Mimmo Iannelli Quelques remarques sur les semi-groupes non-lineaires non-contractifs

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A

N

L

C

S

F

M

N

R ENDICONTI

Mimmo Iannelli

Quelques remarques sur les semi-groupes non-lineaires non-contractifs

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche,

Matematiche e Naturali. Rendiconti, Serie 8, Vol. 54(1973), n.5, p. 694–698.

Accademia Nazionale dei Lincei

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694 Lincei - R end. Se. fis. m at. e nat. - Vol. L IV - m aggio 1973 [452]

Analisi matem atica. —- Quelques remarques sur les semi-groupes non-lineaires non-contractifs. N o ta di M i m m o I a n n e l l i {* \ p re s e n ta ta (**}

dal C orrisp. G. S t a m p a c c h i a .

Riassunto. — Si considerano gli operatori R -d eriv ab ili in tro d o tti in u n precedente lavoro e si d im ostra la convergenza della form ula esponenziale sotto u n ’ipotesi di stabilità d ella R -d e riv a ta . Si d im o stra inoltre che se la R —d eriv ata dell’operatore è in ogni p unto g eneratore di u n sem igruppo analitico, in un settore del piano complesso, il sem igruppo ottenuto come lim ite della form ula esponenziale, è analitico nello stesso settore.

i . In t r o d u c t i o n

O n va re p ren d re ici les opérateu rs R -d ériv a b les d éjà considérés dans [3]

et on va d ém o n trer la convergence de la form ule exponentielle à u n sem i- groupe n o n -c o n tractif, sous l’hypothèse de stabilité considérée dans [3]. E n fait telle condition de stabilité correspond essentiellem ent à la possibilité de définir une norm e eq uivalente dans l ’espace où l’on travaille, p a r ra p p o rt à laquelle on est bien dan s les conditions du théorèm e de C ran d all et Lig- get ([1]). E n ce qui concerne la régularité du sem igroupe q u ’on obtient com m e lim ite de la form ule exponentielle on retom be d ans la pro b lém atiq u e présentée d ans [1 ] : toutefois, si la R -d e riv é e de l’o p erateu r en question est dans chaque point, g é n é ra te u r d ’un sem i-g ro u p e analy tiq u e dans un secteur du plan com plexe, le sem i-g ro u p e engendré p a r l’o p erateu r est an a ly tiq u e dans le m êm e secteur (c.f. K ô m u ra [4]).

2. Qu e l q u e s d é f i n i t i o n s

O n considère l’espace de B an ach X (norm e | -| ), u n ensem ble convexe ferm é C d ans X et l’o p érateu r A : DaC C - > X .

O n note p, (A) (ensem ble résolvant de A p a r ra p p o rt à C) l’ensem ble des X e C tels que ù):

1 i) (X ■— A) est injectif

(2.1) ■ ' ■ ii) C a (X) = (X — A) ( Da) est ferm é et Ca(X) O XC ( iii) (X -— A )-1 : Ca(X) -> C est continu

O n p eu t définir l ’application résolvante:

R , (X , A) - (X — A ) - 1 : CA (X) C . i f ) Istitu to p er le A pplicazioni del Calcolo (I.A .C .), Rom a.

(**) N ella sed u ta del 14 ap rile 1973.

(1) Cfr. Da Prato [2]. O n rem arq u e que les définitions suivantes et les résultats q u ’on va étab lir d ans la suite sont valables aussi p o u r des opérateurs m ultivoques.

[453] Mimmo I a n n e lli, Quelques remarques sur les semìgroupes, ecc. _Ô9S

O n a:

Le m m e 2-1 (identité de la résolvante). Soit A : DaC C -> X , X , p. ^ep, (A), alors si x E Ca(X)

(2.2) 'x + ([X — X) R , (X , A) x e CA ([/.)

(2.3) R , (X , A) 5T = R , ([x , A) |> + (p. — X) R c (X , A) x] . Démonstration. Il suffit de re m a rq u e r l’identité suivante:

(2.4) ({x — A) R , (X , A) x = x + ([x — X) R , (X , A) x d ’où (2.2) et (2.3).

Si on suppose m a in te n a n t que p o u r chaque X e E C p f (A) on a:

f CA(X) = C A°(X) <2>

(2-5) j

( R (X , A) : Ca(X) -> C est Y-derivable dans chaque point x ^{E Ca}(X).

on p eu t considérer:

(2 .6 ) F (X ) = R^(X , A ) \kx — A x \ E 2 (X , X ) <4> Vx e D a

F (X) est u ne p seu d o -réso lv an te com m e on peut le d ém o n trer en u tilisan t le L em m e 2-1: il existe donc un o p érateu r linéaire (en general m u ltivoque) A ' [x] : D ^-> X \lx^E D a tel que:

(2.7) ; F(X) = R (X , A ' [x]) .

