Presque réductibilité des cocycles quasi-périodiques de classe Gevrey 2

(1)

HAL Id: hal-00446025

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Preprint submitted on 12 Jan 2010

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Presque réductibilité des cocycles quasi-périodiques de

classe Gevrey 2

Claire Chavaudret

To cite this version:

Claire Chavaudret. Presque réductibilité des cocycles quasi-périodiques de classe Gevrey 2. 2010.

�hal-00446025�

(2)

de lasse Gevrey 2

Claire Chavaudret

Institut deMathématiques de Jussieu

1 Introdu tion

1.1 Présentation du résultat Soit

n ≥ 1

,

d ≥ 1, ω ∈ R

d

et

0 < κ < 1, τ > max(1, d − 1)

. Supposons que

ω

est diophantien de onstante

κ

etd'exposant

τ

, 'est-à-dire que

∀ m ∈ Z

d

\ {0}, |hm, ωi| ≥

κ

|m|

τ

(1)

On peut aussi supposer sans perte de généralité que

sup |ω

i

| ≤ 1

. On note

T

d

_{:= R}

d

_/Z

d

letore et

2T

d

_{:= R}

d

_/(2Z

d

₎

ledouble tore.

Dénition: Soit

G

une algèbre de Lie,

G

le groupe de Lie asso ié à

G

et

A : 2T

d

→ G

. Le o y le quasi-périodique asso iéà

A

est la fon tion

X : 2T

d

× R → G

telle que pour tous

(θ, t) ∈ 2T

d

_{× R}

,

d

dt

X

t

(θ) = A(θ + tω)X

t

(θ); X

0 (θ) = Id

(2)

On ditque 'est un o y le onstantsi

A

est onstante.

Remarque: Le termequasi-périodique vient du fait que

A

est lafon tion enveloppe d'une fon tion quasi-périodique. En eet, pour tout

θ ∈ 2T

d

,

t 7→ A(θ + tω)

est une fon tionquasi-périodique.

Un o y le onstant est toujours de la forme

t 7→ e

tA

.

Dénition: Soit

r > 0

.Soit

E

un sous-ensemble de

gl(n, C)

.Notons

C

G,2

r

(2T

d

, E)

(resp.

C

G,2

r

(T

d

, E)

) les fon tions de lasse Gevrey deux de paramètre

r

sur

2T

d

(resp.

T

d

) à valeurs dans

E

, 'est-à-dire les fon tions

f ∈ C

∞

_(2T

d

_{, E)}

(resp.

C

∞

_(T

d

_{, E)}

) telles qu'il existe

C > 0

telque pour tout

α = (α

1 , . . . , α

d

) ∈ N

d

,

sup

θ

∈2T

d

|∂

α

f (θ)| ≤ Cr

−2|α|

(α!)

2

(3)

oùona noté

α! = α

1 ! . . . α

d

!

. Notons

||f||

r

lanorme Gevrey de

f

, 'est-à-dire

||f||

r

= sup

α

∈N

d

r

2 |α|

1 (α!)

2 sup

θ

∈2T

d

||∂

α

f (θ)||

(4)

Notation :Pour toutefon tion

f ∈ C

1 _(2T

d

_{, C)}

, onnotera pour tout

θ ∈ 2T

d

∂

ω

f (θ) =

d

dt

f (θ + tω)

|t=0

(5)

ladérivée de

f

dans la dire tion

ω

.

Dénition: Soit

G

une algèbre de Lieet

G

le groupede Lieasso iéà

G

. Soient

r, r

′

_{> 0}

et

A, B ∈ C

G,2

r

(2T

d

, G)

. On dit que

A

et

B

sont onjugués dans

C

G,2

r

′

(2T

d

_{, G)}

s'il existe

Z ∈ C

r

G,2

′

(2T

d

_{, G)}

tel que pour tout

θ ∈ 2T

d

,

∂

ω

Z(θ) = A(θ)Z(θ) − Z(θ)B(θ)

Si

B

est onstanteen

θ

, ondit que

A

est rédu tible dans

C

G,2

r

′

(2T

d

, G)

, ou rédu tible par

Z

à

B

.

Remarque: Soit

X

le o y le quasi-périodique asso iéà

A

. Lafon tion

A

est rédu tible par

Φ

à

A

0

si etseulement si

∀(t, θ), X

t

(θ) = Φ(θ + tω)

−1

e

tA

0 Φ(θ)

(6)

Larédu tibilité équivaut aussi aufait que l'appli ationde

2T

d

× R

n

dans lui-même:

θ

v

7→

θ + ω

X

1 _(θ)v

(7)

soit onjuguée à une appli ation

χ

telle que

dχ

dθ

θ

v

≡

¯1

0

(8)

Lebut de et arti le est de montrer que pour

G = GL(n, C), GL(n, R), SL(n, R), Sp(n, R), O(n), U(n)

au voisinage d'un o y le onstant, tout o y le de lasse Gevrey 2 de paramètre

r

à valeurs dans

G

est presque-rédu tible dans

∪

r

′

>0

C

G,2

r

′

(2T

d

_{, G)}

.

Nousallons prouverle théorème suivant,pour

G

parmiles groupes mentionnés i-dessus et

G

l'algèbrede Lie asso iée à

G

:

(4)

Théorème 1.1 Soit

0 < r ≤ 1

,

A ∈ G

,

F ∈ C

G,2

r

(T

d

, G)

. Il existe

ǫ

0 < 1

ne dépendant quede

n, d, κ, τ, A, r

tel que si

||F ||

r

≤ ǫ

0

alors pour tout

ǫ > 0

, il existe

r

ǫ

> 0, ¯

A

ǫ

, ¯

F

ǫ

∈ C

G,2

r

ǫ

(2T

d

_{, G)}

,

Z

ǫ

∈ C

G,2

r

ǫ

(2T

d

_{, G)}

tels que pour tout

θ ∈ 2T

d

,

∂

ω

Z

ǫ

(θ) = (A + F (θ))Z

ǫ

(θ) − Z

ǫ

(θ)( ¯

A

ǫ

(θ) + ¯

F

ǫ

(θ))

où

A

¯

ǫ

est rédu tible dans

C

G,2

r

ǫ

(2T

d

_{, G)}

,

|| ¯

F

ǫ

||

r

ǫ

≤ ǫ

, et

||Z

ǫ

− Id||

r

ǫ

≤ 2ǫ

1

2

0

.

De plus, en dimension 2 ou si

G = GL(n, C)

ou

U(n)

,

Z

ǫ

, ¯

A

ǫ

, ¯

F

ǫ

sont ontinus sur

T

d

.

