Rapport de Stage d'Initiation à la Recherche

Rapport de Stage d'Initiation à la Recherche

Ahmed-amine Homman

Ecole Normale Supérieure de Lyon, France

Stage eectué sous la tutelle d'Augustin Mouze, chercheur au laboratoire Paul Painlevé (Lille)

25 juin 2009

1 Introduction : Un premier pas vers l'universalité

Pour commencer, on montre au lecteur qu'il connait déjà (peut-être sans le savoir) des objets mathématiques qui approximent toute une classe d'autres objets. En eet, dansR, il se produit des phénomènes de passage à la limite assez surprenants, où des séries peuvent approcher n'importe quel réel, modulo un réarrangement des termes. C'est le théorème de réarrangement des séries de Riemann. Sa démonstration est élémentaire. Ce phénomène est un premier pas vers des phénomènes bien plus généraux qu'on appellera universalité dans les sections suivantes.

Théorème 1.1 (Réarrangement de Riemann) Soit(u_n)une suite réelle telle que la série

+∞

X

k=0

u_ksoit convergente mais pas absolument convergente,i.e :

n→+∞lim

n

X

k=1

|u_k|= +∞

Alors∀l∈R , il existe une bijection µ:N→N telle que :

n→+∞lim

n

X

k=0

u_µ(k)=l

Proof. Soitl∈R. On pose an = max(0,un) et bn = min(0,un). On a :

u_n=a_n+b_n (1)

|u_n|=a_n−b_n (2)

Puisque la série

+∞

X

k=0

u_kest convergente, on a par (1) que, soit

n

X

k=0

a_ket

n

X

k=0

b_k convergent, soit elles divergent toutes les deux. Dans le premier cas, on aurait

+∞

X

k=0

|u_k|=

+∞

X

k=0

ak−

+∞

X

k=0

bk qui serait convergente, ce qui contredit (2). On a donc :

n→+∞lim

n

X

k=0

a_k = +∞ et lim

n→+∞

n

X

k=0

b_k=−∞ (3)

On construit alors µ de la façon suivante : on commence par sommer les termes positifs ou nuls jusqu'à dépasserl(possible par (3)). Puis on somme les termes négatifs ou nuls jusqu'à ce que la somme partielle soit inférieure ou égale à l (encore possible par (3)). Puis on itère le procédé. On a bien construit une permutation deN.

Soit ε > 0. Comme P

u_k est convergente, on peut trouver N₀ ∈ N tel que : ∀n ≥ N0 |u_n| ≤ ε. On peut donc trouver N1 ∈ N tel que :

∀n≥N1 u_µ(n)≤ε. Par exemple :N1=1+max( µ⁻¹(1),. . .,µ⁻¹(N0)).

On prend ensuite N₂ le plus petit entier strictement supérieur àN₁ tel que u_µ(N2+1) etu_µ(N2+2) soient de signe opposés.

On a donc :

|l−

N2

X

k=0

u_µ(k)| ≤ |u_µ(N2+1)| ≤ε

On suppose alors que|l−

n

X

k=0

u_µ(k)| ≤ε pour unn∈N avecn≥N₂. Premier cas : 0 ≤ l −

n

X

k=0

u_µ(k) ≤ ε. On a donc 0 ≤ u_µ(n+1) ≤ ε (car n≥N2≥N1), ce qui implique−ε≤l−

n+1

X

k=0

u_µ(k)≤ε. Deuxième cas :−ε≤l−

n

X

0

u_µ(k)≤0. La preuve est analogue.

Par induction, on a donc montré que, pourε >0xé, on a :

∀n≥N₂,|l−

n

X

k=0

u_µ(k)| ≤ε

Ce qui est exactement le résultat voulu pour l∈R.

Le casl= +∞se traite de la manière suivante (le casl=−∞se fera de manière analogue) : on somme les an jusqu'à dépasser 1, puis on ajouteb1. On recommence à sommer lesa_nsuivants jusqu'à dépasser 2, puis on somme b₂. En itérant le procédé, on a construit une bijection µ de N dans N telle que

+∞

X

k=0

u_µ(k) diverge vers+∞. le th'eorème est prouvé.

Dans la suite, on étudie d'autres phénomènes de passage à la limite tout aussi surprenants, via des séries que l'on appelle Séries Universelles. C'est le thème principal de ce rapport.

2 Les Séries Universelles dans H ( D )

Dans cette section, on dénit la notion de série universelle dansH(D), où D={z ∈C;|z|<1}, et on étudie quelques propriétés de ces objets. Avant cela, on rappelle deux résultats utiles pour la suite.

2.1 Deux Théorèmes bien utiles

Théorème 2.1 (Théorème de Baire) Tout espace métrique complet est une espace de Baire, i.e un espace où tout intersection dénombrable d'ouverts dense est dense.

De manière équivalente, par passage au complémentaire, toute union dé- nombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.

Proof. On noteE l'espace ambiant, qui est un espace métrique complet.

Soit (Fn)n∈N une suite de fermés d'intérieur vide. On considère F = [

n∈N

Fn. On suppose aussi F^◦6= ∅. Alors soit x1 ∈F^◦ et r1 ≤ ¹₂ tels que B(x₁, r₁) ⊂F. Puisque l'on a^◦ F^◦₁= ∅, on a aussi F₁^c = E. Soit donc x₂ ∈ F₁^cT

B(x₁, r₁).

On a toujours x₂ ∈F^◦. L'ensemble F₁^cT

B(x₁, r₁) est ouvert, on prend doncr2 ≤ ¹₄ tel que B(x2, r2)⊂F₁^cT

B(x1, r1). De même, on a F₂^c=E.