D É F I N I T I O N 2—1. On dira que Vopérateur A : D a C C —> X est R —dérivable dans D a , p a r rapport à Vensemble E C P*(A), si (2.5) est vérifiée pour tout X E E. On appellera R~dérivée de A dans x ^E D a Vopérateur A '\x ] : D x X defini p a r (2.6).

O n p eu t alors préciser la d épendance de R^(X , A) de la variable X.

Le m m e ^—2. Soit A : D a C C X, R—dérivable p ar rapport à Vouvert

Ü C p , (A) , f (X) une fonction analytique de la variable X, telle que f (X) E Ca(X).

S t la fonction X e-> R (X , A ) f (X) est bornée dans chaque ouvert borné C O elle est analytique dans Q.

(2) Ë denote l’in terieu r de l’ensem ble E. _

(3) O n d it que l’o p érateu r A : D A -> X (DA = D A) est F -d e riv a b le d ans a e D A s’il existe l ’o p érateu r linéaire borné A ' [x] : X -> X tel que p o u r to u t y e D A :

Ay — A x -j- A ' [x] ( y — x) + & ( y — x) ou:

I & (y — f I < \y — * I 4 ( \y — x | ) ; <jAr)~— -> o r~>0 C ette definition est bien posée p o u r les points x de la frontière de D A .

(4) £ (X , X) est la classe des o p érateurs linéaires bornés de X dans X, | A || étan t la norm e de A e £ (X , X).

696 L incei - R end. Se. fis. m at. e nat. - Vol. L IV - m ag g io 1973 [454]

D emonstration. Soit X e ü , X + AX e O, on a (Lem m e 2-1)

Rc(X + AX , A)/(X-f-AX) = R*(X , A) [ / (X + AX) — AXR^(X + AX , A ) / (X + AX)]

R^(X + AX , A) /(X + AX) — R,(X , A )/(X ) =

= R : (X , A) [/(X )] ( / ( X + AX) — /(X ) — AX R , (X+AX , A ) / ( X + AX)) + »(AX) ce qui en traîn e d ’ab o rd que R^. (X + AX , A ) / (X + AX)--- > R , (X , A )/ (X)

AA—>0 et puis que:

lim (R,(X + AX , A ) /( X + AX) - R,(X , A )/(X ) = AÀ-^0aA

= R : (X , A ) .[ / (X)] ( / ' (X) - Rc(X , A ) / (X)).

O n in tro d u it m a in te n a n t les definitions suivantes:

D É FIN ITIO N 2 - 2 . On dira que / ’opérateur A : D a C C à la classe K l*w(C) (M > o , w e R) si:

P c ( A ) ^ ( ^ >+ ° °)

(2.8) ) R*(X , A ) : C^a(X) -> C ^ lipschitzienne\

X appartient

R , ( X , A ) | l (5) < - ^M VX >.z£/ .

D é f i n i t i o n 2-3. (9^ VzVæ <7^ Vopérateur A : D a C C X appartient à la classe H l jW,^(C) (M > o , w eR , » e [o , Tc/2)) si:

/ p , ( A ) D2a.fW = {X I I a r g ( X —w) | < » , Re (X) > w } (2.9) ) R , (X , A ) : Ca (X) C est lipschitzienne\

( | R , ( X J A ) i L ^ - x A T V X e S ^

3. St a b i l i t é e t f o r m u l e e x p o n e n t i e l l e

Soit A : D a C C -> X un opérateur de la classe K l (C), R~dérivable par rapport à (w, - f 00). On considère la condition suivant (stabilité) sur la R—dérivée

(Si)

( pour tout i é e N (6),

n , R ( x . A ' M ) <

* ^ } C Da , M

— w)k k

où n denote le produit ordonné par i croissant.

Xe (w , + 00)

(5) I A | l denote la norm e de Lipschitz de l’opérateur A.

(6) N est l’ensem ble des nom bres entiers positifs.

[455] Mimmo I a n n e lli, Quelques remarques sur les semigroupes, ecc. 697 On a alors

THÉORÈME 3-1. S o it A : D a C C - > X un opérateur de classe K l ’w(C), R-dérivable p a r rapport à (w , + 00), vérifiant la condition (Si). I l existe alors un unique sem i-groupe {G(£)}/>o su r Da tel que\

(3.1)

l G (t) x = lim J «—>00 - ( I G(Y)|l<M<?“*

R , n

V/ > o V# e Da

W > o .