1.2 Généralisations et onséquen es

Lethéorème1.1ditqu'au voisinaged'un o y le onstant,tousles o y les sont presque-rédu tibles au sens où ils sont arbitrairement pro hes d'un o y le rédu tible, e qui signie que la rédu tibilité est un phénomène prédominant. Cependant, si la rédu tibi-lité implique la presque-rédu tibilité, l'inverse n'est pas vrai : il existe des o y les non rédu tiblesmême pro hes d'un o y le onstant.

L'intérêtde lanotion de presque-rédu tibilité est qu'un o y le presque rédu tible aune dynamique onnue sur un temps très long.

Le théorème 1.1 est en fait vrai si l'on suppose

F

dans une lasse plus grande que

C

G,2

r

(T

d

, G)

, à savoir les fon tions de

C

G,2

r

(2T

d

, G)

vériant ertaines "bonnes propriétés de périodi ité" par rapport àla matri e

A

.

Endimension 2 ousi

G

est omplexe, e résultat peut se reformuler omme un théorème de densité des o y les rédu tibles au voisinage des o y les onstants:

Théorème 1.2 Soit

G = gl(n, C), u(n), gl(2, R), sl(2, R)

ou

o(2)

. Soit

0 < r ≤ 1

et

A ∈ G, F ∈ C

G,2

r

(T

d

, G)

. Il existe

ǫ

0

ne dépendantque de

r, n, d, κ, τ, A

tel que si

||F ||

r

≤ ǫ

0

alorspour tout

ǫ > 0

il existe

r

ǫ

> 0, H ∈ C

ω

r

ǫ

(T

d

, G)

rédu tible dans

C

G,2

r

ǫ

(T

d

, G)

ettel que

||A + F − H||

r

ǫ

≤ ǫ

(5)

Unrésultat omparablepourles o y les lissesà valeursdans lesgroupes ompa tsavait été obtenu par R. Krikoriandans [9℄ (th.5.1.1). Dansle as d'un o y le au-dessus d'une rotationdu er le, le ontrle de l'analyti itéest bien meilleur(voir par exemple [1℄) ar ilest alors possibled'utiliserdes méthodes globales.Nous onsidéronsi ile as d'untore dedimensionquel onque. Laméthode KAMquenous allonsutiliseri iavaitdéjàproduit des résultats de rédu tibilité en mesuretotale pour des o y les à valeurs dans

SL(2, R)

([6℄, [7℄).

Unrésultatanalogueauthéorème1.1dansle adredes o y lesanalytiquesàvaleursdans

GL(n, R)

avaitdéjàétédémontrédans[4℄parL.H.Eliasson;onsereporteraégalementàsa généralisationdans[3℄.Notonsbien, ependant,ladistin tionsuivante:lethéorème1.1est un résultat de presque rédu tibilité faible, 'est-à-dire que le paramètre peut tendrevers 0;ilenestdemêmepourlethéorèmed'Eliassondansle as desfon tionsanalytiques([4℄) oùlerayond'analyti itépeuttendrevers0.Dansle asdes fon tionsanalytiques,onpeut obtenirunrésultatdepresquerédu tibilitéforte([3℄), 'est-à-direoùlerayond'analyti ité restestri tementpositifàlalimite.Maislaquestionde lapresquerédu tibilitéfortedans le as des fon tionsGevrey reste ouverte.

Notons que, ommedans [4℄ et[3℄,la perte de périodi itédans le théorème 1.1est inévi-tabledansungrouperéeldedimensionplusgrandeque2.Lanotionde"bonnespropriétés de périodi ité"a pour but de s'assurer qu'un seul doublement de période sut. Le adre symple tiqueintroduit de nouvelles ontraintes pour éliminerlesrésonan es, par rapport au adre réel, mais es ontraintes n'ont pas de onséquen es sur la onstru tion de la fon tionderenormalisation, e quiexpliquequel'on n'aitpasplus depertede périodi ité quedans le adre

GL(n, R)

. Ainsi, omme dans [2℄, un seul doublement de période sut dans le as d'ungroupe symple tiqueréel.

1.4 Plan de l'arti le

Lapreuvedes théorèmes1.1et1.2reprendàpeu prèslemêmes héma de démonstra-tionquedans[4℄;ils'agitd'unepreuveparitérationdetypeKAM.Envoi ilesprin ipales étapes :

Constru tiond'unerenormalisation

Φ

d'ordre

N

(proposition4.2)pour

N ∈ N\{0}

bien hoisi.

Notons qu'en dimension 2,

Φ

est telle que pour toute fon tion

H

ontinue sur

T

d

,

ΦHΦ

−1

est ontinue sur

T

d

.

Résolutionde l'équationhomologique (proposition5.2) : si

A

˜

a un spe tre vériant ertaines onditionsdiophantiennesetque

F

˜

estunefon tionquia ertainesbonnes propriétésde périodi ité relativesà

A

˜

, alors ilexiste une solution

X

˜

de l'équation

(6)

quialesmêmespropriétésde périodi itéque

F

˜

;elleprendsesvaleursdanslamême algèbrede Lieque

F

˜

. De plus, ellevérie une bonne estimation quitte à perdre un peu de régularité.

Lemme indu tif (proposition 6.6) : Si

F ∈ C

˜

G,2

r

(2T

d

, G)

a ertaines propriétés de périodi ité(relativesà

A

˜

), si

∂

ω

Ψ = ¯

AΨ − Ψ ˜

A

et

F = Ψ ˜

¯

F Ψ

−1

, alors il existe

Z ∈ C

G,2

r

′

(2T

d

, G)

telle que

∂

ω

Z = ( ¯

A + ¯

F )Z − Z( ¯

A

′

+ ¯

F

′

)

(9) où

A

¯

′

est rédu tible,

F

¯

′

est beau oup plus petit que

F

¯

,

Z

est pro he de l'identité et

Ψ

′−1

F

¯

′

Ψ

′

a des propriétés de périodi itérelatives à

A

′

analogues à elles de

F

˜

. L'estimation de

F

¯

′

dépend de

F − ˜

˜

F

N

, de la fon tion de renormalisation

Φ

, et de lasolution

X

˜

de l'équationhomologique.

Itération du lemme indu tif (théorème 7.2) : On itèrera le lemme 6.6 grâ e à un lemmenumérique (lemme7.1), pour réduirearbitrairement laperturbation.

Remarque:Lafon tionde renormalisationse onstruit selonlemêmeprin ipeque dans [4℄.

