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NOTES DE COURS (PHQ260)

Professeur : Denis Morris Coordonnateur : Guy Bernier

Département de physique Faculté des Sciences

Université de Sherbrooke

©Guy Bernier 2019

1.1 La résistance et la loi d'Ohm . . . 3

1.2 Puissance : eet Joule . . . 5

1.3 Circuit de résistances en série . . . 6

1.4 Circuit de résistances en parallèle . . . 6

1.5 Diviseur de potentiel . . . 7

1.6 Diviseur de courant . . . 8

1.7 Les sources . . . 8

1.8 Les instruments de mesure . . . 9

1.8.1 Le galvanomètre d'Arsonval . . . 9

1.8.2 L'ampèremètre . . . 10

1.8.3 Le voltmètre . . . 11

1.9 Éléments d'analyse des circuits et lois de Kirchho . . . 12

1.9.1 Théorème de Thévenin . . . 12

2 CIRCUITS ET INSTRUMENTS À COURANT ALTERNATIF (CA) 14 2.1 Ondes sinusoïdales . . . 14

2.2 Composants de base en électronique et impédances complexes . . . 16

2.2.1 Condensateur et Capacité . . . 17

2.2.2 Bobine et Inductance. . . 18

2.3 Circuit et ltre RC . . . 20

2.4 Circuits et ltres RLC . . . 23

3 CIRCUITS EN RÉGIME TRANSITOIRE 26 3.1 Circuit RC . . . 26

3.2 Circuit RLC série : solution transitoire . . . 28

4 CIRCUIT ÉLECTRIQUE RLC RÉSONNANT 33 5 DIODES : PRINCIPES ET APPLICATIONS 38 5.1 Introduction . . . 38

5.2 Modélisation grand signal dans le cas d'une diode idéale . . . 40

5.3 Modélisation petit signal dans le cas d'une diode idéale polarisée en directe 41 5.4 Applications. . . 42

5.4.1 5) Diode Zener : Régulation de tension . . . 47

6 AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL 48 6.1 Caractéristiques de base de l'ampli-op et rétroaction . . . 48

6.2 Applications de circuits à ampli-op . . . 50

6.2.1 AMPLIFICATEUR INVERSEUR . . . 50

6.2.2 AMPLIFCATEUR NON-INVERSEUR. . . 51

PHQ260 Notes de cours

Ces notes de cours ont été préparées à l'intention des étudiantes et des étudiants inscrits au cours PHQ-260 du programme de physique. Les notions qui y seront présentées vous seront utiles pour la compréhension des expériences qui touchent directement les circuits électriques ; en courant continu et en courant alternatif. De plus, ce sont les notions exposées ici qui seront à la base de la compréhension du principe de fonctionnement des multiples appareils de mesure que vous utiliserez lors des autres expériences.

1 CIRCUITS ET INSTRUMENTS À COURANT CONTINU (CC)

1.1 La résistance et la loi d'Ohm

Si on applique une diérence de potentiel électrique entre le point a et le point b,V =V_a−V_b avec (Va> Vb) un écoulement de charge ^dQ_dt , appelé courant électrique I, va se produire :

I = dQ

dt [coul/s=amp] (1)

La diérence de potentiel V est mesurée en volt (joule/coulomb).

Le courant conventionnel (positif) est déni par la direction de l'écoulement de charge du potentiel élevé vers le potentiel plus faible : on parle ici de charges positives. Le courant réel (électrons) est dans la direction opposée à ce courant conventionnel.

a Q Vb-

Va

E b + I

Figure 1

Pour obtenir un courant constant dans un conducteur, on doit maintenir la diérence de potentiel à l'aide d'une force électromotrice (fem) : celle-ci peut consister en une pile, un générateur ou une alimentation électronique à courant continu. La situation idéale est sché- matisée à la gure suivante :

R V

A a

b I

ε

+ +

- -

Figure 2

La source de fem εmaintient un courant I, mesuré par l'ampèremètre (A), passant du point a au point b : la diérence de potentiel entre a et b est mesurée par le voltmètre (V). Si on change la fem ε, on établit un nouveau courant I et on observe que le rapport de la diérence de potentiel sur le courant est constant :

(V_a−V_b)₂

I₂ = (V_a−V_b)₁

I₁ =constante

Cette constante est appelée résistance électrique entre les points a et b, on établit ainsi la loi d'Ohm :

(Va−V_b)

I = 4V_ab

I =R (2)

R possède les unités [Volt/ampère = ohm]. Pour une résistance, la relation entre le courant et la tension est linéaire.

Notions avancées

En physique du solide, on montre que le transport des charges dans un métal en présence d'un champ électriqueE est limité par les collisions inélastiques au sein du matériau. Si les charges perdent leur momentum entre chaque collision, leur vitesse moyenne sera constante et donnée par v_d=µ·E, où la constante de proportionnalitéµest appelée mobilité. Si n est la densité d'électrons, la densité de courantJ s'écrit alors comme suit :

J =e·n·v_d=e·n·µ·E=σ·E

Le paramètreσcorrespond à la conductivité du matériau. Pour un barreau uniforme d'aire A et de longueur l, on a que J =I/AetE =V /l. Il est aisé de montrer que la résistance de ce barreau est alors donnée par R =ρl/A, où ρ = 1/σ est la résistivité intrinsèque du matériau.

Dans le cas particulier d'une résistance de type couche mince, d'épaisseur t, de largeur w, et de longueur l, la résistance peut s'écrire comme ceci :

R= ρ t

l w =R_s

l w

où R_s correspond à la résistance de couche (exprimée en Ω/, avec=l/w).

Aspects pratiques

Il existe plusieurs types de résistance adaptée à des applications électroniques spéciques.

Elles sont utilisées comme charges ou comme éléments de contre-réaction dans les ampli- cateurs. Associées à des condensateurs, ils dénissent les constantes de temps des ltres.

On les utilise pour régler les courants de fonctionnement et le niveau des signaux. Dans les circuits de puissance, les résistances sont également utilisées pour dissiper de la puissance, pour mesurer des courants ou pour décharger des condensateurs lorsque l'alimentation est coupée. Dans les circuits de précision, elles sont utilisées pour déterminer des courants, pour établir des rapports de tension exacts et pour xer des valeurs de gain précises.

Dans les circuits à fréquence radio, elles servent souvent de mandrins pour le bobinage d'inductances.