D ém onstration. On note d ’abord que la condition (Si) est en fait equi­

valente à la suivante:

pour tout i e N , {xv ^• -xk) C D A , {Xr • -X*} C ( w , + 00)

(Si) F L R a ' [*,.]) — k ^M

.i l_{1 ?}<x.— «o

En effet (Si) entraine de manière evident (Si): on va m aintenant dém on­

trer que (Si) entraine (Si). Soit donc k e N, { x ± • • • * * } C D a , { V • -> sJ C (o t,+ o o ), on considère (i = 1 • • • k )y on a:

R (X,, A' [*,-]) = R (jx , A' [*,.]) [I + (X2. — [x) R (p., A' [x,])]^-1 R (X,, A' [*,.]) = S , . ([x - R*‘‘+1 ((x , A' [*,•])

0 z et donc:

n .R ( X2-,A'[^.])

i = I • • • yè

I L - • • • •(ix - X ^ R ^ +1(!x,A '[x1])- - R ^ ^ . A ' f e ] )

n 1 n 0 *k

00 00 , . , 1

<mV ...y (tx- Xi)1

— 1V1 Z j ^ _{0 1} Z ja, ₀ . .At+1

k ({L— W)1^ / _{([X— w) Æ}Pk "t" ^

M

n,- (x ,— w )

On appelle alors X* l’espace X muni de la norme suivante:

I# = Sup ;

keN I

{Xl" 'xk ) c da { ^ } c (w j+°0)

r i , (X, — w) R (X;, A! [*,•]) a: , Vare X

la norme | • est equivalent à la norme |*| puisque:

(3.2) I x i < I x |* < M \x \

grâce à la condition (Si). D e plus, l’opérateur A appartient à la classe Kl’w(C), en fait on a:

(3-3) f (X - w ) Ri (X , A ) [ x ] y \ ^ < \ y |* Vx e CA (X) .

Dans l ’espace on est donc dans les conditions du Théorème I de [1]

d ’où la thèse.

6 9 8 Lincei - R end. Se. fis. m at. e nat. - Vol. L IV - m aggio 1973 [4 5 6 ]

4. A n a l y t i c i t é d u s e m i - g r o u p e

O n suppose m a in te n a n t que l’o p érateu r A : D a C C - > X a p p a rtie n t à la classe et est R -d é riv a b le p a r ra p p o rt à 2$jW. O n considère alors la condition suivante:

p o u r to u t i e N , { x 1- • -xk} CD a , XG2$jW (S2)

I X R ^ A ' M ) < ^M

\ \ — w\k * O n a:

T H É O R È M E . Soit A : D a C C -> X (A o = o ) un opérateur de classe H l ,w,ô(C), R -dérivable p a r rapport a 2 $ >w, vérifiant la condition (S2). I l existe alors un unique semi-groupe {G (OJyeS^ sur D a analytique dans 2 ^ 0 tel que\

(T l)

G (fi) X = lim n—> 00 I G (/) |l < M e wRet .

V/ 6 o j e D^a

Démonstration. P o u r chaque r > o on considère l’ouv ert borné 2 . ^ 0 (7) du p lan com plexe et les « ap p ro ch an ts »:

(4.2) G„(*) R, / e 2 § )0n ^ n > \ w \ r .

P o u r to u t r e D A la fonction t - > G n( t ) x est an a ly tiq u e d ans 2^j0n ( ^>

(Lem m e 2-2). E n ce qui concerne la suite {Gn(t) x } n>\w\r , elle converge po u r t € (o , r), l’o p érateu r A vérifiant les hypotheses du T héorèm e 3.1. D e plus on a que la suite {Gn(t) x } n>\w\r est bornée uniform ém ent en n, en fait (4-3) 1 0 , ( 0 | l< ^_M________{w R e t \ n}

g râce à la condition (S2). O n conclut donc (T héorèm e de V itali) que la suite { Gn (t) x } n>\w\ r converge p o u r to u t / e2ô)0n ^ à une fonction G(fi)x analiti- que dans 2&)0n ß r . O n a enfin la these en considérant la (4.3).

Bi b l i o g r a p h i e

[1] M . Crandall et T. LIGGETT, G eneration-of sem i-groups o f no?i-linear transform ations on general Banach spaces, «Amer. J. M ath .» , 93, 265-298 (1971).

[2] G. D a Prato, Som m e d'applications non-linéaires, «S ym posia M ath em atica» , 7, 233- 2 6 8 (1 9 7 1 ).

[3] M. Iannelli, Opérateurs dérivables et sem i-groupes non-linéaires non—contractifs, à paraître.

[4] Y. IKöMURA, D ifferentiability o f nonlinear sem igroups, « J. M ath. Soc. J a p a n » , 21 (3) 3 7 5 -4 0 2 (1 9 6 9 ).

(7) O n définit: (Br = { z eC , \ z \ < r } .