On choisit donc x3 ∈ B(x2, r2)T

F₂^c. En itérant le processus, on construit une suite(x_n) telle que :

∀n∈N:xn∈F^◦ et d(xn, xn+1)≤ 1 2ⁿ

La suite(x_n)est donc une suite de Cauchy dansEqui est un espace métrique complet. La suite(x_n)converge donc versx∈E. Or comme F est fermé, et que∀n∈N, xn∈F, on a x∈F.

Or : ∀n ∈ N^∗, d(x, x_n) ≤ r_n donc x ∈ B(x_n, r_n) ⊂ F_n−1^c . Ainsi x /∈ F. On obtient une contradiction.

Théorème 2.2 (Théorème de Runge) Soit K un compact de C à com- plémentaire connexe. Soit h une fonction holomorphe sur un voisinage de K.

Alors pour tout ε >0, on peut trouver un polynômeP tel que : sup

z∈K

|h(z)−P(z)|< ε

On peut se reporter à [4] page 268 pour une démonstration de ce résultat.

2.2 Qu'est-ce qu'une série Universelle ?

On considère H(D) l'espace des fonctions holomorphes sur D le disque unité ouvert. On munitH(D)de la topologie de Fréchet, dénie de la manière suivante :

Soit(Ln)une exhaustion deD(i.e une suite de compacts tels queS

Ln =D et∀n∈N, Ln⊂Ln+1^◦ ). Par exemple, on choisitLn=D(0,1−_n+1¹ ), le disque fermé de centre0 et de rayon _n+1¹ .

Dénition 2.1 Pour tout f ∈H(D),on pose ||f||_n= sup_z∈Ln|f(z)|. Clai- rement,||.||_n est une norme sur Ln, pour tout n∈N.

Dénition 2.2 Soientf, g∈H(D). On pose d(f, g) =X

n∈N

||f−g||_n 1 +||f −g||_n

1 2ⁿ

Clairement,d est une distance sur H(D).

On va maintenant montrer que l'espace métrique(H(D), d) est complet.

Proposition 2.3 (H(D), d) est un espace métrique complet

Proof. Soit (fn) une suite de Cauchy dansH(D). Comme∀N ∈N,||f− g||_N ≤d(f, g), la suite(f_n|LN)n∈N est de Cauchy∀N ∈N.

Et puisque L_N est compact, H(L_N) muni de la norme de convergence uni- forme est complet. On a donc :fn|L_N −→fˆN selon ||.||_N lorsque n→+∞.

On pose∀z∈D, f(z) = ˆf_N(z)siz∈L_N. Montrons que f est bien dénie : Pour cela, il sut de montrer que pour tout N ∈N,fˆN etfˆN+1 coïncident surL_N. Or :

sup

z∈L_N

|fˆ_N(z)−fˆ_N+1(z)| ≤ sup

z∈L_N

|fˆ_N(z)−f_n(z)|

| {z }

n→+∞−→0

+ sup

z∈L_N

|f_n(z)−fˆ_N+1(z)|

| {z }

n→+∞−→0

Ainsifˆ_N etfˆ_N+1 coïncident sur L_N. De plus : (f_n) converge simplement vers f surD.

(f_n)converge uniformément vers f sur tout compact deD(car(L_n)est une exhaustion deD).

On a doncf ∈H(D).

Soit ε >0, Soit N assez grand tel que :

+∞

X

k=N+1

1 2^k < ε

2 On a :

d(f, fn) ≤

N

X

k=0

||f −g||_k 1 +||f−g||_k

1 2^k +

+∞

X

k=N+1

||f−g||_k 1 +||f−g||_k

1 2^k

≤ 2||f −f_n||_N+

+∞

X

k=N+1

1 2^k

< 2||f −f_n||_N+ ε 2

Comme (f_n) converge uniformément vers f sur L_N, alors on peut trouver n∈N assez grand tel que||f−fn||_N < ^ε₄.

On a donc pour cen :d(f, fn) < ε. Ainsi (fn)n∈N converge vers f ∈H(D), ce qui achève la preuve.

On peut maintenant entrer dans le vif du sujet et dénir ce qu'est une Série Universelle. On se place dans un cadre légèrement plus restreint que le général. Le cas général à été traité dans [2].

On rappelle que toute fonction f ∈ H(D) est développable en série de Taylor, série dont le rayon de convergence est supérieur ou égal à 1.

Dénition 2.3 (Série Universelle) Une série Universelle est une fonc- tion f ∈ H(D), dont la série de Taylor X

n∈N

a_nzⁿ satisfait la propriété sui- vante :

pour tout compactK⊂D^cà complémentaire connexe, et pour toute fonction h∈H(C), il existe une suite croissante (λn) de Ntelle que :

sup

z∈K

|

λn

X

k=0

a_kz^k−h(z)| −→0, lorsquen→+∞.

Notation 2.1 On note U l'ensemble des séries universelles.

Notation 2.2 Soit µ = (µn)n∈N une suite croissante d'entiers telle que µn−→+∞, pour n−→+∞.

On note U^µ l'ensemble des f ∈H(D) qui vérient les mêmes conditions que les Séries Universelles, à l'exception près que l'on impose que (λ_n) soit une sous-suite deµ.

On dit queU^µ est l'espace des fonctions µ-universelles

Dans la suite, on noteΩl'ensemble des compactsK⊂D^cà complémentaire connexe.

3 Un espace dense dans H ( D )

Les Séries Universelles sont des séries dont les sommes partielles approxi- ment uniformément n'importe quelle fonction entière sur beaucoup de com- pacts, ce sont donc des séries trés puissantes ! On pourrait logiquement penser que leur ensemble est assez, voire très restreint.

Il n'en n'est rien ! On démontre dans cette section que l'ensemble des Séries Universelles, non seulement n'est pas vide ni "petit", mais est dense dansH(D), pour la topologie dénie en 2.2. De plus, on va montrer que U est aussi algébriquement dense.