L'unité de la résistance est le ohm (Ω). La valeur des résistances varie typiquement de10⁻² à 10¹²Ω avec des tolérances de 0.005% à 20% et des puissances associées allant de 1/8 à 250 W. Les résistances peuvent être faites d'un alliage de carbone, de couches métalliques, de ls bobinés sur un mandrin ou encore d'éléments semiconducteurs comparables à des transistors à eet de champ. Le modèle le plus répandu est la résistance au carbone de ¼ ou

½ W, en valeurs standard de1Ω à100MΩ, avec des tolérances de 5% ou 10% (le code des couleurs de ces résistances peut être trouvé aisément sur le WEB, notamment sur le site de Wikipédia). Les résistances ne sont pas des éléments parfaits : les valeurs de résistance sont sensibles à la température, à l'humidité et à la tension ; les résistances peuvent également présenter une composante inductive (gênante pour les applications à haute fréquence).

1.2 Puissance : eet Joule

Une diérence de potentiel suppose l'existence d'un champ électrique qui accélère les charges électriques ; celles-ci perdent leur énergie cinétique par collisions inélastiques dans le maté- riau. Cette énergie dissipée produit une augmentation de température mesurable ; de la puissance électrique est alors dissipée lorsqu'on force un courant dans un matériau résistif.

Le travail fait sur la chargeQpour l'amener du point a au point b estW =V Q; la puissance fournie est donc donnée par :

P = dW

dt =VdQ

dt =V I (volt·amp=watt) (3)

En utilisant la loi d'Ohm, on obtient :P =V I =RI² =V²/R.

1.3 Circuit de résistances en série

a

a

c b b

d

I I

V

R1 R^éq

I1

I2

I3

R2

R3

+ ++

+

-

- - -

V

+

Figure 3

Les éléments du circuit étant en série, toute charge électrique passant de a→b doit passer de b → c et de c → d; le courant est donc le même partout, I₁ = I₂ = I₃. Comme la diérence de potentiel entre deux points doit être indépendante du chemin parcouru, on doit avoir :

V =V_ad =V_ab+V_bc+V_cd

On peut appliquer la loi d'Ohm à chaque résistance car le travail fait pour déplacer une charge entre deux points est additif.

V =R₁I₁+R₂I₂+R₃I₃ V = (R1+R2+R3)I =R_´eqI R_´eq=R1+R2+R3=

3

X

i=1

Ri (4)

On peut donc remplacer le circuit réel par le circuit équivalent comprenant une seule résis- tance R_eq´ . Le courant fourni par la source est le même dans les deux circuits.

1.4 Circuit de résistances en parallèle

a

b I

I

I

I

R

R

R

V

Figure 4

Puisque la diérence de potentiel entre les points a et b est indépendante du parcours choisi, on aV =V_ab.

V_ab =V =R₁I₁=R₂I₂ =R₃I₃

Comme il y a conservation de la charge :I =I₁+I₂+I₃ I = V

R1

+ V R2

+ V R3

=V 1

R1

+ 1 R2

+ 1 R3

I = V R_´eq

1 R_eq´ = 1

R₁ + 1 R₂ + 1

R₃ (5)

On obtient ainsi le circuit équivalent :

a

b I

R

V +

Figure 5 1.5 Diviseur de potentiel

a R¹ R₂ R_X R_N b

V

+

Figure 6

Comme les résistances sont en série, le courant est le même dans chacune de ces résistances.

La résistance équivalente série estR_´eq=

N

P

i=1

R_i =R_ab, et le courant s'obtient par I = _R^V

´ eq. Par la loi d'Ohm :

V_x =IR_x V =IR_´eq

Le ratio entre ces équations permet de trouver aisément la tension aux bornes d'une résis- tance particulière :

V_x=V R_x

R_´eq

0< x≤N (6)

On dira que la tension totale se divise entre les diérents éléments du circuit selon le ratio de la résistance d'un élément sur la résistance totale du circuit.

1.6 Diviseur de courant

I

I1 I₂

1

T

R R₂

V ⁺

Figure 7

On a eectivement deux résistances en parallèle : la résistance équivalente est :_R¹_eq´ = _R¹

1+_R¹

2

De plus,

IT = V

R_´eq I1= V R1

=IT

R_´eq R1

I1=IT

1/R₁ 1/Req´

et I2 =IT

1/R₂ 1/R´eq

On dira que le courant total se divise entre les éléments du circuit selon le ratio de l'inverse de la résistance d'un élément sur l'inverse de la résistance équivalente.

1.7 Les sources

Les sources d'énergie électrique usuelles sont d'origine électromécanique (générateur à tur- bine avec alternateur) ou électrochimique (piles alcalines). Dans l'analyse de la plupart des circuits contenant des composants linéaires (dont la caractéristique I-V est linéaire), on considère souvent les sources comme idéales.

Une source idéale de tension fournit une tension constante, et ce indépendamment de la résistance de charge que l'on cherche à alimenter. Une source réelle d'énergie convertit tou- jours un peu de son énergie en chaleur. On tient compte de cette dissipation d'énergie en ajoutant une résistance de source R_S en série avec la source idéale de tension.

V

V V

R

(a) Circuit équivalent d’une

source de tension idéale (b) Circuit équivalent d’une source de tension réelle Figure 8 Sources de tension idéale et réelle.

Une source idéale de courant fournit un courant constant, et ce indépendamment de la résistance de charge. Le circuit équivalent d'une source réelle de courant est obtenu en ajoutant une résistance de source RS en parallèle avec la source idéale.

I

I

I

(a) Circuit équivalent d’une

source de courant idéale (b) Circuit équivalent d’une source de courant réelle

I

R

Figure 9 Sources de courant idéale et réelle.

1.8 Les instruments de mesure 1.8.1 Le galvanomètre d'Arsonval

Le galvanomètre consiste simplement en un cadre rectangulaire sur lequel sont enroulées des spires de l non-magnétique très minces (cf. gure 10) ; ce cadre est placé entre les pièces polaires d'un aimant permanent. Les deux extrémités du bobinage sont reliées à des ressorts en spirale montés sur pivot éliminant le frottement. Les extrémités libres des deux ressorts sont reliées aux bornes de l'appareil. Une aiguille xée au cadre se déplace sur une échelle graduée.

Lorsqu'on applique une diérence de potentiel, un courant circule dans l'enroulement du cadre qui est alors soumis à un couple de force électromagnétique qui le fait tourner d'un angle proportionnel à l'intensité du courant. Étant donné que le sens de rotation dépend du sens du courant dans la boucle du cadre mobile, il faut respecter la polarité aux bornes d'entrée sinon l'aiguille frappera une butée pour un courant de mauvais sens.