1.5 Notations

On notera

h., .i

le produit s alaire eu lidien omplexe, ave la onvention qu'il est an-tilinéaire en la deuxième variable. Pour tout opérateur linéaire

M

, on notera

M

∗

son adjoint, égal à la transposée de

M

dans le as où

M

est réel. On notera aussi

M

N

la partienilpotentede

M

, 'est-à-dire :si

M = P AP

−1

ave

A

en formenormalede Jordan, et si

A

D

représente la partie diagonale de

A

, alors

M

N

= P (A − A

D

)P

−1

. Pour simpli-er l'é riture, si

A : 2T

d

_{→ GL(n, C)}

, on notera

A

−1

la fon tion

θ 7→ A(θ)

−1

. Pour tout

m = (m

1 , . . . , m

d

) ∈

1 ₂

Z

d

, on notera

| m |=| m

1 | + · · · + | m

d

|

. On désignera par

J

la matri e

J =

0 _−Id

Id

0

.

2 Bonnes propriétés de périodi ité

Commençonsparintroduirequelquesdénitions.Lanotionde trivialitéparrapportàune dé omposition permettra d'expli iter plus fa ilement les fon tions de renormalisation; les bonnes propriétés de périodi ité ont déjà été introduites dans [4℄ et permettent de s'assurer, dans le as réel, qu'un seul doublement de période est né essaire à l'itération du lemme indu tif.

(7)

Dénition:

L = {L

1 , . . . , L

R

}

est une dé omposition de

C

n

si

C

n

₌

L

j

L

j

. Dénition: Soient

L, L

′

des dé ompositions de

C

n

. On ditque

L

est plus ne que

L

′

si pour tout

L ∈ L

, il existe

L

′

_{∈ L}

′

tel que

L ⊂ L

′

; on dit que

L

est stri tement plus ne que

L

′

si

L

est plus ne que

L

′

et

L 6= L

′

.

Dénition: Soit

A ∈ gl(n, C)

; onditque

L = {L

1 , . . . , L

s

}

est une

A

-dé omposition,ou dé omposition

A

-invariante,si 'estunedé ompositionde

C

n

etquepourtout

i

,

AL

i

⊂ L

i

. Les

L

i

sont lessous-espa es de

L

.

Remarque: Une

A

-dé ompositionest toujours moinsne que ladé ompositionen sous-espa es propres généralisés. Ainsi, si deux matri es

A

et

A

′

ont la même dé omposition ensous-espa espropresgénéralisés,alors une

A

-dé ompositionest une

A

′

-dé omposition.

Notation :Soit

L

une

A

-dé omposition. Pour tout

L ∈ L

, onnote

σ(A

|L

)

le spe tre de

A

restreintau sous-espa e

L

.

Dénition: Soit

κ

′

_{≥ 0}

.On notera

L

A,κ

′

l'unique

A

-dé omposition

L

telle quepour tous

L 6= L

′

∈ L

,

α ∈ σ(A

|L

)

et

β ∈ σ(A

|L

′

) ⇒ |α − β| > κ

′

et qu'au une

A

-dé omposition stri tement plus ne que

L

n'a ette propriété.

Dénition:Soit

A ∈ gl(n, C)

.On note

L

A

ladé ompositionde

C

n

quiestl'ensembledes sous-espa es propresgénéralisés de

A

.

Remarque: On fera attention au fait que

L

A

n'est pas for ément identique à

L

A,0

. En général

L

A

est plus ne.

Dénition: Soit

L

une dé omposition de

C

n

. Pour tout

u ∈ C

n

, il existe une unique dé omposition

u =

P

L

∈L

u

L

ave

u

L

∈ L

pour tout

L ∈ L

. Pour tout

L ∈ L

, onappelle proje tion sur

L

relative à

L

,et onnote

P

L

,l'appli ation déniepar

P

L

u = u

L

.

Remarque: Soit

A ∈ gl(n, C)

et

κ

′

_{> 0}

. Si

L

est une

A

-dé omposition moins ne que

L

A,κ

′

, alors ona lelemme suivant,tiré de [4℄, appendi e, lemmeA 1

:

Lemme 2.1 Il existe une onstante

C

0 ≥ 1

ne dépendant que de

n

telle que tout sous-espa e

L ∈ L

vérie

|| P

L

||≤ C

0 1+ || A

N

||

κ

′

n(n+1)

(10) 1

Le lemme A de[4℄ donne enfait une estimation en fon tion de

|| A ||

, mais il apparaît lairement danssadémonstrationquel'estimationnedépendenfaitquede

A

N

.

(8)

Par lasuite, onnotera toujours

C

0

ette onstante xée dans le lemme 2.1. Dénition: Une

(A, κ

′

_{, γ)}

-dé omposition est une

A

-dé omposition

L

telle que pour tout

L ∈ L

, laproje tion sur

L

relativeà

L

vérie l'estimation

|| P

L

||≤ C

0 1+ || A

N

||

κ

′

γ

(11)

Remarque: Pour

A ∈ gl(n, C)

, ona toujours

A =

P

L,L

′

_∈L

P

_L

L

AP

_L

L

′

. En parti ulier,si

L

est une

A

-dé omposition, alors

A =

P

L

∈L

P

L

AP

L

. Dénitions: Soit

L

une dé omposition.

On ditque

L

est une dé omposition réelle si pour tout

L ∈ L

,

L ∈ L

¯

;

On ditque

L

est une dé omposition symple tique si 'est une dé omposition de

C

n

ave

n

pair etquepour tout

L ∈ L

,il existe un unique

L

′

_{∈ L}

telque

hL, JL

′

_{i 6= 0}

. On ditque

L

est une dé omposition unitaire sipour tout

L 6= L

′

_{∈ L}

,

hL, L

′

_{i = 0}

. Remarque:

Si

A

est une matri e réelle, alors pour tout

κ

′

_{≥ 0}

,

L

A,κ

′

est une dé omposition réelle.

Pour tout

L

, il existe au moins un

L

′

tel que

hL, JL

′

_{i 6= 0}

. Cela vient de la non-dégénéres en e de laforme symple tique

h., J.i

.