Dans la suite, pourP un polynôme, on note deg(P) son degré.

3.1 Un espace topologiquement dense

Le théorème principal de cette section est le suivant :

Théorème 3.1 L'ensemble des séries universelles U est non vide et G_δ- dense, i.e l'ensemble des Séries Universelles U est une intersection dénom- brable d'ouverts dense dansH(D) qui est donc lui-même dense dans H(D).

Ce théorème a été trouvé par V. Nestoridis dans [2]. On détaille ici sa preuve. Pour cela, on aura besoin de quelques lemmes.

Lemme 3.1 Il existe une suite de compacts (Km)m∈N∈Ω^N, telle que : pour tout K∈Ω, il existe unm∈N tel que K ⊂K_m.

Proof. Soit K ∈Ω. Si K est ni, on trouve facilement un K⁰ inni tel queK⊂K⁰, avecK⁰ ayant les même propriétés queK. On suppose doncK inni.

Soitn∈Ntel que K⊂ {z∈C; 1≤ |z| ≤n}. On a donc0,(n+ 1)∈K^c. Or K^cétant connexe, on peut joindre 0etn+ 1dansK^c par une ligne polygo- nale Γ. On peut même supposer que les sommets de Γ sont à coordonnées dansQ+iQ. L'ensemble de tels polygônesΓ, notéΘ, est donc dénombrable.

On a de plus d(Γ, K)>0.

On pose alors : L(n,Γ, s) = {z ∈ C; 1 ≤ |z| ≤ n, d(z,Γ) ≥ ¹_s} pour (n, s)∈ N² et Γ∈Θ. Clairement, l'ensemble des L(n,Γ, s) est un ensemble de compacts qui est aussi dénombrable.

Puisque l'on a d(Γ, K) > 0, on peut trouver s∈ N tel que K ⊂L(n,Γ, s). On a donc prouvé le résultat.

On xe donc (K_m) une telle suite de compacts. L'ensemble des polynômes à coecient dansQ+iQest dénombrable. On énumère donc ces polynômes par (fj)j∈N. On note Sn(f) la n^ie somme partielle de la série de Taylor de f ∈H(D), i.e S_n(f)(z) =

n

X

j=0

f^(j)(0) j! z^j. On considère les ensembles

E(m, j, s, n) =

g∈H(D); sup

z∈Km

|S_n(g)(z)−fj(z)|< 1 s

.

Lemme 3.2 On a : U =

+∞

\

m=1 +∞

\

j=1 +∞

\

s=1 +∞

[

n=1

E(m, j, s, n).

Proof. On a, de manière évidente,U ⊂

+∞

\

m=1 +∞

\

j=1 +∞

\

s=1 +∞

[

n=1

E(m, j, s, n). On montre maintenant l'inclusion inverse.

On considèref ∈

+∞

\

m=1 +∞

\

j=1 +∞

\

s=1 +∞

[

n=1

E(m, j, s, n).

SoientK∈Ωeth∈H(C). Pour montrer qu'il existe une sous-suite (τn)de Ntelle queSτn(f)converge uniformément vershsurK, il sut de montrer :

∀ε >0,∀ν∈N,∃N ≥ν : sup

z∈K

|S_N(f)(z)−h(z)|< ε (4) En eet, si on a (4), on construit(τn)de la sorte :τ0 = 1etτn≥max (n, τn−1)+

1tel que sup_z∈K|S_τn(f)(z)−h(z)|< _n¹.

Soit donc (ε, ν) ∈ R^∗×N. La fonction h est entière, donc holomorphe sur un voisinage deK à complémentaire connexe. Donc d'aprés le théorème de Runge, on peut trouver un polynômeP tel que : sup_z∈K|h(z)−P(z)|< ^ε₂ CommeQ+iQest dense dansC, il existe unj∈Ntel quesup_z∈K|P(z)−f_j(z)|<

ε

4 (voir lemme 3.5). On peut aussi, quitte à modier légèrement le coécient de degré 0 defj, supposer quefj(0)6=f(0).

SoitK ⊂Km. On a :∀s∈N, f ∈

+∞

[

n=0

E(m, j, s, n). Donc :

∀s∈N,∃n_s∈N: sup

z∈Km

|S_ns(f)(z)−f_j(z)|< 1 s.

Si(n_s)s∈Nest bornée, on peut trouver unλtel quen_s=λpour une innité de s. Donc Sλ(f) = fj sur Km. Or Km est inni. Donc Sλ(f) ≡ fj, donc f(0) =fj(0). Ce qui est contraire aux hypothèses.

Ainsi la suite (n_s) est non bornée et en choisissant N_s > ν avec ¹_s < ^ε₄, on en déduit :

∃N ≥ν : sup

z∈K_m

|S_N(f)(z)−fj(z)| ≤ 1 s < ε

4 Par l'inégalité triangulaire, et le fait queK ⊂K_m, on a :

∃N ≥ν :∀n≥N,sup

z∈K

|S_n(f)(z)−h(z)| ≤ε (5) Ainsi, la condition (4) est satisfaite, et la preuve est complète.

Remarque 3.1 Il est facile de remarquer que le résultat est toujours valable pour U^µ où (µ_n) est une sous-suite de N.

Lemme 3.3 ∀(m, j, s, n) ∈ (N^∗)³ ×N, l'ensemble E(m, j, s, n) est ouvert dans H(D)

Proof. Soitf ∈E(m, j, s, n). On a doncsup_z∈Km|S_n(f)(z)−fj(z)|< ¹_s. SoitM un majorant de K_m.

