G(p).

(

)

avec G(p)=A(p).C(p) et

) p ( C

) p ( ) B p (

H =

Q4 : Le calcul de la FTBF donne :

) p ( B ).

p ( A 1

) p ( C ).

p ( A ) p ( H ).

p ( G 1

) p ( ) G

p (

FTBF = +

= +

soit

1 R 2 R

1 R o 1 p 1 Ao

1 R 2 R

2 R o 1 p

Ao )

p ( FTBF

⋅ + + ω +

⋅ + + ω

−

=

( )

o 1 p 1 R 2 R

2 R . ) Ao

p ( FTBF

+



 



 +ω

⋅ +

= −

que l'on peut écrire :

1 R . Ao 1 R 2 R

1 R 2 R o 1 p

1 1

R . Ao 1 R 2 R

2 R . ) Ao

p ( FTBF

+ +

⋅ + +ω + ⋅

+

= −

de la forme indiquée avec

1 R . Ao 1 R 2 R

2 R . K Ao

+ +

= − et

1 R 2 R

1 R . Ao 1 R 2 o R

c +

+

⋅ + ω

= ω Q5 : Si Ao>>1 alors Ao.R1 >> R2+R1 donc

1 R

2

K=−R qui est l'amplification classique d'un montage ampli inverseur.

Q6 : Si l'on considère que R2=R1 et Ao>>1 alors

2 o Ao c=ω ⋅

ω donc on obtient une bande passante de 2MHz pour un ampli-op dont le produit gain bande est de 4MHz même si l'amplification n'est que de -1.

Exercice n°7 : Modélisation d'un amortisseur pour voiture Q1: dt

) t (

dx représente la vitesse et

² dt

) t ( x

²

d l'accélération.

Q2 : x(t) > TL > X(p) dt

) t (

dx > TL > p.X(p)

² dt

) t ( x

²

d > TL > p².X(p)

Q3 : En appliquant la transformée de Laplace Fe(p)=Mp².X(p)+f.p.X(p)+kX(p) donc

p2

k p M k 1 f

1 k

1 k p . f

² Mp

1 )

p ( Fe

) p ( X

⋅ +

⋅

⋅ + + =

= + de la forme

2 2

o p o m p 2 1

1 k

1 ) p ( Fe

) p ( X

+ω

⋅ω +

⋅

= ^avec

k f o m 2 =

ω ^et k

M o 1

2 =

ω ^donc M

o= k

ω et o

k 2

m= f ⋅ω ^soit

M . k 2 m= f

Q4 : Pour obtenir une réponse indicielle sans pseudo oscillation il faut que m>1 soit 1 M . k 2

f > ^donc k M . 4

f²

>

ce qui donne

6 . 10

kg / s ² > k

Exercice n°8 : Transformée de Laplace & réponse indicielle Q1 : On reconnait une structure de type pont diviseur donc

(

)

1

RCp 1 Cp Ra 1 R

Cp R 1 ) p ( E

) p ( ) S p (

T + +

= + + +

+

=

= de la forme indiquée avec τ=RC etτ^a=

(

)

Q2 :

p Eo p . a 1

p . ) 1 p ( p E . a 1

p . ) 1 p (

S ⋅

τ +

τ

= + τ ⋅

+ τ

= +

( ^{1 A ap a . p} ) ^{p Bp}

A p . a 1

B p ) A p (

S + τ

+ τ

= + τ + +

=

Par identification

A = Eo

A τ a + B = Eo τ

^B = ^Eo ( τ − τ ^a )

donc

( ) ( )

a p 1

1 a

a Eo p Eo p . a 1

a Eo p ) Eo p ( S

τ + τ ⋅

τ

− + τ τ =

+ τ

− + τ

=

Q3 : en utilisant la table des Transformées de Laplace inverse il vient

( )

) t ( U a e

a ) Eo

t ( U . Eo ) t (

S ^a

t

−τ

τ ⋅ τ

− + τ

=

pour t=0

( )

Ra R . R a Eo a Eo

a Eo Eo

) 0 t (

S = +

τ

⋅ τ τ =

τ

− + τ

=

=

Ra R . R Eo +

Eo

τa

t S(t)