Corrigé Exercice 1 : LIAISON APPUI PLAN ET LIAISON SPHERE-PLAN.
Question 1 : Compléter le tableau en donnant les torseurs de l'action mécanique transmissible de 2 sur 1 pour les 2 liaisons suivantes et selon les hypothèses données :
Hypothèse Liaison appui plan de normale y Liaison sphère-plan de point de contact O et de normale y
Liaison
parfaite
2 1 2 1 ,2 1,2 1 ( , , )
0
0 0
P
P P x y z
L Y
N
T 2 1 2 1
( , ) (..., ,...)
0 0
0
0 0
P O y y
Y
T
Liaison non parfaite avec
tendance au glissement
de 1/2 suivant +x
2 1 2 12 1 ,2 1,2 1 ( , , )
0 0
A
A A x y z
X L
Y
N
T
Avec :
( 2 / 1) ( 2 / 1)
A axe central de plan de contact de 2 1 0
X
2 1 . 2 1
X Y
2 1 2 12 1( , , )
0 0
0 0
O x y z
X Y
T
Avec :
int 2 / 1
Opo de contact de 2 1 0 X
2 1 . 2 1
X Y
Liaison non parfaite avec
tendance au glissement
de 1/2 suivant +z
2 1 2 1 ,2 12 1 ,2 1 ( , , )
0
0
A
A A x y z
L Y
Z N
T
Avec :
( 2 / 1) ( 2 / 1)
A axe central de plan de contact de 2 1 0
Z
2 1 . 2 1
Z Y
2 1 2 12 1 ( , , )
0 0
0
O 0 x y z
Y Z
T
Avec :
int 2 / 1
Opo de contact de 2 1 0 Z
2 1 . 2 1
Z Y
Liaison non parfaite avec
tendance au glissement
de 1/2 suivant +x
et +z
2 1 2 12 1 ,2 12 1 ,2 1 ( , , )
0
A
A A x y z
X L
Y
Z N
T
Avec :
( 2 / 1) ( 2 / 1)
A axe central de plan de contact de 2 1 0
X et Z2 1 0
2 2
2 1 2 1 . 2 1
X Z Y
2 1 2 12 12 1 ( , , )
0 0
O 0 x y z
X Y Z
T
Avec :
int 2 / 1
Opo de contact de 2 1 0
X et Z2 1 0
2 2
2 1 2 1 . 2 1
X Z Y
Liaison non parfaite avec
tendance au pivotement
de 1/2 suivant +y
2 1 2 1 ,2 1( , ) (..., ,...)
0 0
0 0
P
P O y y
Y M
T
Avec
int 2 / 1
Opo de contact de
,2 1 0 MP et MP,2 1 .Y2 1
Liaison non parfaite avec
tendance au roulement de 1/2 suivant
+x
2 1 2 1 ,2 1( , ) ( , , )
0
0
0 0
P
P O y x y z
L Y
T
Avec
int 2 / 1
Opo de contact de
,2 1 0 LP et LP,2 1 .Y2 1
Liaison non parfaite avec
tendance au roulement de 1/2 suivant
+z
2 1 2 1( , ) ,2 1 ( , , )
0 0
0
0 P
P O y x y z
Y N
T
Avec
int 2 / 1
Opo de contact de
,2 1 0 NP et NP,2 1 .Y2 1
Liaison non parfaite avec
tendance au roulement de 1/2 suivant
+x et +z
2 1 2 1 ,2 1( , ) ,2 1 ( , , )
0
0 0
P
P O y P x y z
L Y
N
T
Avec
int 2 / 1
Opo de contact de
,2 1 0
LP et NP,2 1 0 et LP,2 12NP,2 12 .Y2 1
NB : On pourrait faire aussi l'hypothèse problème plan…
Corrigé Exercice 2 : PARALLÉLÉPIPÈDE SUR PLAN INCLINÉ.
Rappel sur les lois de coulomb (contact surfacique).
Question 1 : Déterminer
T01 en G :
- d’abord si on suppose la liaison parfaite et que le problème n’est pas plan,
Liaison appui plan parfaite :
0 1 0 1 ,0 1,0 1 ( , , )
0
0 0
P
P P x y z
L Y
N
T
ATTENTION : la forme du torseur reste identique pour tout point de l’espace, mais les valeurs de leurs composantes ne sont pas forcément égales…
- puis si on suppose la liaison parfaite et que le problème est plan,
Liaison appui plan parfaite + problème plan ( , , )O x y :
0 1 0 1,0 1
( , , ) ( , , )
0 _
_
_ P
P O x y x y z
Y N
T
- enfin si on suppose la liaison avec adhérence et que le problème est plan (modèle pour la suite de l’exercice).
Liaison appui plan avec adhérence + problème plan ( , , )O x y :
0 1 00 11,0 1 ( , , )
_ _
_ A
A x y z
X Y
N
T
Car avec l’hypothèse adhérence/frottement, il existe une composante tangentielle X0 1 en plus de la composante normale Y01.
Cette composante tangentielle vérifie les lois de Coulomb : X010 et X0 1 .Y0 1 . D'autre part, NG,0 1 NA,0 1 car la composante tangentielle rajoute du moment en G…
Question 2 : Appliquer le PFS sur 1 et en déduire la condition sur pour qu’il n’y ait pas de glissement.