On pose : a=

1

s−sup_z∈Km|S_n(f)(z)−fj(z)|

Pn

λ=02^λM^λ >0. On pose : G = {g ∈ H(D); sup_z≤¹

2

|g(z)−f(z)| < a}. G est un voisinage ouvert def dansH(D)(pour plus d'information voir la remarque 3.2), et on va montrer queG⊂E(m, j, s, n). On aura ainsiE(m, j, s, n)est un voisinage de tous ses points, donc est ouvert.

Soitg∈G. On a :

∀z∈K_m, |S_n(g)(z)−f_j(z)| ≤ |S_n(g−f)(z)|+|S_n(f)(z)−f_j(z)|

On écritSn(f−g)(z) =Pn

λ=0b_λz^λ. De la formule de Cauchy, on tire :

|b_λ| =

1 2iπ

Z

∂D(0,1/2)

f(z)−g(z) z^λ+1

=

1 2π

Z 2iπ

0

f(¹₂e^iθ)−g(¹₂e^iθ) (¹₂e^iθ)^λ+1 i1

2e^iθdθ Donc :

|b_λ| ≤ 1 2π

Z 2π

0

|f(¹₂e^iθ)−g(¹₂e^iθ)|

(¹₂)^λ+1

1 2dθ

< 2^λa On a donc pour toutz∈K_m

|S_n(g)(z)−fj(z)| ≤

n

X

λ=0

|b_λ|M^λ+ sup

z∈Km

|S_n(f)(z)−fj(z)|

< a

n

X

λ=0

2^λM^λ+ sup

z∈Km

|S_n(f)(z)−f_j(z)|

< ¹_s

On a donc g ∈ E(m, j, s, n), et ceci pour tout élément g de G. Donc on a G⊂E(m, j, s, n) etE(m, j, s, n) est ouvert.

Remarque 3.2 Si l'on ne veut pas se fatiguer à montrer que G={g∈H(D)

sup_z≤¹

2

|g(z)−f(z)|< a}est un voisinage ouvert def dans (H(D), d), on peut simplement considérerB_d(f, a) la boule de centre f et de rayona selond (oùdest la distance que l'on a dénie dans la section 2.2).

Cet ensemble nous donne la relationsup_z≤¹

2

|g(z)−f(z)|< aqui est la seule relation utilisée dans la démonstration. On montre donc que

Bd(f, a)⊂E(m, j, s, n) et on a le résultat.

Lemme 3.4 Pour tous (m, j, s) entiers naturels strictement positifs, on a

+∞

[

n=0

E(m, j, s, n) est ouvert et dense dans H(D)

Proof.

+∞

[

n=0

E(m, j, s, n) est ouvert car c'est une réunion dénombrable d'ouverts d'après le lemme précédent. Reste à prouver la densité.

Soientf ∈H(D) etε >0. On a, pour n∈N:

+∞

X

k

||f −g||_k 1 +||f −g||_k

1 2^k ≤

+∞

X

k

1

2^k −→0 pour n→+∞.

On prend doncN assez grand tel que

∀(g, f)∈H(D)²,

+∞

X

k=N+1

||f−g||_k 1 +||f −g||_k

1 2^k < ε

2.

De plus, on a facilement

N

X

k=0

||f −g||_k 1 +||f −g||_k

1

2^k ≤ ||f −g||_N

N

X

k=0

1

2^k ≤2||f −g||_N.

On peut donc se restreindre à trouverg∈

+∞

[

n=0

E(m, j, s, n)tel que||f−g||_N ≤

ε

4. Les compacts K_m et L_N sont disjoints. Le complémentaire de K_m∪L_N est donc connexe. On prend F holomorphe au voisinage de Km∪LN telle que :

F(z) =

f(z) siz∈L_N f_j(z) siz∈K_m Le théorème de Runge donne un polynômeg tel que

sup

z∈Km∪L_N

|F(z)−g(z)|<min(ε 4,1/s) On posen=deg(g). On a doncSn(g) =get :

∀z∈K_m, |f_j(z)−S_n(g)(z)|<1/s i.e g∈E(m, j, s, n)⊂

+∞

[

n=0

E(m, j, s, n)

∀z∈L_n, |f(z)−S_n(g)(z)|< α i.e g∈B_d(f, ε).

Ceci achève la preuve du lemme.

Remarque 3.3 Dans la démonstration, on peut choisir n'importe quel en- tier n ≥ deg(g). En particulier, on peut en choisir un appartenant à une suite extraite µ donnée. Ainsi, on a aussi S+∞

n=0E(m, j, s, µn) dense dans H(D) pour toute sous-suite µ deN.

Preuve du Théorème. On a donc U =

+∞

\

m=1 +∞

\

j=1 +∞

\

s=1 +∞

[

n=1

E(m, j, s, n) est une intersection dénombrable d'ouverts denses dans H(D). De plus, (H(D), d) est un espace métrique complet, donc un espace de Baire par le Lemme de Baire. Ainsi U est non vide et G_δ-dense !

D'après la remarque 3.3 on a aussi le théorème suivant :

Théorème 3.2 L'ensembleU^µest unGδ-dense dansH(D) pour toute sous- suite µ non bornée deN.

On a donc obtenu un résultat topologique sur la taille deU. On va main- tenant démontrer un résultat algébrique.

3.2 Un espace algébriquement dense

Dans cette partie, on montre queU ∪{0}contient un sous-espace vectoriel deH(D)qui est dense dansH(D). On va même généraliser àU^µpourµsous- suite non bornée deN.

Avant cela, on énonce un résultat préliminaire utile pour la suite.

Lemme 3.5 L'ensemble des polynômes à coecients dansQ+iQest dense dans H(D).

Proof. D'après le théorème de Runge, l'ensemble des polynômes est dense dansH(D). Et Q+iQest dense dans C.

