Un nombre entier N positif est appelé « docile » si on sait trouver deux entiers a et b positifs distincts (a > b) tels que a + b = N et la somme des chiffres de a est égale à celle de b. A contrario, l’entier N est dit
« rebelle ».Par exemple, l’entier 11 est docile car 10 + 1 = 11 tandis que l’entier 10 est rebelle.
Q₁ Prouver que l’entier 2014 est docile de multiples façons : 1) b est à 1 chiffre,
2) b est à 2 chiffres, 3) b est à 3 chiffres,
4) a et b sont des nombres premiers,
5) les chiffres de a et de b sont tous différents.
Q₂ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers rebelles.
Q₃ Trouver au moins 8 entiers rebelles pairs > 20. En existe-t-il plus de 9 ?
Q1 : 2014 a pour somme des chiffres 7, et peut donc être somme de deux nombres, chacun de somme des chiffres 8 ou 17 :
1) 2014=2006+8
2) 2014=1916+98
3) 2014=1097+917
4) 2014=1511+503
5) 2014=1538+476
Q2 : un nombre commençant par 1 suivi d’un nombre pair (2k) de 9 est rebelle : en effet, s’il était somme de deux nombres distincts a>b, donc b<102k, il existerait c, tel que a=102k+c avec c<102k ; les chiffres de c seraient les compléments à 9 des chiffres correspondants de b, leurs différences étant impaires, et en nombre pair : la différence entre la somme des chiffres de b et celle de c serait donc paire, d’où contradiction avec le fait que les sommes des chiffres de a et b doivent être égales.
Il existe donc une infinité de nombres rebelles.
Q3 : Les nombres de 1 à 10, et les nombres pairs jusqu’à 20 sont rebelles. Prenant a=10(k+2)+i, b=10k+2+i (0≤k≤3, 0≤i≤7-k) on montre que les nombres pairs de 22 à 36, de 42 à 56 , de 62 à 76 et de 82 à 96 sont dociles : 38, 40, 58, 60, 78, 80, 98, 100 sont rebelles. De même, sont rebelles les nombres impairs à deux chiffres avec un chiffre des dizaines pair (21,..., 89). Donc, tout nombre rebelle à deux chiffres est précédé d’un nombre docile, sauf 10, 21, 41, 61 et 81.
Nous utiliserons les propriétés suivantes : si m<10p est docile, 2n*10p+m est docile, pour tout n. Si n est docile et m<10p , n*10p +2m est docile, donc tout nombre pair N n*10p≤N<(n+2)*10p est docile : il reste à étudier les cas des nombres commençant par 10, 21, 41, 61 et 81, qui n’ont pas de prédécesseur docile.
10p+1+2m avec 2m<10p+1 est docile : pour m≤5 : a=6*10p+m-1, b=4*10p +m+1.
Pour 10k≤2m<10k+1, et 1≤k≤p, a=10p+1+i, b=10k+i avec i=m-10k/2<45*10k-1 Tout nombre pair N commençant par 1 (10p+1<N<10p+2 , p≥1) est donc docile (en particulier commençant par 10), et pour n=1 à 4, 2n*10p+2+N est docile, ce qui règle le cas des nombres commençant par 21, 41 61 et 81.
Il n’y a que huit nombres pairs rebelles, tout nombre pair supérieur à 100 étant docile