Un galvanomètre est conçu pour mesurer un courant maximum correspondant à une dé- exion maximale de l'aiguille sur le cadran. La sensibilité du galvanomètre correspond donc à cette intensité de courant I_m qui donne la déviation maximale pleine échelle ; le galvano- mètre est aussi caractérisé par sa résistance interne R_m (nombre de spires du bobinage) : des valeurs typiques pour un appareil Simpson 260 ou 270 sont 50μA et 5000Ω.

ressort

Figure 10 Galvanomètre d'Arsonval (Wikipédia) 1.8.2 L'ampèremètre

On peut construire un ampèremètre à l'aide d'un galvanomètre : si on veut mesurer un courant supérieur àIm, on doit faire dévier une partie du courant dans une branche parallèle et recalibrer de façon appropriée.

R

I a + b

R

I

Figure 11 Galvanomètre d'Arsonval (Wikipédia)

Exemple : On veut mesurer un courant de 1 mA et le faire correspondre à une déexion maximale du galvanomètre (Simpson 260).

I_m = 50μAetR_m= 5000Ω: quelle résistance R_SH faut-il utiliser ? I = 10⁻³ =Im+ISH

10⁻³= 50×10⁻⁶+I_SH ISH = 0.95×10⁻³ = 950µA Montrer que R_SH = 263 Ω.

Pour une déexion maximale de 1 mA, on a donc le circuit suivant :

5000 Ω

I

0 0.5 1mA

263 Ω

+

Figure 12

Pour mesurer un courant, on ouvre le circuit électrique et on installe l'ampèremètre en série avec la bonne polarité ; on utilise l'échelle de courant maximum lorsque l'ordre de grandeur du courant est inconnu. L'ampèremètre idéal est celui qui a une résistance nulle de sorte que tout ampèremètre réel introduit toujours une erreur de mesure par rapport à la vraie valeur de courant en l'absence d'ampèremètre.

1.8.3 Le voltmètre

On peut aussi mesurer une diérence de potentiel à l'aide du galvanomètre ; on utilise alors le circuit suivant :

RS

a

b

RM

V ⁺

+ I

Figure 13

SoitV, la tension à mesurer entre les points a et b avec le galvanomètre de résistance interne R_m; on doit placer une résistance en série R_S de façon à s'assurer que l'on ne dépasse pas le courant maximum du galvanomètre. Supposons que l'on désire calibrer le galvanomètre pour une tension V =Vm = 1volt.

V ∝I et (RS+Rm)Im

R_S = (Vm−RmIm) I_m = Vm

I_m −Rm

avec V_m= 1V =⇒ R_S= 1V

50×10⁻⁶A −5000 Ω = 15000 Ω

Pour 1 Volt, on aura une déexion maximale pour un courant de 50μA. La résistance interne de voltmètre est (R_S +R_m) et elle dépend de la tension que l'on veut mesurer. On dénit le rapport :

1

I_m =SN (7)

qui est l'inverse de la sensibilité en courant ou la sensibilité nominale SN. Ainsi la résistance interne du voltmètre, pour une gamme de tension maximale (Vgamme) sera égale à :

R_in=R_S+R_m=V_gamme×SN

Un voltmètre est branché en parallèle dans un circuit avec la bonne polarité. Un voltmètre idéal a une résistance innie de telle sorte à faire passer peu de courant dans celui-ci pour la mesure de tension. Plus la résistance est élevée, plus la valeur mesurée est précise.

1.9 Éléments d'analyse des circuits et lois de Kirchho

L'analyse d'un réseau de composants passifs¹ alimenté à l'aide de sources de courant et de tension repose sur deux règles physiques fondamentales :

1. la loi de conservation de la charge. Cette loi, aussi appelée la loi de Kirchho des courants, s'énonce ainsi : la somme des courants entrant en un point d'un circuit est égale à la somme des courants sortant de ce point . La méthode de résolution des équations d'un réseau de composants utilisant cette loi s'appelle la méthode des noeuds.

2. la somme de toutes les chutes de tension le long d'une boucle fermée doit toujours être nulle. Ce dernier énoncé correspond à la loi des tensions de Kirchho. La méthode de résolution des équations d'un réseau de composants utilisant cette loi s'appelle la méthode des boucles.

1.9.1 Théorème de Thévenin

Les lois de Kirchho peuvent également être utilisées an de trouver un circuit équivalent simple à un réseau complexe de piles et de résistances.

RL

RTh

RL

VTh

Ensemble de piles et de résistances

Figure 14 Équivalent Thévenin.

1. Les composants électroniques dans lesquels la puissance dissipée est positive (comme la résistance) ou nulle (comme le condensateur et l'inductance) sont appelés des composants passifs. Un transistor est un exemple de composant actif.

Cette transformation correspond au théorème de Thévenin qui peut s'énoncer ainsi : on peut remplacer tout réseau de résistances et de sources relativement à une paire de bornes (ici la résistanceRL) par une source de tensionVT h en série avec la résistanceRT h vue entre ces bornes.

Considérant cette équivalence de circuits, la tension de Thévenin doit forcément être égale à la tension à vide du circuit (i.e. la tension aux bornes deRLavecRL→ ∞, soit pourI = 0).

Cette valeur peut être calculée en utilisant les lois de Kirchho mais expérimentalement, on l'obtient ainsi :

V_{T h}= tension aux bornes de sortie avecRL→ ∞, i.e. à circuit ouvert

La résistance de Thévenin correspond à celle du circuit encadré lorsque l'amplitude des sources est nulle (on remplace chaque source de tension par un l ou court-circuit, et on ouvre chaque source de courant. Cette résistance peut être calculée en utilisant les lois de Kirchho mais expérimentalement, on l'obtient à partir de VT h connu et de la mesure du courant en court-circuit (pour R_L= 0) :

RT h =VT h/Icc où cc signie court-circuit, i.e. avec RL= 0 ou

R_{T h} = valeur deR_L(boite à décades) qui donneV_{T h}/2 à la sortie

La seconde méthode est à privilégier car on évite toujours de mettre une résistance à zéro dans un circuit (pour éviter que I augmente trop).