Soient f ∈H(D) et ε >0. Soit aussi Q∈ C[z] avec Q∈ B_d(f,^ε₂). On note Q(z) =

n

X

k=0

q_kz^k.

On prendqˆ1, . . . ,qˆntels que :|ˆqi−q_i|< _4(n+1)^ε pouri= 0, . . . , n(qˆi∈Q+iQ). On pose : P(z) =

n

X

k=0

ˆ q_kz^k. On a :

∀z∈D,|P(z)−Q(z)| ≤

n

X

k=0

|ˆq_k−q_k||z|^k< ε 4

On a alors d(P, Q)< ε 4

+∞

X

k=0

(1/2)^k = ε

2 ce qui implique d(P, f)< ε.

On a alors le phénomène suivant.

Théorème 3.3 Pour toute sous-suite µ de N, U^µS{0} contient un sous- espace vectoriel dense.

Proof. On pose µ^0,m=µ pour toutm∈N.

U^µ est dense dans H(D). Soit donca¹∈ U^µ telle que d(a¹, f1)<1.

Or la fonction nulle appartient àH(C), donc ∀m ∈ N, on trouve µ^1,m une sous-suite deµtelle que : sup

z∈Km

|

µ^1,mn

X

k=0

a¹_kz^k| −→0, pourn−→+∞. De plus, l'intersectionT

m∈NU^µ1,m est unG_δ-dense d'aprés le résultat du théorème 3.2. Soit donca² ∈T

m∈NU^µ1,m telle que d(a², f2)<1/2. D'aprés la dénition deU^µ1,m, on peut trouver une sous-suiteµ^2,mdeµ^1,mtelle que :

sup

z∈Km

|

µ^2,mn

X

k=0

a²_kz^k| −→0, pourn−→+∞.

En itérant le procédé on a construit une suite(a^l)l∈Net une suite(µ^l,m)l,m∈N) telles que,∀(m, l)∈(N^∗)², les propriétés suivantes sont vériées :

1. a^l∈T

m∈NU^µl−1,m.

2. µ^l,m est une sous-suite deµ^l−1,metµ^0,m=µ. 3. d(a^l, f_l)<1/l.

4. sup

z∈Km

|

µ^l,mn

X

k=0

a^l_kz^k| −→0, pourn−→+∞.

SoitB =Vectl∈N^∗(a^l) l'espace vectoriel engendré par les a^l. Clairement,B est dense (grâce à la relation 3.).il reste à montrer qu'il est inclus dansU^µ. Soita∈B avec a=

n

X

i=0

αiaⁱ etαn6= 0. On notea= (an)n∈N.

Soient K ∈ Ω et h ∈ H(C). On a K ⊂ Kp pour un p ∈ N. De plus, on a aussiaⁿ∈ U^µn,p,(1/α_n)h∈H(C). Soit doncλune sous-suite deµ^n−1,p telle que :

sup

z∈Km

|

λj

X

k=0

aⁿ_kz^k−h(z) αn

| −→0,pourj−→+∞. (6) Or pour toutl < m,λest une sous-suite deµ^l,p. Et, puisque

sup_z∈Km|P^µ

l,p j

k=0a^l_kz^k| −→0, pourj−→+∞, on a donc : sup

z∈K_m

|

λj

X

k=0

a^l_kz^k| −→0,pour j−→+∞. (7) Les relations (6) et (7) donnent

sup

z∈Km

|

λj

X

k=0

akz^k−h(z)| −→0,pourj−→+∞

Donc :

sup

z∈K

|

λj

X

k=0

akz^k−h(z)| −→0,pour j−→+∞

Ce qui signie exactementa∈ U^µ.

Ainsi U est non seulement dense topologiquement dans H(D), mais en plus, si l'on regarde H(D) comme un espace vectoriel, U reste dense d'un point de vue algébrique. Cet ensemble de fonctions très puissantes permet en plus d'approcher toute fonction holomorphe dansD.

4 Une méthode constructive pour démontrer la den- sité

On a établi une première démonstration de la densité de l'espace des Séries Universelles. Cependant, l'outil central de cette démonstration est le théorème de Baire. Or la démonstration de ce dernier théorème est construc- tive. On peut donc se poser la question de l'existence d'une démonstration constructive de l'existence et de la densité des Séries Universelles.

4.1 Dessine-moi une Série Universelle !

Dans cette section, on construit étape par étape une série universelle.

L'espace(Km, fj)_(m,j)∈N² est dénombrable. On l'énumère donc en notant (Km_k, fj_k)k∈N.

4.1.1 Etape 1

Soit F1 une fonction holomorphe au voisinage deKm1

SL1 telle que F1(z) =

0 siz∈L1, fj1(z) siz∈Km1. Le compactKm1

SL1 est à complémentaire connexe carL1 etKm1 sont disjoints par dénition.

Donc d'aprés le théorème de Runge, on peut trouverP₁∈C[z]tel que : sup

z∈Km1

|P₁(z)−f_j1(z)|<1,

sup

z∈L1

|P₁(z)|<1.

On pose Q₁=P₁ etN₁=deg(P₁) + 1.

4.1.2 Etape 2 SoitM₂ ≥sup_z∈Km

2 |z|un majorant deK_m2.

La fonction g₂(z) = ^f_z^j2N^(z)1 reste holomorphe au voisinage de K_m2 par dé- nition de ce dernier. On peut donc trouver F2 une fonction holomorphe au voisinage deKm2

SL2 telle que : F2(z) =

0 siz∈L2

f_j2(z) siz∈K_m2 Le compactKm2

SL2 est à complémentaire connexe carL2 etKm2 sont disjoints par dénition.

