TRAITER DANS L’ORDRE INDIQUE LES TROIS PARTIES DE CE PROBLEME .
ON COMPLETERA LA FIGURE DONNEE EN ANNEXE AU FUR ET A MESURE DES QUESTIONS .
L’espace affine est rapporté à un repère orthonormal (0 ; i , j , k ) : unités 1cm.
On désigne par I le point de coordonnées ( 1,2,3).
A /
Soit (S) l’ensemble des points dont les coordonnées (x,y,z) dans le repère précedent vérifient : x 2 + y 2 + z 2 -2( x +2y +3Z + 11 ) = 0.
1°) Le point I appartient-il à (S) ?
2°) Déterminer le quadruplet (a,b,c,d) de nombres réels tel que pour tout point de (S) de coordonnées (x,y,z) on ait : ( x – a) 2 + ( y – b ) 2 + ( z – c ) 2 = d.
3°) En déduire la nature de (S) et ses élements géométriques remarquables.
4°) Placer I et construire (S).
B/
Soit t un nombre réel donné . On note (D) la droite de représentation paramétrique : x = - t + 4
y = t – 1 z = t 1°) Montrer que I appartient à (D).
2°) Etablir que (D) est un diamétre de (S).
3°) Etablir que la droite (D) perce exactement (S) en deux points A et B dont on calculera les coordonnées ; A étant le point dont l’abscisse est positive.
4°) Placer les points A et B.
C/
Soit le vecteur U de coordonnées ( 1,1 ,1 ).
1°) Montrer que U , IA et IB sont coplanaires.
2°) Démontrer que le plan (P) tangent à (S) au point de percée le plus éloignée de l’origine 0 a pour Equation : x + y + z -6( 1 - 3) = 0
3°) Le plan ( P) rencontre la droite (0 ,i ) en un point C et l’axe ( O, j ) en un point D et l’axe (O , K ) en E.
a) Calculer les coordonnées des points C, D et E.
b) Placer C, D et E.
c) Démontrer que C,D et E sont les sommets d’un triangle équilatéral.
4°) a) Donner une équation simple de la hauteur (H) issue du point O dans le triangle OCE.
b ) Déterminer par le calcul les coordonnées du point Q , point d’intersection de (H) avec la droite ( CE).
c) Placer le point Q.
5°) a) Déterminer une équation de la droite contenant les points E ET Q, notée ( EQ).
b) Démontrer que les droites (EQ) et ( AB) sont perpendiculaires.
c) Quel théoréme suggére cette perpendicularité ?
