Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°3
Nombres complexes et trigonométrie − partie 2
Exercice 11 Soientz1,z2∈C.
1. Montrer l’identité
|z1+z2|2+ |z1−z2|2=2(|z1|2+ |z2|2) appelée identité du parallélogramme.
2. Interpréter géométriquement l’identité obtenue en 1.
Exercice 12
1. Déterminer l’ensembleC des points du plan d’affixeztels que :
|z−1+i| =2p 2.
2. Représenter graphiquement l’ensembleC avec précision, en utilisant uniquement un compas.
3. Conjecturer qu’il existe un plus petit nombre réelMtel que :
∀z∈C |z−1+i| =2p
2⇒ |z| ≤M.
4. Démontrer le résultat précédent à l’aide de l’inégalité triangulaire.
Exercice 13
Soitz∈Ctel que 2≤ |z| ≤4. Établir l’inégalité1 5≤
¯
¯
¯
¯ 5−z i+z
¯
¯
¯
¯≤9.
Exercice 14
SoientAetBdeux points du plan.
1. SoitIle milieu du segment [AB]. Caractériser le milieuIdu segment [AB] par une identité vectorielle, puis démontrer que :
zI=zA+zB
2 .
2. Démontrer :
∀z∈C Re((z−zA)(z−zB))=0 ⇔ |z−zI| =1
2|zB−zA|. 3. Préciser la nature géométrique du lieu des points du plan d’affixeztels que :
Re³
(z−zA)(z−zB)´
=0.
Exercice 15
1. Résoudre l’équation
cos(3x)= − p2
2 d’inconnuex∈R.
2. Résoudre l’équation
cos(x)=sin(5x) d’inconnuex∈R.
3. Résoudre l’équation
2sin2(x)+5cos(x)=4 d’inconnuex∈R.
4. Résoudre l’équation
sin(2x)=2cos2(x) d’inconnuex∈]−π,π].
Exercice 16
1. Résoudre l’inéquation
cos(x)≤1 2 d’inconnuex∈]−π,π].
2. Résoudre l’inéquation
sin(2x)≥ p3
2 d’inconnuex∈
i
−π 2,π
2 i. 3. Résoudre l’inéquation
cos(x)≤ p2
2 d’inconnuex∈R.
4. Résoudre l’inéquation
cos2(x)≤sin2(x) d’inconnuex∈[0,π].
5. Résoudre l’inéquation
cos(x)+cos(3x)≥0 d’inconnuex∈i
−π 2,π
2 i.
Exercice 17
1. Donner une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ cos(4x)sin(5x).
2. Donner une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
g : R → R
x 7→ sin(3x)sin(7x).
Exercice 18
1. Soit (p,q)∈R2. Écrire cos(p)−cos(q) comme un « produit ».
2. Résoudre l’équation
cos(7x)−cos(5x)=sin(6x) d’inconnuex∈R.