Donc d'aprés le théorème de Runge, on peut trouverP₂ ∈C[z]tel que : sup

z∈Km2

|P₂(z)−f_j2(z)−Q₁(z) z^N1 |< 1

2 1 M₂^N1 sup

z∈L₂

|P₂(z)|< 1 2²

On poseQ2(z) =z^N1P2(z) etN2 =N1+deg(P2) + 1 =deg(Q2) + 1. 4.1.3 Etape l

SoitM_l ≥sup_z∈K

ml|z|un majorant de K_ml. La fonction g_l(z) = ^fjl(z)

z^Nl−1 reste holomorphe au voisinage de K_ml par dé- nition de ce dernier. On peut donc trouver F_l une fonction holomorphe au voisinage deK_mlS

L_l telle que : Fl(z) =

0 siz∈L_l fjl(z) siz∈Kml

Le compact K_mlS

L_l est à complémentaire connexe car L_l etK_ml sont disjoints par dénition.

Donc d'aprés le théorème de Runge, on peut trouverP₂ ∈C[z]tel que : sup

z∈K_ml

|P_l(z)−f_jl(z)−Pl−1 k=1Q_k(z) z^Nl−1 |< 1

l 1 M_l^Nl−1 sup

z∈L_l

|P_l(z)|< 1 l²

On poseQ_l(z) =z^Nl−1P_l(z) etN_l =Nl−1+deg(P_l) + 1 =deg(Q_l) + 1. 4.1.4 Fin de la construction

On itère le procédé pour l ∈N. On a donc construit une suite de poly- nômes à coecients complexes(P_l)l∈N^∗ qui vérie :

sup

z∈K_ml

|

l

X

k=1

Q_k(z)−f_jl(z)|< 1 l

sup

z∈L_l

|

l

X

k=1

Q_k(z)|< 1 l² Q_l(z) =z^Nl−1P_l On pose : u(z) =

∞

X

k=1

Q_k(z). On va montrer que u∈ U.

Soient K ∈ Ω et h ∈ H(C). Soient ε > 0 et p ∈ N. Il nous sut de trouvern≥p tel que :

sup

z∈K

|

n

X

k=1

Q_k(z)−h(z)| < ε pour avoir le résultat (cf preuve du lemme 3.2 pour la démonstration). En eet, on aura ainsi une sous-suite qui approchera uniformémenth surK, pourK ∈Ω eth∈H(C) choisis arbitrairement.

D'après le théorème de Runge, on peut approcher uniformément h sur K par lesfj. Soit doncfjk tel que sup_z∈K|f_jk(z)−h(z)|< ^ε₂.

Puisqu'il y a une innité def_jqui vérient cette relation, et que(K_mk, f_jk)k∈N

est une énumération de(K_m, f_j), on peut prendrek∈N tel que : _k¹ < ^ε₂

m_k est tel queK ⊂K_mk. k≥p

On a donc :

sup

z∈K

|

k

X

i=1

Q_i(z)−h(z)| ≤ sup

z∈K

|

k

X

i=1

Q_i(z)−f_jk(z)|+ sup

z∈K

|f_jk(z)−h(z)|

< sup

z∈K_mk

|

k

X

i=1

Qi(z)−fjk(z)|+ε 2

< ¹_k+ ^ε₂

< ε

avec k≥p.

Pour avoir u∈ U, il reste à montrer que le rayon de convergence R deu est égal à 1.

Soit Lun compact de D. Soit n∈Ntel que L⊂Ln. On a :

||u||_L≤ ||u||_n≤

+∞

X

i=1

||z^Ni−1P_i||_n≤

+∞

X

i=1

||P_i||_n

Or

+∞

X

i=1

||P_i||_n =

n−1

X

i=1

||P_i||_n+

+∞

X

i

||P_i||_n

≤

n−1

X

i=1

||P_i||_n+

+∞

X

i

||P_i||_i

≤

n−1

X

i=1

||P_i||_n+

+∞

X

i

1 i²

< +∞ (addition d'une somme nie et d'une série convergente) AinsiR≥1. SiR >1, alors on prend K ={1}eth n'importe quel nombre complexea. La série u est absolument convergente sur ∂D, il sut donc de prendre|a|>|u(1)|pour obtenir une contradiction.

DoncR= 1.

On a donc le résultat : la série construite est bien universelle.

4.2 Dessine-moi beaucoup de Séries Universelles ! !

On a maintenant une preuve constructive du fait queUest non vide. Nous allons donc continuer dans cette voie et montrer grâce à cette construction queU est dense dans H(D).

Pour cela, il sut de remarquer que pour tout polynômeP ∈C[z],u+P est encore universelle.

En eet, soient K ∈ Ω et h ∈ H(C). La fonction h−P est toujours entière. Puisqueu est universelle, il existe (λn) telle que

sup

z∈K

|S_λn(u)(z)−h(z) +P(z)| −→0,pour n−→+∞.

Ainsi, dès queλ_n> deg(P), on a aussi sup

z∈K

|S_λn(u+P)(z)−h(z)| −→0,pourn−→+∞.

Donc, on a bienu+P ∈ U.

On obtient alors la densité topologique de la manière suivante.

Soientg∈H(D) etε >0. Soit aussiL un compact deD.

On choisitN ∈Ntel que : ||

+∞

X

k=N+1

Qk||_L< ε 2.

On ag−

N

X

k=1

Q_k ∈H(D). L'espace des polynômes est dense dans H(D). Soit donc P ∈C[z]tel que : ||g−

N

X

k=1

Qk−P||_L< ε 2

Par l'inégalité triangulaire, on a : ||g−(u+P)||_L < ε. Ce qui prouve la densité deU.

5 Une étude dans un cadre restreint

On a étudié dans les parties précédentes la densité de l'espace U des Séries Universelles dans l'espace des fonctions holomorphes sur D. On se place maintenant dans un cadre un peu plus restreint : les compactsK sur lesquels on approche toute fonction entièreh n'ont plus le droit de toucher le bord du disque unité.