Si

A ∈ sp(n, R)

,alors toute

A

-dé omposition

L

moinsne que

L

A,0

est une dé om-positionsymple tique réelle.En eet, soient

L, L

′

_{∈ L}

tels que

hL, JL

′

_{i 6= 0}

; soient

v ∈ L, v

′

_{∈ L}

′

des ve teurs propres de

A

tels que

hv, Jv

′

_{i 6= 0}

et

λ, λ

′

leurs valeurs propresasso iées. Alors

λhv, Jv

′

i = hAv, Jv

′

i = hv, A

∗

Jv

′

_{i = −hv, JAv}

′

_{i = −¯λ}

′

_{hv, Jv}

′

_i

(12) et omme

hv, Jv

′

_{i 6= 0}

, alors

λ = −¯λ

′

.

Si

A ∈ U(n)

, alors toute dé omposition moins ne que

L

A,0

est une dé omposition unitaire.

2.2 Trivialité et bonnes propriétés de périodi ité par rapport à une dé omposition

Dénition: Soit

L

C

n

. On dit qu'une fon tion

Ψ

est triviale par rapport à

L

s'ilexiste

{m

L

, L ∈ L} ⊂

1

2 Z

d

,tels quepour tout

θ ∈ 2T

d

,

Ψ(θ) =

X

L

∈L

e

2iπhm

L

,θ

i

_P

L

(13)

Dénition:On ditquelafon tion

Ψ

est triviale s'ilexiste unedé omposition

L

telleque

Ψ

L

. Remarque:

(9)

Si

Ψ

est trivialepar rapport à

L

etque

L

′

est plus ne que

L

,alors elleest triviale par rapport à

L

′

. Si

Φ, Ψ : 2T

d

_{→ GL(n, C)}

sont triviales par rapport à

L

, alors le produit

ΦΨ

est trivialpar rapport à

L

.

Si

Φ

est triviale par rapport à une

A

-dé omposition

L

, alors pour tout

θ ∈ 2T

d

,

[A, Φ(θ)] = 0

.

Lemme 2.2 Soit

L

unedé ompositionréellede

C

n

,

{m

L

, L ∈ L} ⊂

1

2 Z

d

et

Ψ

déniepar

Ψ(θ) =

X

L

∈L

e

2iπ

hm

L

,θ

i

_P

L

(14)

Alors

Ψ

est réelle si et seulement si pour tout

L

,

m

L

= −m

¯

L

. De plus, si

Ψ

est réelle, alors

Ψ

est à valeurs dans

SL(n, R)

.

Pour la démonstration, sereporter à [3℄, lemme 1.2.

Remarque:Toutefon tiontrivialeparrapportàunedé ompositionunitaireestunitaire. Eneet, soit

L

une dé ompositionunitaire,

Φ

trivialeparrapportà

L

et

L, L

′

_{∈ L}

.Alors pour tout

u ∈ L, v ∈ L

′

,

hΦ(θ)u, Φ(θ)vi = he

2iπ

hm

L

,θ

i

_{u, e}

2iπ

hm

L′

,θ

i

vi = hu, vi

(15) Lemme 2.3 Soit

L

une dé omposition symple tique réelle et

{m

L

, L ∈ L}

une famille d'éléments de

1

2 Z

d

. Soit

Ψ =

P

L

∈L

e

2iπhm

L

,.

i

P

L

. Alors

Ψ

est à valeursdans

Sp(n, R)

si et seulement si pour tout

L

,

m

L

= −m

¯

L

et si

hL, JL

′

_{i 6= 0}

, alors

m

L

= m

L

′

. Démonstration: Se référer à[3℄, lemme1.3. Dénissonsles propriétés de périodi ité. Dénition: Soit

L

C

n

. On dit que

F ∈ C

0 _(2T

d

_{, gl(n, R))}

a de bonnes propriétés de périodi itépar rapport à

L

s'ilexiste

Φ

trivialepar rapportà

L

telle que

Φ

−1

_{F Φ}

soit ontinue sur

T

d

.

Pour pré iser la famille

(m

L

)

qui dénit

Φ

, on dira que

F

a de bonnes propriétés de périodi ité par rapport à

L

et

(m

L

)

.

Remarque: Si

F ∈ C

0 _(2T

d

_{, gl(n, R))}

a de bonnes propriétés de périodi ité par rapport à une dé omposition

L

et que

Φ

L

, alors

ΦF Φ

−1

a de bonnes propriétésde périodi ité par rapportà

L

.

Si

L

′

est unedé ompositionde

C

n

quiest plus neque

L

etque

F

ade bonnes pro-priétésdepériodi itépar rapportà

L

,alors

F

ade bonnespropriétés de périodi ité par rapport à

L

′

.

Soit

L

C

n

et

(m

L

)

L

∈L

une famille d'éléments de

1

2 Z

d

. Si

F

1 , F

2 ∈ C

0 (2T

d

, gl(n, R))

ont de bonnes propriétés de périodi ité par rapport à

L

et

(m

L

)

, alors le produit

F

1 F

2

(10)

Remarque: Pourtous

0 < r

′

_{< r}

,onal'in lusion

C

G,2

r

(2T

d

, G) ⊂ C

G,2

r

′

(2T

d

, G)

et

|| f ||

r

′

≤|| f ||

r

. Pour

f, g ∈ C

G,2

r

(2T

d

, G)

,ona

||fg||

r

≤ ||f||

r

||g||

r

(voirparexemple[11℄,appendi e). Lemme 3.1 Pour tout

m ∈ Z

d

et tout

r

′

_{> 0}

, la fon tion

θ 7→ e

2iπhm,θi

vérie

|| e

2iπ

hm,.i

||

r

′

≤ e

2π

|m|r

′2

(16)

Démonstration: Pour tout

α ∈ N

d

ettout

θ ∈ T

d

,

r

′2|α|

(α!)

2 | ∂

α

(e

2iπ

hm,θi

_{) | ≤}

r

′2|α|

(α!)

2 Y

j

| 2πm

j

|

α

j

≤

Y

j

(r

′2

_{| 2πm}

j

|)

α

j

(α

j

!)

2 ≤

Y

j

e

|2πm

j

|r

′2

_{= e}

2π

|m|r

′2

(17)

Remarque:Ce i impliquequelesfon tionsanalytiquessur un

r

-voisinagedu toreoudu doubletore sont Gevreydeux de paramètre

r

;

4 Fon tion de renormalisation

Rappelons un lemme de [3℄ permettant de onstruire une fon tion de renormalisation à l'ordre

N

:

Proposition 4.1 Soit

A ∈ G

et

N ∈ N

. Soit

κ

′′

=

κ

n(8N)

τ

(18)

Il existe une fon tion

Φ

triviale par rapport à

L

A,κ

′′

et à valeurs dans

G

telle que 1. pour tout

r

′

_{≥ 0}

,

|Φ|

r

′

≤ nC

₀

1 + ||A

N

||

κ

′′

n(n+1)

e

4πN r

′

_{, |Φ}

−1

_|

r

′

≤ nC

₀

1 + ||A

N

||

κ

′′

n(n+1)

e

4πN r

′

(19)

2. Si

A

˜

est dénie par

(11)

|| ˜

A − A|| ≤ 4πN

(21) et

A

˜

a un spe tre

DC

N

ω

(κ

′′

, τ )

.

