A348. Dociles et rebelles

A348. Dociles et rebelles

Q1

Modulo 9 nous cherchons 2014 =a+b≡s(a+b) = 7≡s(a) +s(b) = 2s, d’où s≡8 et les sommes candidates sont 8, 17 ou 26 cars628 =s(1999).

Remarquons que la somme des unités est de la forme 1 + 3, 5 + 9, 6 + 8 ou 7 + 7.

1) 8 + 2006

2) 89 + 1925 ou 98 + 1916

3) 49 solutions parmi lesquelles 179 + 1835

4) 3 solutions : 503 + 1511 = 647 + 1367 = 827 + 1187 5) 3 solutions : 269 + 1745 = 476 + 1538 = 629 + 1385 Q2

SoitN =r9. . .9

| {z }

q

le plus petit nombre dont la somme des chiffres vaut 2n+ 1 = 9q+ravec 06r68.

SiA=aqa_q−1. . . a₀, alorsN−A= (r−aq) (9−a_q−1). . .(9−a₀).

Ainsi s(A) = s(B) entraîne 2

q

X

i=0

a_i = 9q+r : contradiction (pair à gauche, impair à droite).

Tous les nombres de la suite infinie A131668 sont donc des entiers rebelles.

Q3

Voici 8 entiers rebelles pairs > 20 : 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98 et 100. S’il en existe un autre, il est supérieur à 2 millions.

Sources Python et résultats def s u m _ d i g i t s ( n ) :

r = 0 while n :

r , n = r + n % 1 0 , n // 10 return r

N = 2014

f o r b in range(N // 2 ) :

i f s u m _ d i g i t s ( b ) == s u m _ d i g i t s (N − b ) : print( b )

>>> 8 89 98 179 188 197 269 278 287 296 314 359 368 377 386 395 404 413 449 458 467 476 485 503 512 539 548 557 566 575 602 611 629 638 647 656 665 701 710 719 728 737 746 755 800 818 827 836 845 917 926 935

Listing 1: Q1

1

f o r N in range( 2 2 , 2 0 0 0 0 0 0 , 2 ) : d o c i l e = F a l s e

f o r b in range(N // 2 ) :

i f s u m _ d i g i t s ( b ) == s u m _ d i g i t s (N − b ) : d o c i l e = True

break

i f d o c i l e == F a l s e : print(N)

>>> 38 40 58 60 78 80 98 100 Listing 2: Q3

2