Ainsi, l'étude se porte sur les séries complexes de rayonR= 1qui approchent toute fonction entière sur tout compact K à complémentaire connexe et inclus dansD^c.

Notation 5.1 On note

Ω⁰ ={K ⊂D^c; K compact, à complémentaire connexe }.

On note aussiU₁ l'ensemble des séries universelles pour les K∈Ω⁰.

On va montrer que U₁ n'est pas égal à U. Et queU₁ est encore non-vide et encoreG_δ-dense !

Lemme 5.1 Il existe une suite de compacts (K_m⁰ )m∈N∈Ω^N, telle que :

∀K ∈Ω, on a K ⊂K_m⁰ pour unm∈N.

Proof. La démonstration est la même que celle du lemme 3.1 avec des K∈Ω⁰. Les étapes à suivre sont exactement les mêmes, avec la modication suivante : la famille que nous cherchons n'est pas L(n,Γ, s) = {z ∈ C; 1 ≤

|z| ≤n, d(z,Γ)≥ ¹_s} mais : L⁰(n,Γ, s) ={z∈C

1 +_n¹ ≤ |z| ≤n, d(z,Γ)≥ ¹_s}pour(n, s)∈N² etΓ∈Θ.

On a alors le résultat !

Théorème 5.1 L'espace U₁ estG_δ-dense dans H(D)

Proof. Elle s'écrit comme celle du théorème 3.1 en tenant compte du lemme 5.1

Dans la suite, on montre que l'ensembleU est strictement contenu dansU₁. Ce résultat a été établi dans [1]. On en donne ici une preuve légèrement diérente en construisant des séries de U₁ à coecients dans`¹. Cette série ne pourra donc pas réaliser d'approximations sur le bord du disque unité.

Théorème 5.2 L'espaceU₁ contient des séries à coecients dans`¹. Ainsi, U₁6=U.

Proof. L'idée de la démonstration va être de construire une sérieu(z) = X

k∈N

anzⁿ appartenant àU₁ et telle queX

k∈N

|a_k|<∞, i.eu1∈`¹.

Tout d'abord on reprend l'énumération(K_ml, f_jl)l∈N. Pour tout entier l, on a :d(K_ml,D)>0. On prend doncr_ml ∈R^∗+ tel que

d(Kml,D) > rml −1 > 0. L'ensemble Kml

SD(0, rml) est un compact à complémentaire connexe pour tout entierl.

Ainsi, en reprenant les notations de la construction de la section 4, et en passant directement à l'étape l, on trouve, grâce au théorème de Runge, P_l∈C[z]tel que :

sup

z∈K_ml

|P_l(z)−fj_l(z)−Pl−1 k=1Q_k(z)

z^Nl−1 | < ¹_l ¹

M_l^Nl−1

sup

z∈D(0,r_ml)

|P_l(z)| <

1− ¹

rml

l² .

On pose alorsu1(z) =

+∞

X

l=1

Q_l(z). On montre de manière analogue à la section 4.1.4 queu₁ ∈ U₁.

En notantPl=

deg(Pl)

X

j=0

al,jz^j, on peut écrireu1 sous la forme :

u1(z) =

+∞

X

l=1 deg(Pl)

X

j=0

a_l,jz^Nl−1+j

De la formule de Cauchy (pour les coecients d'une série de Taylor), on tire :

∀l∈N,∀j∈[|0, deg(P_l)|], a_l,j= 1 2iπ

Z

∂D(0,r_ml)

P_l(z) z^j+1 dz.

On peut donc majorer lesa_l,j par :

|a_l,j|<

1−_r¹

ml

l²(rm_l)^j.

On obtient :

+∞

X

l=1 deg(P_l)

X

j=0

|a_l,j| <

+∞

X

l=1 deg(P_l)

X

j=0

1−_r¹

ml

l²r^j_ml

≤

+∞

X

l=1

1−_r¹

ml

l²

<

+∞

X

l=1

1 l²

< +∞.

Ainsiu₁∈`¹. On a donc le résultat.

Remarque 5.2 En reprenant la démonstration de la section 4, on peut donc montrer que l'espace U_`1 ={a=

+∞

X

k=0

a_kz^k∈ U₁;

+∞

X

k=0

|a_kz^k|<+∞}est dense (pour la topologie de`¹) dans H(D).

Ce qui nous interesse le plus cependant, c'est de savoir qu'ainsi, puisque U₁ ⊂H(D), on a U<sub>`</sub>1 dense pour la topologie de`¹ dans U₁!

6 Hypercyclicité et Universalité

L'Universalité, formellement, peut se décrire ainsi : on considère un es- pace topologique X d'objets, un espace topologique Y d'éléments à appro- cher, et une famille (généralement une suite) d'applicationsT_l :X→Y (avec l ∈I un ensemble d'indices). Alors, un élément x de X est dit universel si chaque élément y de Y peut être approché par des T_l(x), i.e {T_l(x);l ∈I} est dense dansY. par exemple, dans le cas de l'ensembleU,X est l'ensemble H(D), lesTlles opérateurs de somme partielleSletY l'ensembleH(C)muni de la topologie de la convergence uniforme sur un compactK ∈Ω.

On s'interesse maintenant à un cas particulier d'Universalité, lorsque l'on impose à la famille(Tl) d'êtres les itérés d'un opérateur T :X→Y,

i.e T_l =T^l, pour l∈N. Ce cas particulier d'Universalité est nommé Hyper- cyclicité. On peut donc dénir cette notion comme suit :

Dénition 6.1 Soit E une espace vectoriel topologique et A un opérateur continu de E. On dit que x est un vecteur hypercyclique (pour A) si son orbite

{Aⁿ(x)|n∈N} est dense dans E.