3. Si

G = gl(n, C)

ou

u(n)

,

Φ

est dénie sur

T

d

.

Dénition: On appellera lafon tion

Φ

onstruite dans la proposition 4.1une renor-malisationde

A

d'ordre

N

.

Cettefon tionvérieune bonneestimation en normeGevrey, ommelemontrela propo-sitionsuivante :

Lemme 4.2 Soit

N ≥ 2, A ∈ gl(n, C)

et

Φ

une renormalisation de

A

d'ordre

N

. Alors

Φ

vérie, pour tout

r

′

, l'estimation en norme Gevrey

||Φ||

r

′

≤ nC.C

₀

1 + ||A

N

||

κ

′′

n(n+1)

e

4πr

′2

N

(22)

où

C

ne dépend que de

d

, et de même pour

Φ

−1

. De plus, si

G = o(n)

ou

u(n)

, alors

||Φ||

r

′

≤ nCe

4πr

′2

_N

(23) et de même pour

Φ

−1

.

Démonstration: Pour tout

m ∈ Z

d

et tout

r

′

_{> 0}

,d'après le lemme3.1,

||e

2iπ

hm,.i

||

r

′

≤ Ce

2πr

′2

_|m|

(24) où

C

ne dépend que de

d

. Don

||Φ||

r

′

≤

X

L

∈L

A,κ′′

|| P

L

A,κ′′

L

|| || e

2iπhm

L

,.

i

_||

r

′

≤ C

X

L

∈L

A,κ′′

|| P

L

A,κ′′

L

|| e

2πr

′2

_|m

L

|

≤ C

X

L

∈L

A,κ′′

|| P

L

A,κ′′

L

|| e

4πr

′2

_N

(25) ord'après lelemme 2.1,

|| P

L

A,κ′′

L

||≤ C

0 1+ || A

N

||

κ

′′

n(n+1)

(26)

d'où(22).Si

G

est

o(n)

ou

u(n)

,alors

L

A,κ

′′

est unedé ompositionunitaireetdon

P

L

A,κ′′

L

(12)

Lemme 5.1 Soit

0 < r

′

_{< r ≤ 1}

,

f ∈ C

G,2

r

(2T

d

, G)

et

g ∈ C

G,2

r

′

(2T

d

, G)

. Soient

C > 0, D ≥ 0

. Supposons que pour tout

m ∈

1

2 Z

d

,

||ˆg(m)|| ≤ C|m|

D

|| ˆ

f(m)||

(27) Alors

||g||

r

′

≤ C

′

C||f||

_r

1 r − r

′

3(D+2)

(28) où

C

′

ne dépend que de

d, D

.

Démonstration: On apour tout

θ ∈ NT

d

ettout

α ∈ N

d

,

||∂

α

g(θ)|| ≤

X

m

∈

1

2 Z

d

|| ˆg(m) || | ∂

α

_e

2iπhm,θi

_|

≤

X

m

∈

1

2 Z

d

|| ˆg(m) ||

Y

j

| 2πm

j

|

α

j

(29)

don par hypothèse,

||∂

α

g(θ)|| ≤ C

X

m

_∈

1

2 Z

d

|m|

D

|| ˆ

f(m)||

Y

j

| 2πm

j

|

α

j

≤ C

′

C

X

m

6=0

1 | 2πm |

2d

Y

i

| 2πm

i

|

α

i

+(D+2)e

i

|| ˆ

f(m)||

(30) etdon en notant

¯1 = (1, . . . , 1)

,

||∂

α

g(θ)|| ≤ C

′

C

X

m

6=0

1 | 2πm |

2d

||

\

∂

α+(D+2)¯

1 _{f (m)||}

≤ C

′

C sup

θ

||∂

α+(D+2)¯

1 f (θ)||

(31) où

C

′

(13)

||g||

r

′

= sup

α

∈N

d

(r

′

)

2 |α|

1 (α!)

2 sup

θ

||∂

α

g(θ)||

≤ C

′

C sup

α

(r

′

)

2 |α|

1 (α!)

2 sup

θ

||∂

α+(D+2)¯

1 f (θ)||

≤ C

′

C sup

α

r

2|α+(D+2)¯1|

((α + (D + 2)¯1)!)

2 sup

θ

||∂

α+(D+2)¯

1 f (θ)||

r

′2|α|

r

2 |α+(D+2)¯1|

(α + (D + 2)¯1)!

α!

2 ≤ C

′

C || f ||

r

sup

α

r

′2|α|

r

2(|α|+(D+2)d)

Y

i

(α

i

+ D + 2)!

α

i

!

2 ≤ C

′

C || f ||

r

sup

α

r

′2|α|

r

2(|α|+(D+2)d)

(| α | +D + 2)!

| α |!

2d

≤ C

′

C || f ||

r

sup

α

r

′2|α|

r

2(

|α|+(D+2)d)

(| α | +D + 2)

2(D+2)d

(32) Orla fon tion

φ : [0, +∞[→ [0, +∞[, t 7→

r

′

r

t

2(D+2)d

atteint son maximum en

t =

2(D+2)d

ln

r

r′

où ellevaut

e

−2(D+2)d

2(D+2)d

ln

r

r′

2(D+2)d

. D'où

||g||

r

′

≤ C

′

C||f||

_r

e

−2(D+2)d

2(D + 2)d

r

′

_ln

r

′

2(D+2)d

≤ C

′

C||f||

r

e

−2(D+2)d

(2(D + 2)d)

2(D+2)d

(r − r

′

₎

3(D+2)d

(33) Proposition 5.2 Soient

N ∈ N

,

κ

′

_{∈]0, κ]}

,

γ ≥ n(n + 1)

,

0 < r

′

_{< r}

.