2 CIRCUITS ET INSTRUMENTS À COURANT ALTER- NATIF (CA)

2.1 Ondes sinusoïdales

Une tension est alternative si elle oscille entre deux valeurs xes en fonction du temps ; la forme la plus usuelle est la cosinusoïdale. L'équation la plus générale pour représenter une telle tension est :

V =V₀cos (ωt+φ)

Une telle onde peut être générée par la variation de la projection verticale d'un vecteur tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à la vitesse angulaireωautour d'un point xe central : φreprésente le déphasage du signal relativement au tempst= 0.

V(ωt+φ)

ωt

Phase (rad)

φ

φ

-0.5

t=0

Figure 15

Une révolution complète est appelée cycle et l'intervalle de temps pour un cycle, période T = ¹_f (f = fréquence en Hertz [cycles/s],ω= fréquence angulaire [radians/s]). La longueur du vecteur tournant estV0. Si deux ondes sinusoïdales ayant la même fréquence passent par zéro à des temps diérents, elles sont dites déphasées :

V

-0.5

ωt

ωt

t₂ t₁

V² V₂

V

V 1

φ

t₄ t₃

φ

Figure 16 V₁=V₀cos(ωt)

V₂=V₀cos (ωt+φ)

On remarquera que la tension V2 passe par zéro à un tempst2 >0 maist2 est antérieur au tempst₁. On dira que V₂ a une avance de phase deφ surV₁.

φ=ω(t1−t2) = 2π(t1−t2) (t₃−t₁) (t₃−t₁) = (t₄−t₂) = 1

f

L'angle de phase et la fréquence peuvent être mesurés directement sur l'oscilloscope. On ne peut parler de déphasage que si l'on compare deux ondes de même fréquence. Une autre façon de mesurer le déphasage est l'obtention des gures de Lissajous (à voir au laboratoire).

Notez que la valeur moyenne d'un signal purement sinusoïdal est égale à zéro. Malgré cela, ce signal peut tout de même transporter de l'énergie (ou fournir une certaine puissance à une charge). Pour cette raison, on utilise souvent la notion de valeur ecace ou RMS (root- meansquare) pour désigner la valeur moyenne d'un signal alternatif. Dans le cas d'un courant alternatif, sa valeur RMS est égale au courant continu produisant le même chauage (dans une résistance R, par exemple). La valeur RMS de ce courant est dénie ainsi :

I_{RM S} = v u u u t 1 T

T

Z

0

[I(t)]²dt (8)

La puissance moyenne dissipée dans une résistance parcourue par ce courant alternatif est alors :

P = I²R

cycle≡ 1 T

T

Z

0

RI²dt

Pour I =I₀cosωt

P = 1 TRI₀²

T

Z

0

cos²(ωt)dt= RI₀² T ·T

2 = RI₀² 2 On a donc :

RI₀²

2 =I_CR I_C =I_{RM S} =

I₀/√ 2

(9) Si on a :

I =I0cos (ωt+φ) V =V₀cos(ωt)

La puissance instantanée est dénie ainsi :P_inst =V·I. Elle est positive ou négative. Lorsque Pinst < 0, le circuit donne de l'énergie. On montre facilement que la puissance s'exprime ainsi :

Pmoy= 1 T

T

Z

0

V I dt=VRM SIRM Scosφ

Ceci implique que la puissance utile dans un circuit dépend non seulement du courant et de la tension, mais aussi de la diérence de phase.

Notation des phaseurs

Un signalV0cos(ωt+φ)peut être représenté sous forme exponentielle parRe

nV˜ =V0e^iφ·e^iωt o

. Cette représentation est pratique car la réponse d'un circuit linéaire à une excitation sinu- soïdale demeure sinusoïdale et de même fréquence, mais d'amplitude et/ou de phase dif- férentes. Le seul terme essentiel pour l'analyse d'un circuit linéaire est donc l'amplitude complexe V₀e^iφ = V₀∠φ que l'on appellera un phaseur. Ce phaseur est l'équivalent d'un vecteur d'amplitude V0 dans le plan complexe. Les axes X et Y de ce plan correspondent aux axes réel et imaginaire, respectivement, et φest l'angle que fait ce vecteur par rapport à l'axe réel positif.

2.2 Composants de base en électronique et impédances complexes

Les composants électroniques dans lesquels la puissance dissipée est positive ou nulle sont appelés des composants passifs ; les autres types de composants sont dits actifs. La résistance, le condensateur, l'inductance et la diode sont tous des composants passifs, tandis que le transistor, l'amplicateur opérationnel et les sources sont des composants actifs.

Le rapport V /˜ I˜ entre courant et tension aux bornes d'un composant donné est appelé l'impédance, désignée parZ. L'admittance (notéeY) correspond au rapport inverse. L'unité de l'impédance est le ohm (Ω). L'impédance d'un composant est un nombre complexe : sa

partie réelle correspond à la résistance (R) tandis que sa partie imaginaire correspond à la réactance (X ) de ce composant. Ainsi Z =R+iX.

La résistance, le condensateur et l'inductance sont tous des composants pour lesquels l'im- pédance est simplement une constante pour une excitation purement sinusoïdale. Ce type de composants est dit linéaire : si on double l'amplitude du courant traversant le composant, la tension aux bornes de celui-ci doublera. Toutefois contrairement à la résistance, le conden- sateur et l'inductance sont des composants qui réagissent au signal électrique d'excitation.

Leur caractéristique courant-tension fait intervenir des dérivées par rapport au temps. On appelle ces composants des éléments réactifs. La réactance (X) dépend de la fréquence de l'onde excitatrice. La description de ces composants réactifs est présentée plus en détails dans les sections qui suivent.

2.2.1 Condensateur et Capacité

La charge sur les plaques d'un condensateur est donnée par : Q = CV avec l'unité farad pour C (la capacité du condensateur).

+Q -Q V

Figure 17 Pour une diérence de potentiel cosinusoïdale, on aura :

V =V0cos(ωt) puisque I =CdV dt I =−ωCV₀sin(ωt)

I = +ωCV₀cos (ωt+π/2) I/ωC =V0cos (ωt+π/2)

On note que le courant est sinusoïdal mais en avance de phase de 90 degrés par rapport à la tension.

En notation complexe on peut écrire :

V˜ =V₀e^iωt ; I˜=iωCV₀e^iωt=ωCV₀e^i(ωt+π/2) L'impédance capacitive devient donc : Z= ^V˜_˜

I = _iωC¹ =−iX_C

avec X_C la réactance capacitive (Ω). Notons aussi que le rapportV /˜ I˜est indépendant du temps. Finalement, remarquons que la puissance Pmoy au cours d'un cycle est nulle aux bornes d'un condensateur car il y a un déphasage deπ/2 entre la tension et le courant.

