A348. Dociles et rebelles
Un nombre entier N positif est appelé « docile » si on sait trouver deux entiers a et b positifs distincts (a > b) tels que a + b = N et la somme des chiffres de a est égale à celle de b. A contrario, l’entier N est dit « rebelle ».Par exemple, l’entier 11 est docile car 10 + 1 = 11 tandis que l’entier 10 est rebelle.
Q1 Prouver que l’entier 2014 est docile de multiples façons : 1) b est à 1 chiffre,
2) b est à 2 chiffres, 3) b est à 3 chiffres,
4) a et b sont des nombres premiers,
5) les chiffres de a et de b sont tous différents.
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers rebelles.
Q3 Trouver au moins 8 entiers rebelles pairs > 20.En existe-t-il plus de 9 ?
Les 5 premières façons dont 2014 est docile :
N a b
2014 2006 8 b : 1 chiffre 2014 1925 89 b : 2 chiffres 2014 1916 98 b : 2 chiffres 2014 1835 179 b : 3 chiffres 2014 1826 188 b : 3 chiffres + 47 autres … …
Les 3 seules façons dont 2014 est docile avec des nombres premiers :
N a b
2014 1511 503 premiers 2014 1367 647 premiers 2014 1187 827 premiers
Les 3 seules façons dont 2014 est docile avec des nombres dont tous les chiffres sont différents :
N a b
2014 1745 269 chiffres différents 2014 1538 476 chiffres différents 2014 1385 629 chiffres différents
Les 25 premiers nombres rebelles
3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 29 38 40 49 58 60 69 78 80 89 98 100
Dont les seuls 8 pairs > 20
38 40 58 60 78 80 98 100
Les suivants :
=