Soit

A ∈ G

˜

ave un spe tre

DC

N

ω

(κ

′

, τ )

. Soit

F ∈ C

˜

ω

r

(2T

d

, G)

ave de bonnes propriétés de périodi ité par rapport à une

( ˜

A, κ

′

_{, γ)}

-dé omposition

L

. Alors il existe une solution

˜

X ∈ C

ω

r

′

(2T

d

, G)

de l'équation

∀θ ∈ 2T

d

_{, ∂}

ω

X(θ) = [ ˜

˜

A, ˜

X(θ)] + ˜

F

N

(θ) −

F (0); ˆ˜

ˆ˜

X(0) = 0

(34) telle que

si

F

˜

L

et

(m

L

)

, alors

X

˜

L

et

(m

L

)

; en parti ulier, si

F

˜

est dénie sur

T

d

(14)

Il existe

C

′

_{, D}

′

ne dépendant quede

n, d, τ

tels que,

|| ˜

X ||

r

′

≤ C

′

1 + || ˜

A

_N

_||

(r − r

′

_)κ

′

!

D

′

_γ

|| ˜

F ||

r

(35)

De plus, la tron ation de

X

˜

à l'ordre

N

est unique.

Démonstration:

•

L'existen e de

X

˜

, son uni ité jusqu'à l'ordre

N

, le fait qu'elle prend ses valeurs dans

G

et ses bonnes propriétés de périodi ité par rapport à

L

se démontrent omme dans [3℄, proposition3.2.

•

Pour obtenir l'estimation (35), on démontre d'abord que pour tout

m ∈

1

2 Z

d

et tous

L, L

′

_{∈ L}

′

,

||P

L

X(m)P

ˆ˜

L

′

|| ≤ C

′

(1 + || ˜

A

_N

_||)

n

2 −1

_|m|

(n

2 −1)τ

κ

′(n

2 −1)

||P

L

F (m)P

ˆ˜

L

′

||(||P

_L

L

|| ||P

_L

L

′

||)

n

2 −1

(36)

Pour ela, nous allons faireun raisonnementanalogue à elui de [4℄, lemme 2. Soit

A

L,L

′

l'opérateurlinéaireallant de

gl(n, C)

dans lui-mêmetelque pour tout

M ∈ gl(n, C)

,

A

L,L

′

M = ˜

AP

_L

L

M − MP

_L

L

′

A

˜

(37) Endé omposant (34) en blo s, on obtient pour tous

L, L

′

_{∈ L}

∂

ω

(P

L

XP

˜

L

′

) = A

L,L

′

P

_L

L

XP

˜

_L

L

′

+ P

_L

L

( ˜

F

N

−

F (0))P

ˆ˜

L

′

(38) Don pour tout

m ∈

1

2 Z

d

telque

0 <| m |≤ N

,

2iπhm, ωi(P

L

X(m)P

ˆ˜

L

′

) = A

L,L

′

(P

_L

L

X(m)P

ˆ˜

_L

L

′

) + P

_L

L

F (m)P

ˆ˜

_L

L

′

(39) don

(P

_L

L

X(m)P

ˆ˜

_L

L

′

) = (2iπhm, ωi − A

L,L

′

)

−1

P

_L

L

F (m)P

ˆ˜

_L

L

′

(40) Représentons

A

L,L

′

omme une matri e de dimension

n

2

. Soient

A

D

∈ gl(n

2 _{, C)}

dia-gonaleet

A

N

∈ gl(n

2 _{, C)}

nilpotentetelles que

(2iπhm, ωi − A

L,L

′

) = A

D

− A

N

(41) Alors

A

N

est l'opérateur

(15)

A

N

: B 7→ ( ˜

AP

L

)

N

B − B(P

L

′

A)

˜

N

De plus,

(2iπhm, ωi − A

L,L

′

)

−1

= A

−1

_D

(I + A

_N

A

−1

_D

+ · · · + (A

_N

A

−1

_D

)

n

2 −1

₎

(42) Nous allons estimer

(2iπhm, ωi − A

L,L

′

)

−1

, pour

m ∈ Z

d

si

L = ¯

L

′

et

m ∈

1

2 Z

d

si

L 6= ¯

L

′

. Chaque oe ient de

A

−1

D

(A

N

A

−1

D

)

j

₋₁

est de la forme

p

q

ave

| p |≤|| A

N

||

j

₋₁

et

q = β

1 . . . β

j

oùles

β

i

sont des valeurs propres de

2iπhm, ωi − A

L,L

′

. Or

σ(A

L,L

′

) = {α − α

′

| α ∈ σ( ˜

A

_|L

), α

′

∈ σ( ˜

A

_|L

′

)}

(43) etde plus,pour tous

α ∈ σ( ˜

A

|L

), α

′

_{∈ σ( ˜}

_A

|L

′

)

,

| α − α

′

− 2iπhm, ωi |≥

κ

′

| m |

τ

(44) pour tout

m ∈ Z

d

si

L = ¯

L

′

et tout

m ∈

1

2 Z

d

si

L 6= ¯

L

′

Ainsi,

|| (2iπhm, ωi − A

L,L

′

)

−1

|| ≤ c

_n

(1+ || ˜

A

_N

|| (|| P

_L

L

|| + || P

_L

L

′

||))

n

2 −1

| m |

τ

κ

′

n

2 −1

(45) où

c

n

ne dépend que de

n

, et(40) implique (36).

L'estimation(36) et lelemme 5.1impliquentalors que

||P

L

′

XP

˜

L

′

L

′

||

r

′

≤ C

′′

1 + || ˜

A

N

||

(r − r

′

_)κ

′

!

Dγ

||P

L

′

F P

˜

L

′

L

′

||

r

(46) où

C

′′

_{, D}

ne dépendentque de

n, d, τ

.Ainsi,

|| ˜

X

_||

r

′

≤

X

L,L

′

||P

L

′

XP

˜

L

′

L

′

||

r

≤ C

′′

1 + || ˜

A

N

||

(r − r

′

_)κ

′

!

Dγ

X

L,L

′

||P

L

′

F P

˜

L

′

L

′

||

r

(47) d'où

|| ˜

X||

r

′

≤ C

₃

1 + || ˜

A||

(r − r

′

_)κ

′

!

D

′

_γ

|| ˜

F ||

r

(48) où

D

′

_{, C}

3

ne dépendent que de

n, d, τ

.

(16)

6.1 Lemmes auxiliaires

Rappelons un lemme démontré dans [3℄ qui sera utilisé pour itérer le lemme indu tif sansfaireintervenirune fon tionde renormalisationà haque étape, e qui améliorerade beau oup lesestimations.

Lemme 6.1 Soient

κ

′

_{∈]0, 1[}

,

C > 0

,

F ∈ G

˜

,

˜ǫ = || ˜

F ||

,

N ∈ N

˜

,

A ∈ G

˜

ave un spe tre

DC

˜

N

ω

(κ

′

, τ )

.