Condensateur en série et en parallèle

En utilisant la dénition de la capacité il est facile de montrer que la capacité équivalente à deux condensateurs placés en série est :

C´eq= 1

1 C1 +_C¹

2

(10) tandis que celle associée à deux condensateurs placés en parallèle est :

C´eq=C1+C2 (11)

Aspects pratiques

Les condensateurs sont des composants essentiels dans presque tous les circuits de trai- tement des signaux. Ils sont utilisés pour la création de forme d'ondes, le ltrage, les applications de blocage et de découplage des signaux. On les utilise également dans les intégrateurs et les diérentiateurs.

Les condensateurs disponibles sur le marché sont extrêmement variés. Ils sont générale- ment construits à l'aide de deux plaques métalliques séparées par un isolant. Les diérents condensateurs se distinguent essentiellement par le type d'isolant utilisé dans leur fabrica- tion. Les isolants couramment utilisés sont : le mica, la céramique, le mylar, diérents types de polymère, le verre, la porcelaine, le tantale, diérents types d'huile ou d'électrolyte et le vide. On choisit le type de condensateurs en fonction de l'application spécique à remplir (bonnes tenues en haute tension, bonnes caractéristiques en haute fréquence, etc.). L'unité de la capacité est le farad (F). Dépendant du type d'isolant utilisé, la gamme de capacité va de 0.1 pF jusqu'à 10 F, avec des tensions de claquage variant de quelques Volts à quelques dizaines de kV. Notez que la valeur de la capacité est généralement indiquée sur le compo- sant commercial. Les condensateurs sont loin d'être des composants parfaits, ils peuvent présenter les problèmes suivants : courant de fuite, stabilité en température, stabilité à long terme (dégradation de l'isolant ou des électrodes), résistance série, caractéristiques variables avec la fréquence, etc.

2.2.2 Bobine et Inductance

Tout l dans lequel circule un courant électrique produit un champ magnétique et toute variation du champ magnétique due au changement de courant induit une fem dans le circuit :

V =LdI

dt L=Inductance(son unité est le Henry)

I

Figure 18

La fem induite agit de façon à s'opposer à tout changement de courant duquel elle dépend directement. Pour une tension cosinusoïdale, V =V₀cosωt, le courant est donné par :

I = 1 L

Z

V0cos(ωt)dt= V0

ωLsin(ωt) = V0

ωLcos (ωt−π/2) En notation complexe :

I˜= 1 L

Z

V0e^iωtdt= V₀

iωLe^iωt= V₀

ωLe^{i(ωt−π/2)} L'impédance inductive devient donc :

Z = V˜

I˜ =iωL=iX_L (12)

avecXL, la réactance inductive de la bobine. Cette fois le courant est donc en retard de phase de 90 degrés par rapport à la tension. Encore ici, le rapport tension/courant est indépendant du temps et l'on pourra utiliser les règles des circuits en courant continu pour traiter des circuits électriques en courant alternatif. Finalement, notons encore que la puissance Pmoy

au cours d'un cycle est nulle aux bornes d'une inductance car un déphasage de π/2 existe entre la tension et le courant d'une bobine.

Aspects pratiques

Souvent utilisée dans les circuits de traitement des signaux, l'inductance est toutefois sur- tout utilisée comme composant de base des transformateurs.^aL'inductance est constituée un enroulement de ls autour d'un noyau magnétique. Le rôle du noyau est d'accroitre l'inductance de la bobine. Le noyau le plus fréquemment utilisé est le fer (ou des alliages de fer) et sa forme est généralement celle d'un barreau ou d'un tore.

a. Un transformateur est un appareil composé de deux bobinages couplés (appelés primaire et secon- daire) qui permet de transformer l'amplitude d'une tension alternative par un facteur qui dépend du rapport du nombre de tours des enroulements.

En conclusion à cette section sur les impédances des composantes de base des circuits, mentionnons qu'on peut représenter l'impédance de chacun des éléments R, L et C par un vecteur dans le plan complexe comme illustré ci-dessous.

ω R

-1 L

ω_C

Figure 19 2.3 Circuit et ltre RC

R C

V

V

Figure 20

Soit VS = V0cos(ωt). On s'intéresse pour ce type de ltre à la fonction de transfert (le gain) entre l'entrée (signal de source V_S) et la sortie (signal aux bornes de V_R) ; celle-ci est dénie comme : F =

V˜_R/V˜_S

. C'est la dépendance en fréquence de cette fonction de transfert dénit la propriété de ce ltre. Commençons par dériver cette fonction en utilisant les impédances complexes et la notation phaseur . Ainsi le phaseur du courant circulant dans ce circuit est :

I˜_C = V˜_S

Z_T = V₀

R−i/ωC = V₀ωC RωC−i

En multipliant par le complexe conjugué au numérateur et dénominateur de cette fonction on obtient :

I˜_C = V₀(R(ωC)²+iωC) (RωC)²+ 1 La tension de sortie s'écrit alors :

V˜_R= ˜I_C ·R= V₀(R(ωC)²+iωC)

(RωC)²+ 1 ·R= V₀(ωRC)×(ωRC+i) (RωC)²+ 1

Le déphasage φ entre le signal V_R(t) et V_S(t) est simplement donné par l'orientation du phaseur dans le plan complexe :

tan (φ) = Imh

V˜_Ri Reh

V˜_Ri = 1

ωRC (13)

Notons les limites asymptotiques de cette fonction :

pour ω→0, le déphasageφ=π/2. pour ω→ ∞, le déphasageφ= 0. La fonction de transfert (gain) de ce ltre est :

F =

V˜_R V˜_S

=

qV˜RV˜_R^∗ V₀ =

(ωRC)

(ωRC)²+ 11/2

(ωRC)²+ 1 = ωRC h

1 + (ωRC)²i1/2 (14) Notons que le gain tend vers 1 à très hautes fréquences (ω→ ∞) et vers zéro à très basses fréquences (ω →0). Ceci correspond à un ltre passe-haut en tension.