Pour une étude détaillée de ces deux phénomènes, on peut consulter [7].

Dans la suite, on énonce un résultat de MacLane [8], où l'on considère l'opé- rateur de dérivation dansH(C).

Théorème 6.1 Il existe une fonction entièref telle que l'ensemble

{fⁿ|n ∈ N} des dérivés de f est dense dans H(C) l'espace des fonctions entières, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.

Si l'on pose E=H(C) etdla distance de la topologie de Fréchet (aussi dite la topologie de la convergence uniforme, cf la section 2.2), ce théorème dit tout simplement que l'opérateur dérivation est hypercyclique.

On en présente une preuve élémentaire due à Charles Blair et Lee A.

Rubel [6].

Proof. Soit(f_j)n∈Nl'ensemble des polynômes à coecients dansQ+iQ.

SoitI l'opérateur d'intégration : I(h)(z) =R

[0,z]h(w)dw.

On notera Iⁿ(h) l'application de I n fois sur h. On construit une suite de nombre(Kn)vériant :

1. ∀j∈[|0, n−1|], Kn> Kj+deg(fj)

2. En posantHn =I^Kn(Pn),∀j ∈ [|0, K_n−1|],|H_n^(j)(z)| ≤ ₂¹n pour |z| ≤ n.

La relation 1. est facile, on suppose la relation 2. vraie pour l'instant. On dénit :

f =X

I^Kn(fn)

Soit un compact K, soit j ∈ N. On a un l ∈ N tel que K ⊂ B(0, l) et j≤Kl−1. On prendN > Kl :

N

X

i=0

||I^Ki(f_i)^(j)||_K ≤

Kn−1

X

i=0

||I^Ki(f_i)^(j)||_K+

N

X

i=Kn

||I^Ki(f_i)^(j)||_K

≤

Kn−1

X

i=0

||H_i^(j)||_K+

N

X

i=Kn

||H_i^(j)||_K

≤

Kn−1

X

i=0

||H_i^(j)||_K

| {z }

somme nie

+

N

X

i=Kn

1 2ⁿ

| {z }

converge lorsqueN→+∞

Ainsi, la série des dérivéesj^e converge normalement sur tout compact deC, et ce pour toutj∈N.

La série dénissantf converge donc uniformément sur tout compact deCet est dérivable terme à terme.

Par la propriété 1. de(K_n), on a :∀j < K_n, H_j^(Kn)≡0. Ainsi : f^(Kn)(z) =f_n(z) +

+∞

X

k=Kn+1

H_k^(Kn)(z)

| {z }

En(z)

Avec|E_n(z)| ≤

+∞

X

k=Kn+1

1 2ⁿ ≤ 1

2ⁿ⁻¹ pour|z| ≤n.

On a montré dans le lemme 3.5 que les (f_j) sont dense dansH(D) selon la distance d dénie dans la section 2.2. Vu que la topologie de Fréchet de H(C) est exactement la même que celle de H(D) (en prenant (B(0, n))n

comme exhaustion par exemple), on obtient que l'ensemble (f_j) est dense dans l'espace des fonctions entière muni de la topologie de Fréchet.

Ainsi, on va montrer que l'on peut approcher g∈H(C) par des dérivées de f :

Soit ε > 0, soit f_k qui approcheg uniformément sur B(0, N) à ^ε₆ prés.

On prendk etN assez grand tels que : ₂k−1¹ < ^ε₆

+∞

X

n=N

1 2ⁿ < ε

3 On a donc :

d(f^(k), g)≤2||f_k−g||_B(0,k)+ 2||E_k||_B(0,k)+

+∞

X

l=N

1 2^l

d(f^(k), g)< ε

Il reste donc à démontrer qu'une suite(Kn) vériant les propriétés 1. et 2. existe. On a pour tout r etkentiers :

|I^k(z^r)|=| z^r+k

(r+ 1)(r+ 2). . .(r+k)| ≤ |z^r||z|^k k .

Ainsi, sur n'importe quel disque xé, ^|z|_k^k tend uniformément vers0. Les polynômesf_nétant une combinaison linéaire d'un nombre ni de z^r (pourr entier), on peut trouver, surB(0, n), un kassez grand tel que ||I^k(fn)||_n≤

1

2ⁿ⁻¹. Vu que l'on veut que cette condition soit vériée pour un nombre ni de dérivées de I^k(f_n), et que ces dérivées sont toujours des polynômes, on peut trouver unK_n assez grand vériant la relation2.

D'où l'existence de la suite (Kn). D'où le résultat !

Références

[1] A. Melas, V. Nestoridis, I. Papadoperakis : Growth of coecients of universal Taylor series and comparison of two classes of functions, J. Anal. Math. 73 (1997), 187202.

[2] V. Nestoridis : Universal Taylor Series, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 46 (1996), no. 5, 12931306.

[3] F. Bayart, K.-G. Grosse-Erdmann, V. Nestoridis and C. Papa- dimitropoulos : Abstract theory of universal series and applications, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 96 (2008), no. 2, 417463.

[4] E. Amar and E. Matheron : Analyse Complexe, Chap. 9, section 9.1.

[5] K. Yosida : Functional Analysis, Sixth Edition, Grundlehren der Ma- thematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 123. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980.

[6] C. Blair ; L. A. Rubel : A Universal Entire Function, Amer. Math.

Monthly 90 (1983), no.5, 331332.

[7] Karl-Goswin Grosse-Erdmann : Universal Families and Hypercy- clic Operators, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no.3, 345381.

[8] G. R. Maclane : Sequences of derivatives and normal families, J. Anal.

Math. 2 (1952/53), 72-87.