Il existe une onstante

c

ne dépendant quede

nτ

telle que si

˜ǫ

est assezpetit pour que

˜ǫ ≤ c

C

τ

_κ

′

1 + || ˜

A||

2n

(49) et

˜

N ≤

| log ˜ǫ|

4 C

(50) alors

A + ˜

˜

F

a un spe tre

DC

˜

N

ω

(

3κ

′

4 , τ )

.

Remarque: Commedans[3℄,si

G

est un groupe ompa t, alorslelemme6.1est vrai en remplaçant(49) par une ondition de petitesse qui ne dépend pas de

A

˜

.

Lelemme qui suit sera utilisé pour garantir qu'un seul doublementde période est né es-saire.

Lemme 6.2 Soit

A, A

′

_{∈ gl(n, R)}

et

H : 2T

d

_{→ gl(n, R)}

. Supposons que

H

a de bonnes propriétés de périodi itépar rapport à une

A

-dé omposition

L

et que

∀L, L

′

∈ L, P

L

(A

′

− A)P

L

′

6= 0 ⇒ P

_L

L

HP

_L

L

′

∈ C

0 _(T

d

₎

(51) Alors

H

a de bonnes propriétés de périodi ité par rapport à une

A

′

-dé omposition moins ne que

L

.

Ladémonstration setrouve dans [3℄(lemme 4.2).

Sous-lemme 6.3 Soit

f ∈ C

G,2

r

(2T

d

, gl(n, C))

. Alors pour tout

N ≥

e

2 _d

2

(17)

X

|m|>N

|| ˆ

f (m) ||≤ C

d

|| f ||

r

N

D

e

−

4 √

N

(53)

où

C

d

ne dépend que de

d

.

Démonstration: Pardénition de

|| f ||

r

, ona pour tout

α ∈ N

d

:

|| d

∂

α

_{f (m) ||≤ sup}

θ

|| ∂

α

f (θ) ||≤

α!

2 r

2 |α|

|| f ||

r

(54) Or

∂

α

_{f (θ) ∼}

X

m

ˆ

f (m)∂

α

(e

2iπ

hm,θi

_{) ∼}

X

m

ˆ

f (m)

Y

j

(2iπm

j

)

α

j

.(e

2iπ

hm,θi

)

(55)

don

d

∂

α

_{f (m) =}

Y

j

(2iπm

j

)

α

j

f (m)

ˆ

(56) etdon

|| ˆ

f(m) ||≤

α!

2 Q

j

| 2iπm

j

|

α

j

r

2|α|

|| f ||

r

(57)

Il existe for ément

1 ≤ j ≤ d

tel que

| m

j

|≥

|m|

d

. Notons

M =| m |

et supposons que

M ≥ 1

. Réé rivons (57) ave

α = (α

1 , . . . , α

d

)

où

α

l

= E(

4 √

M)

si

l = j

et

α

l

= 0

sinon. Alors

|| ˆ

f (m) ||≤

(

4 √

M )!

2 (

2πr

2 M

d

)

4 √

M

|| f ||

r

≤ c

(

√

4 M + 1)

2(

√

4 M

+1)

_e

−2

√

4 M

(

2πr

2 M

d

)

4 √

M

|| f ||

r

≤ c

(2

√

M )

√

4 M+1

_e

−2

√

4 M

(

2πr

2 M

d

)

4 √

M

|| f ||

r

(58) où

c

est une onstante numérique.

Ce i impliqueque

X

|m|>N

|| ˆ

f (m) ||≤ C

d

X

M >N

M

d+

1

2 e

−2

4 √

M

(

√

M πr

_d

2 )

√

4 M

|| f ||

r

(59)

(18)

X

|m|>N

|| ˆ

f (m) ||≤ C

d

|| f ||

r

Z

+∞

N

t

d+

1

2 (

√

t

d

r

2 )

4 √

t

e

−2

√

4 t

dt

(60)

eten ee tuantle hangement de variable

T = t

1

4

,

X

|m|>N

|| ˆ

f(m) || ≤ C

d

′

|| f ||

r

Z

+

∞

4 √

N

T

4d+2

(

T

2 d

r

2 )

T

e

−2T

T

3 dT

(61) pour

C

′

d

ne dépendantque de

d

; nalement,pour ertains

C

′′

d

, D

ne dépendant quede

d

,

X

|m|>N

|| ˆ

f(m) || ≤ C

d

′′

|| f ||

r

N

D

| log

d

N

1

2 _r

2 |

D

d

N

1

2 r

2 √

4 N

(62)

et omme,par hypothèse,

d

N

1

2 _r

2 ≤ e

−1

, alors

X

|m|>N

|| ˆ

f(m) || ≤ C

d

′′

|| f ||

r

N

D

e

−

4 √

N

(63) Lemme 6.4 Soient

0 < r ≤ 1

,

f ∈ C

G,2

r

(2T

d

, gl(n, C))

,

N ∈ N

et

f

N

la tron ation de

f

à l'ordre

N

. Supposons que

N ≥

16e

2 _d

2 r

4

(64) Alors

||f − f

N

||

r

2 ≤ C

d

|| f ||

r

N

D

e

−

4 √

N

(65)

où

C

d

et

D

ne dépendent que de

d

.

Démonstration: Pardénition,

||f − f

N

||

r

2 = sup

α,θ

(

r

2 )

2|α|

α!

2 | ∂

α

(f − f

N

)(θ) |

(66) don

(19)

||f − f

N

||

r

2 = sup

α,θ

(

r

2 )

2|α|

α!

2 |

X

m>N

ˆ

f(m)∂

α

(e

2iπ

hm,θi

_{) |}

= sup

α,θ

(

r

2 )

2 |α|

α!

2 |

X

m>N

ˆ

f(m)m

α

_e

2iπ

hm,θi

_|

= sup

α,θ

(

r

2 )

2 |α|

α!

2 |

X

m>N

d

∂

α

_{f (m)e}

2iπ

hm,θi

_|

(67)

etpar le sous-lemme 6.3, ilexiste

C

d

, D

ne dépendant quede

d

tels que

||f − f

N

||

r

2 ≤ C

d

sup

α

(

r

2 )

2 |α|

α!

2 || ∂

α

f ||

r

2 N

D

e

−

√

4 N

(68)

Or, d'après[11℄,lemme A.2,pour tout

α

,

(

r

2 )

2 |α|

α!