La fréquence de coupure du ltre correspond à la fréquence angulaire ω_C pour laquelle le gain chute de 1/√

2par rapport au gain maximum. Si on résout pour : F(ω_c) = 1

√2 = ω_cRC h

1 + (ω_cRC)²i1/2 , on obtient ω_c= 1

RC et f_c= 1

2πRC (15) L'allure des fonctions de transfert (gain) et du déphasage en fonction de la fréquence sont données ici :

1/ 2 1

c RC

ω =

c RC1

ω =

ωRC [log] ωRC [log]

Gain Déphasage (rad)

1 5 10 50 1 5 10 50

0.5 0.5

0.2

0.4 0.5

1.0 1.5

0.6 0.8 1.0

0.1 0.1

2 π

4 π

Figure 21

On obtient un ltre passe-bas en récupérant la tension sur le condensateur au lieu de la résistance tel qu'indiqué à la gure ci-dessous.

Req

R

C

VS _I V_C

Figure 22

Exercice : Utiliser les impédances complexes pour montrer que la fonction de transfert (gain) de ce ltre est donnée par l'expression suivante :

F =

V˜C

V˜_S

= 1

h

1 + (ωRC)²i1/2

Pour ce circuit, il est facile de vérier que le gain tend bien vers 1 à très basses fréquences ω → 0 et vers zéro à très hautes fréquences ω → ∞, ce qui est caractéristique d'un ltre passebas.

Résolution avec la notation réelle dans l'espace du temps

Analysons maintenant la réponse en fréquence de ce ltre passe-bas en utilisant la nota- tion réelle (espace du temps) pour représenter les signaux en tension. Appliquons la loi de Kirchho pour la boucle fermée de ce circuit.

V_S−RI_C−V_C = 0 avec V_S =V₀cos(ωt) et V_C = Q_C C

Dérivons cette équation par rapport au temps pour obtenir une équation diérentielle où n'apparait que le courant :

−ωV₀sin (ωt)−RdI_C dt −I_C

C = 0 En réarrangeant les termes on a :

dIC

dt + IC

RC = −ωV₀

R sin (ωt)

C'est une équation diérentielle du 1^er ordre à résoudre pour trouver la solution. On peut poser une solution possible sous la forme d'une fonction harmonique :

I_C =I₀cos (ωt+φ), avec I₀ etφà déterminer En insérant cette solution dans l'équation diérentielle, on obtient :

−I₀ωsin (ωt+φ) + I₀cos (ωt+φ)

RC = −ωV₀

R sin (ωt)

On peut développer le sinus et le cosinus de la somme de deux angles pour obtenir ceci :

−I₀ω[sin (ωt) cos (φ) + sin (φ) cos (ωt)]+ I₀

RC [cos (ωt) cos (φ)−sin (ωt) sin (φ)] = −ωV₀

R sin (ωt) On aura une solution possible si les deux égalités suivantes sont satisfaites :

=⇒

−I₀ωsin (φ) + _RC^I0 cos (φ)

cos (ωt) = 0 −I_oωcos (φ)−_RC^I0 sin (φ)

sin (ωt) = ^−ωV_R⁰ sin (ωt)

La première équation est satisfaite si : ωsin (φ) = _RC¹ cos (φ) ⇒ tan (φ) = _ωRC¹ , ce qui permet de déterminer l'inconnue φ de la solution posée au départ. Remarquez aussi qu'en utilisant les impédances complexes pour C etR, on peut aussi écrire :

cos (φ) = R q

(1/ωC)²+R²

= ωRC

q

1 + (ωRC)² La seconde équation est satisfaite si :

I₀

cos (φ) + 1

ωRC sin (φ)

= V₀ R

=⇒ I₀cos (φ)

1 +tan (φ) ωRC

= V₀

R =I₀ ωRC q

1 + (ωRC)²

1 + 1 (ωRC)²

En isolant, on peut alors trouver l'expression de l'autre inconnueI₀ de la solution posée :

I0 = V0

R q

1 + (ωRC)² ωRC

"

(ωRC)² (ωRC)²+ 1

#

= ωCV0

q

1 + (ωRC)² Par conséquent, la solution posée au départ peut se réécrire ainsi :

IC = ωCV0

q

1 + (ωRC)²

cos (ωt+φ)

Remarquer que l'amplitude de tension aux bornes de C est : VC0 = |Z_C|I0 = _ωC^I0 =

V0

√

1+(ωRC)², et l'on retrouve bien la fonction de gain trouvée précédemment en utilisant la notation des phaseurs, soit : ^V_V^C0₀ = √ ¹

1+(ωRC)²

2.4 Circuits et ltres RLC

Dans le circuit suivant, l'équivalent parallèle inductance et condensateur a comme eet de couper à la fois les composantes hautes et basses fréquences du signal d'excitation. Seule une bande de fréquence centrée autour de la fréquence de résonance du circuit pourra être transmise entre l'entrée et la sortie. On appelle ce type de circuit un ltre passe-bande.

R

C

S L

V (t) V (t)o

Figure 23 Filtre passe-bande

On peut deviner l'allure de la fonction de transfert de ce ltre simplement en analysant le comportement asymptotique des impédances L et C (qui sont en dans la branche de sortie) :

pourω→0, Z_L→0etZ_C → ∞, doncV_o=Z_L

CI →0, pourω→ ∞, Z_C →0etZ_L→ ∞, doncV_o =Z_L

CI →0 Finalement à fréquence nie, l'impédance équivalente Z_L

C est 6= 0 et la tension de sortie V06= 0. On obtient bien alors une fonction de transfertF =

V˜o/V˜S

de type passe-bande : le gain s'annule en haute et basse fréquences et passe par un maximum à la fréquence de résonance du ltre.

Dérivons l'expression de la fonction de transfert (gain) de ce ltre. Commençons par écrire l'équation du diviseur de potentiel entre R et l'équivalentCL.

V˜_o = V_S(Z_C Z_L)

R+ (ZCZL) = V_SZ_´eq R+Z´eq

= V_S

1 +_Z^R

´ eq

avec :

1 Z_´eq = 1

Z_L + 1 Z_C = 1

iωL+ iωC

1 = 1−ω²LC iωL Notons immédiatement qu'à ω= ^√1

LC =ω0, on aZ_´eq→ ∞ ⇒ Vo=VS et le gain = 1.

En remplaçant l'expression de l'impédance équivalente dans l'équation de la tension de sortie, on obtient :

V˜o= VS

R

1−ω²LC iωL

+ 1

= VS

1−i_ωL^R(1−ω²LC) ≡ VS

h

1 + _ωL^R2

(1−ω²LC) i1/2

∠φ La fonction de transfert (gain) est :

F =

V˜_o V˜S

= 1

h

1 + _ωL^R2

(1−ω²LC)²

i1/2 (16) Notons que le gain tend vers 1 à la fréquence de résonanceω₀ = 1/√

LC et vers 0 aux très hautes fréquences (ω→ ∞) et aux très basses fréquences (ω→0). Ceci correspond à un ltre passe-bande en tension.