2 || ∂

α

f ||

r

2 ≤|| f ||

r

(69) d'où

||f − f

N

||

r

2 ≤ C

d

|| f ||

r

N

D

_e

−

√

4 N

(70)

6.2 Premier lemme indu tif Proposition 6.5 Soient

˜ǫ > 0, ˜

r ≤ 1

,

κ

′

_{> 0, ˜}

_{N ∈ N, γ ≥ n(n + 1)}

;

F ∈ C

˜

ω

˜

r

(2T

d

, G), ˜

A ∈ G

,

L

une

( ˜

A, κ

′

_{, γ)}

-dé omposition. Il existe une onstante

C

′′

_{> 0}

τ, n

telleque si 1.

A

˜

a un spe tre

DC

˜

N

ω

(κ

′

, τ )

; 2.

||

F (0)|| ≤ ˜ǫ ≤ C

ˆ˜

′′

κ

′

1 + || ˜

A||

2n

(71) et

(

4ed

˜

r

2 )

2 ≤ ˜

N ≤ (4ed)

2 | log ˜ǫ|

4

(72) 3.

F

˜

L

(20)

C

′

_{∈ R}

n, d, κ, τ

,

D ∈ N

n, d, τ

,

X ∈ C

ω

˜

r

2 (2T

d

, G)

,

A

′

_{∈ G}

une

(A

′

_,

3κ

′

4 , γ)

-dé omposition

L

′

vériantles propriétés suivantes : 1.

A

′

a un spe tre

DC

˜

N

ω

(

3κ

′

4 , τ )

, 2.

||A

′

_{− ˜}

_{A|| ≤ ˜ǫ}

; 3. lafon tion

F

′

_{∈ C}

ω

˜

r

2 (2T

d

_{, G)}

dénie par

∀θ ∈ 2T

d

_{, ∂}

ω

e

X(θ)

= ( ˜

A + ˜

F (θ))e

X

(θ)

− e

X(θ)

(A

′

+ F

′

(θ))

(73) a de bonnes propriétés de périodi ité par rapport à

L

′

4. pour tout

s ≤ ˜r

,

||X||

s

≤ C

′

1 + || ˜

A

_N

_||

κ

′

_(˜

_{r − s)}

!

Dγ

|| ˜

F ||

˜

r

(74) 5. et pour tout

s ≤

˜

r

2

,

||F

′

||

s

≤ C

′

e

||X||

s

|| ˜

F ||

r

˜

( ˜

N

d

e

−

4 √

˜

N

₊

(1 + || ˜

A

N

||)

Dγ

(κ

′

_(˜

_{r − s))}

Dγ

|| ˜

F ||

˜

r

(1 + e

||X||

s

₎₎

(75)

De plus, si

F

˜

est ontinue sur

T

d

, alors

X

et

F

′

le sont également.

Démonstration:

•

Parhypothèse,

F

˜

adebonnespropriétésdepériodi itéparrapport à

L

et une ertaine famille

(m

L

)

et

A

˜

a un spe tre

DC

˜

N

ω

(κ

′

, τ )

, don on peut appliquer laproposition5.2. Soit

X ∈ C

ω

r

′

(2T

d

, G)

une solution de

∀θ ∈ 2T

d

_{, ∂}

ω

X(θ) = [ ˜

A, X(θ)] + ˜

F

˜

N

(θ) −

F (0)

ˆ˜

(76) vériantla on lusion de la proposition 5.2.

Posons

A

′

_{:= ˜}

_{A + ˆ˜}

_{F (0)}

.

•

On a bien

|| ˜

A − A

′

_{|| = ||}

_{F (0)||}

ˆ˜

, d'où lapropriété 2.

•

De plus, soit

c

la onstante donnée par le lemme 6.1, et supposons que

C

′′

_{≤ c}

. Les hypothèses(71) et(72)permettentd'appliquer lelemme 6.1ave

C =

1 (4ed)

2

pour déduire que

A

′

a un spe tre

DC

˜

N

ω

(

3κ

′

4 , τ )

d'où lapropriété 1.

•

Soit

F

′

_{∈ C}

ω

(21)

F

′

= e

−X

( ˜

_{F − ˜}

F

N

˜

_{) + e}

−X

_{F (e}

_˜

X

− Id) + (e

−X

− Id)

F (0) − e

ˆ˜

−X

X

k

_≥2

1 k!

k

−1

X

l=0

X

l

_{( ˜}

_F

N

˜

−

F (0))X

ˆ˜

k

−1−l

(77)

Nousallons appliquerlelemme6.2ave

A = ˜

A

et

G = F

′

,pourobtenirlapropriété3.La fon tion

F

′

a de bonnes propriétés de périodi itépar rapport à

L

(m

L

)

ar

X

et

F

˜

les ont. De plus, omme

F

˜

L

,

P

L

F (0)P

ˆ˜

L

′

6= 0 ⇒ P

_L

L

F P

˜

_L

L

′

∈ C

0 (T

d

)

(78) or

P

_L

L

F P

˜

_L

L

′

∈ C

0 (T

d

) ⇒ m

L

− m

L

′

∈ Z

d

⇒ P

_L

L

F

′

P

_L

L

′

∈ C

0 (T

d

₎

(79)

don l'hypothèse(51)dulemme6.2estvériée.D'aprèslelemme6.2,

F

′

adon debonnes propriétés de périodi ité par rapport à une

A

′

-dé omposition

L

′

qui est moins ne que

L

, don

L

′

est une

( ˜

A, κ

′

_{, γ)}

-dé omposition. Comme 'est une

( ˜

A, κ

′

_{, γ)}

-dé omposition, haque sous-espa e

L ∈ L

′

vérie

|| P

L

′

||≤ C

0 1+ || ˜

A

_N

_||

κ

′

!

γ

(80) don

|| P

L

′

||≤ C

0 1+ || A

′

N

|| +2˜ǫ

κ

′

γ

≤ C

0 1+ || A

′

N

||

3κ

′

4 !

γ

(81) don

L

′

est une

(A

′

_,

3κ

′

4 , γ)

-dé omposition,d'où la propriété 3.

•

La propriété 4 est donnée par laproposition 5.2.

•

L'estimationde

||F

′

_||

s

vientdel'expression(77)etdulemme6.4,quel'onpeutappliquer ave

r = ˜

r, f = ˜

F , N = ˜

N

,grâ e à l'hypothèse (72) et lapropriété 4.

6.3 Deuxième lemme indu tif

Onpeut obtenirdire tementl'étapeindu tiveen itérantdeux foisle lemmeindu tifsans renormalisation.Posons