ω

Gain

1 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

2 3 Fréquence

Figure 24

La gure suivante illustre le schéma électronique d'un ltre à encoche (ou à réjection de bande) possédant la propriété de couper une bande restreinte de fréquences autour de la fréquence de résonance du circuit.

R

C L

V (t)S V (t)o

Figure 25 Filtre RLC à encoche (réjection de bande)

Dériver l'expression de la fonction de transfert de ce ltre et montrer que la fréquence de résonance est aussi égale à : f₀ = ¹

2π√ LC.

3 CIRCUITS EN RÉGIME TRANSITOIRE

Dans un circuit électrique, l'application d'une source de tension àt= 0produit des eets dits transitoires qui disparaissent rapidement au prot du régime stationnaire. La compréhension de tels eets est importante si on veut connaitre la réponse d'un circuit à une impulsion brève. Ces eets proviennent d'une solution particulière de l'équation diérentielle linéaire qui régit tout circuit électrique. Nous en verrons quelques exemples.

3.1 Circuit RC

On s'intéresse ici au comportement de I,V_Rou V_C en fonction du temps.

1 R

2 C

V

Figure 26

i) En position 1, le condensateur est chargé par la pile et par la règle de Kirchho on peut écrire :

R

Q

C

V I

Figure 27

V −RI−Q/C = 0

La tension V de la pile étant une constante, on obtient en dérivant par rapport au temps : dV

dt −RdI dt − 1

C dQ

dt = 0

−RdI dt − I

C = 0 puisque la tensionV ne dépend pas du temps. dI

dt + I RC = 0 dI

I =− 1 RC dt

I

Z

I0

dI

I =− 1 RC

t

Z

0

dt

On trouve la solution après intégration :I =I₀e^−RCt . Àt= 0, on a le courantI₀ =V /R de sorte que la solution complète pour le courant est :

I(t) = V

Re^−t/RC

Le courant diminue donc exponentiellement en fonction du temps à mesure que l'on charge le condensateur. La constante RC possède des unités de temps (s) et elle est appelée constante de temps du circuit.

La tension aux bornes du condensateur varie donc de la façon suivante :

VC = Q C = 1

C

t

Z

0

I dt= V RC

t

Z

0

e^−t/RCdt

VC = V RC

e^−t/RC

−1/RC |^t₀ V_C(t) =V h

1−e^−t/RCi

(17) Le comportement en fonction du temps deI etV_C est indiqué à la gure suivante.

I

(VC,Q)

Figure 28

ii) En position 2, on laisse le condensateur se décharger à travers la résistance et l'ap- plication des lois de Kirchho fournit :

R

C

Figure 29

Q

C +RI= 0

Q

C +RdQ dt = 0 dQ

Q + dt RC = 0

Qt

Z

Q0

dQ

Q dt=−

t

Z

0

dt RC Q=Q0e^−t/RC

La charge sur le condensateur décroit donc exponentiellement avec la constante de temps RC ; pour le courant, nous avons :

I = dQ

dt =−Q0

RCe^−t/RC=− Q0

C 1

Re^−t/RC =−V0

Re^−t/RC

Si on simule les deux positions du commutateur par une onde carrée continue, on obtient les solutions graphiques suivantes :

Q I

VC

(1) (2) t t

(1) (2)

Figure 30

Donc, si on alimente un circuit RC série avec une onde carrée, il faut que la durée de l'onde soit susamment grande relativement à RC si l'on veut charger complètement le condensateur.

3.2 Circuit RLC série : solution transitoire

R

C

0

V L

Figure 31

On a vu précédemment l'utilité du circuit RLC série comme ltre passe-bande lorsqu'ali- menté par une source de tension alternative. Une des solutions possibles du circuit est une solution dite transitoire qui satisfait l'équation diérentielle linéaire du 2^e ordre. En eet, lorsque vous allumez la source de tension pour alimenter le circuit, vous simulez l'ouverture d'un commutateur.

Considérons le circuit série suivant alimenté par une pile séparée du reste du circuit par un commutateur ; la résistance totale est donnée parR =R0+R_L, où R_L est la résistance de la bobine. Lorsque le commutateur est fermé, la loi de Kirchho nous donne :

V −RI−Q C −LdI

dt = 0 et après dérivation par rapport au temps :

RdI dt + 1

C dQ

dt −Ld²I dt² = 0 d²I

dt² +R L

dI dt + I

LC = 0

Cette équation diérentielle linéaire homogène du 2^e ordre représente un mouvement har- monique simple mais amorti, i.e. l'amplitude de l'oscillation diminue avec le temps.

Note : On obtient une équation du même type par un système mécanique corres- pondant à une masse reliée à un ressort et se déplaçant sur une surface avec frottement :

X¨ + 2γX˙ + K MX = 0

oùγ est le facteur d'amortissement. La fréquence de résonance est donnée par ω₀²= _M^K

On utilise la notation complexe pour résoudre cette équation linéaire. On recherche une solution de la forme suivante :

I = ˜I0e^i˜at où I˜0 et ˜a peuvent être complexes dépendamment des composantes du circuit et des conditions initiales. Après dérivation, on introduit cette solution dans l'équation diérentielle et l'on obtient :

I˙=i˜aI˜0e^i˜at =i˜aI I¨=−˜a²I˜0e^i˜at =−˜a²I

⇒

−˜a²+i˜aR L + 1

LC

·I = 0 Pour avoir une solution non triviale (I = 0), il faut que :





 Im

−˜a²+i˜a^R_L +_LC¹

= 0 Re

−˜a²+i˜a^R_L+ _LC¹

= 0

Si on pose˜a=c+id ⇒ ˜a²=c²−d²+ 2icd. Le crochet de l'équation précédent devient :

−˜a²+i˜aR L + 1

LC

=−c²+d²−2icd+icR L −dR

L + 1 LC Et le système d'équations à résoudre peut s'écrire ainsi :







−2cd+c^R_L = 0

−c²+d²−d^R_L+_LC¹ = 0 De la 1^ère équation on en déduit que : d= _2L^R.

En insérant cette valeur dans la 2^e équation, on obtient : c²= R²

4L² − R² 2L² + 1

LC = 1

LC − R²

4L² ⇒ c=± r 1

LC − R² 4L² Il y a donc deux valeurs complexes pour le paramètre ˜a, soit ˜a=±

q 1

LC −_4L^R2₂ +i_2L^R ; on peut choisir les deux ou encore indiéremment l'une ou l'autre car il y a encore une constante indéterminée dans la solution qui dépend des conditions initiales.

En raison de la racine carrée présente dans la partie réelle de ˜a, nous pouvons distinguer trois solutions possibles dépendamment des valeurs relatives de R, L et C qui sont toutes positives.

Première solution : faible amortissement (R petit).

L'amortissement d'un mouvement harmonique est le fait du terme dissipatif, soit la résis- tance R du circuit. On supposera donc ici que : _4L^R22 < _LC¹ .

La racine de la partie réelle dea˜ est alors réelle et elle représente la fréquence angulaire de l'oscillation électrique. On choisit la valeur positive de la partie réelle comme solution, de sorte que :

I = ˜I₀e^i˜at= ˜I₀·e⁻(_2L^R)^t·eⁱ

q 1 LC−^R2

4L2

t

Par analogie au système mécanique masse-ressort, le facteur d'amortissement est : γ = _2L^R, tandis que la fréquence de résonance est : ω0 = ^√1

LC.

Avec I˜0 =Ae^iφ, où A est réel on aura pour l'expression de la composante réelle du courant I(t) :

I_R=A·e^−γt·cos q

ω₀²−γ²

t+φ

où A etφ sont déterminés à partir des conditions initiales.

Cette solution représente un mouvement oscillant à la fréquence angulaire ω = p

ω²₀−γ² mais ayant une amplitude qui décroit exponentiellement avec le temps. Voilà pourquoi on qualie cette solution de transitoire : si on attend susamment longtemps, elle disparait !

e

cos(ω φt+ )

Figure 32

Exercice : Appliquez les conditions initiales, I_R(0⁺) = 0et ^dIR_dt⁽⁰⁺⁾ = ^V_L et montrez que : φ=±π

2 et A= V

L · 1 pω²₀−γ²

Considérant ces paramètres Aetφ, la solution complète du courant est : I_R= V

L

e^−γt

pω₀²−γ² ·sin q

ω₀²−γ²

t

Deuxième solution : amortissement critique.

L'amortissement devient critique lorsque le mouvement oscillatoire ne peut s'établir, c'est- à-dire que la fréquence angulaire est nulle. Cette condition impose donc que :

R² 4L² = 1

LC et ω= 0

Notons que dans ce cas la solution trouvée ci-haut pose problème car à t = 0 elle devient indéterminée : IR(0) = ^V_L^sin(0)₀ . Toutefois une autre solution devient possible (insérée dans l'équation diérentielle pour vous en convaincre !), soit :B·t·e^−γt. Ainsi la solution complète est de la forme :I_R=e^−γt(A+Bt). En utilisant les mêmes conditions initialesI_R(0⁺) = 0 et ^dIR_dt⁽⁰⁺⁾ = ^V_L, on obtient :

I_R(t) = V Lte^−γt

Le courant décroit exponentiellement avec le temps sans oscillation visible.

Troisième solution : sur-amortissement.

Dans ce cas de gure, la résistance du circuit est susamment grande pour avoir : R²

4L² > 1

LC de tel sorte que l'on écrira ˜a=± r 1

LC − R² 4L²+iR

2L =∓i rR²

4L² − 1 LC+iR

2L

On remarque quea˜devient purement imaginaire : il s'agira donc d'une solution uniquement amortie sans oscillations qui comprendra deux termes.

I(t) =e⁻(_2L^R)^t

"

A1e⁺

qR2

4L2− ¹

LC

t+A2e⁻

qR2

4L2− ¹

LC

t#

Les constantesA1etA2 sont déterminées à partir des conditions initiales. En eet,I(0) = 0 et ^dI_dt|_t=0 = ^V_L impliquent que A2 = −A₁ et A1 = ^V

2L qR2

4L2−_LC¹ . On écrit alors la solution sous la forme suivante :

I(t) = V ·e⁻(_2L^R)^t 2L

qR² 4L² −_LC¹

e⁺

qR2

4L2−_LC¹

t−e⁻

qR2

4L2−_LC¹

t!

= V ·e⁻(_2L^R)^t L

qR² 4L² −_LC¹

sinh

rR² 4L² − 1

LC

!

·t

!

En faisant varier la résistanceR dans le circuit électrique série,LetC étant xées, on peut observer les trois solutions que l'on vient de décrire, où _4L^R22 = 4_LC¹ pour sur-amortissement et _4L^R22 = 0.05_LC¹ pour sous-amortissement.

-0.4 5 10 15 20

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

temps ( LC)

courant(2)VLC

critique soussur

Figure 33

4 CIRCUIT ÉLECTRIQUE RLC RÉSONNANT

Soit le circuit RLC série suivant excité à l'aide d'une source de tension V_S(t) =V₀cos (ωt).

R

C I L

V

(t)

Figure 34

En appliquant la loi de Kirchho des tensions sur la boucle fermée de ce circuit on a :

V0cos(ωt)−RI−Q

C −LdI

dt = 0 ou V0cos (ωt)−RI− 1 C

Z

I dt−LdI dt = 0 En dérivant par rapport au temps, on obtient :

−V₀ωsin (ωt) =RI˙− I

C +LI¨= 0

On peut chercher la solution de cette équation diérentielle du 2^eordre, linéaire et homogène, tel qu'on l'a fait au chapitre précédent. On sait que la solution pour I sera une harmonique à la fréquence ω et potentiellement déphasée d'un angleφpar rapport à l'onde excitatrice.

La solution sera de la forme :

I =I₀cos(ωt+φ)

Le passage à la notation complexe permet de résoudre plus simplement l'équation de départ qui devient une simple équation algébrique, ainsi :

I =I₀cos(ωt+φ) =⇒ I˜=I₀e^i(ωt+φ)= ˜I₀e^iωt V₀e^iωt−RI₀e^i(ωt+φ)−I₀e^i(ωt+φ)

iωC −LI₀(iω)e^i(ωt+φ) = 0

=⇒ V₀= ˜I₀

R+ 1

iωC +iωL

On aurait pu obtenir directement ce résultat en utilisant la dénition des impédances com- plexes de R, L et C. Ainsi le courant complexe circulant dans ce circuit est donné par :

I˜₀ = V₀

Z_eq´ = V₀

R+Z_C+Z_L = V₀ R+_iωC¹ +iωL