1) Isolons {1}.
2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {1}.
- Action mécanique de la pesanteur sur 1
- Action mécanique de 0 sur 1 (appui plan de normale y + adhérence + problème plan ( , )x y ) 3) Modélisables par :
0 0
0 0 0 0
0 1
( , ) ( , )
( , ) ( , , ) ( , ) ( , , )
0 _ . .sin _
. . . .(cos . sin . )
. _ . .cos _
0 0
_ 0 _ 0
pes
P G y P G y
P G y x y z P G y x y z
m g y m g y x m g
m g m g
T
0 1 00 11,0 1 ( , , )
_ _
_ G
G x y z
X Y
N
T
4) Résolution :
On peut appliquer directement le PFS :
T
SS
0 car les torseurs sont déjà tous écrits au même point G.Donc : X0 1 m g. .sin
0 1 . .cos
Y m g
,0 1 0 NG
Ainsi, lorsque le solide est en équilibre, les trois égalités précédentes sont vérifiées, entraînant à l'aide de la loi de Coulomb :
0 1 . 0 1
X Y . .sin . . .cos m g m g tan
tan tan où est l’angle d’adhérence limite
Question 3 : Déterminer le moment en A de la pesanteur sur 1 et en déduire la condition sur pour qu’il n’y ait pas de basculement du solide 1 ?
0 0 0
1
( , ) ( , , )
0 _
. _
_ 0
pes
P G y x y z
m g
T
, 1 , 1 1
A pes G pes pes
M M AGR
, 1 ( . . ) ( . . 0) A pes
M a xb y m g y
, 1 . . . sin( ). . . . sin .
A pes 2
M a m g z b m g z
, 1 ( . . .cos . . .sin ).
A pes
M a m g b m g z
Pour qu’il y ait non basculement, il faut que ce moment soit suivant z ou nul (voir figures ci-dessous).
Donc a.cos b.sin 0 soit tan a
b
Question 4 : En déduire la condition pour que le basculement se fasse avant le glissement (lorsque l'on augmente ).
Il faut que a tan tan
b donc que a tan
b
1 pes ,
MA
suivant z
1 pes ,
MA
suivant z
1
Rpes Rpes1 Rpes1
0 MA,pes1
Corrigé Exercice 3 : ADAPTATEUR VHS.
Étude de la griffe 3 SEULEMENT (voir figures page suivante).
Question 1 : Déterminer tous les torseurs des actions mécaniques extérieures à 3 :
- d’abord pour le modèle 1 : liaisons parfaites et sans hypothèse problème plan, - puis pour le modèle 2 : liaisons parfaites et problème plan,
- enfin pour le modèle 3 : liaisons en A, B et C avec résistance au glissement et problème plan (avec tan 0,2).
Action mécanique au point A de la bande sur 3 (liaison cylindre-plan de ligne de contact ( , )A z et de
normale y)
Action mécanique au point B de 19 sur 3
(liaison cylindre-plan de ligne de contact ( , )B z et de
normale u)
Action mécanique au point C de 5 sur 3
(liaison cylindre-plan de ligne de contact ( , )C z et de
normale x)
Action mécanique au point E de 6 sur 3
(pivot d'axe ( , )E z )
Tb3 T193 T53 T63
T53 T63
, 3 3
( , , ) ( , , )
0 0
0 0
P b b
P A y z x y z
L Y
19 3
,19 3
( , , ) ( , , )
0 0
0 0
P
P B u z u v z
X M
5 3
,5 3
( , , ) ( , , )
0 0
0 0
P
P C x z x y z
X M
6 3 ,6 3 6 3 ,6 3 ( , ) 6 3 0 ( , , )
P P
P E z x y z
X L
Y M
Z
Hypothèse supplémentaire : problème plan ( , , )O x y .
3
( , ) ( , , )
0 _
_
_ 0
b
P A y x y z
Y
19 3
( , ) ( , , )
_
0 _
_ 0
P B u u v z
X
5 3
( , ) ( , , )
_
0 _
_ 0
P C x x y z
X
6 3 6 3
( , , )
_ _
_ 0
E x y z
X Y
Hypothèse supplémentaire : liaisons avec frottement en A, B et C.
3 3
( , , )
_ _
_ 0
b b
A x y z
X Y
19 3 19 3
( , , )
_ _
_ 0
B u v z
X Y
5 3 5 3
( , , )
_ _
_ 0
C x y z
X Y
6 3 6 3
( , , )
_ _
_ 0
E x y z
X Y
NB1 : Un problème plan ( , , )O x y est aussi un problème plan ( , , )O u v .
NB2 : Avec l'hypothèse problème plan ( , , )O u v , la forme des différents torseurs n’est valable uniquement pour des points du plan de symétrie
NB3 : Attention : avec l'hypothèse frottement, l'écriture du torseur en un autre point que le point de contact, aura une composante en moment, car la composante tangentielle crée du moment…
Question 2 : Quelle particularité y a-t-il entre les torseurs des 2 derniers modèles.
Avec l'hypothèse problème plan, ce sont tous des torseurs glisseurs.
Question 3 : Peut-on résoudre le problème dans le cas de la modélisation 2, justifier ? Oui, car dans les 5 inconnus de liaison, 2 sont donnés dans le texte :
( Rb3 Yb3 0,5 N et R53 X53 2 N) , donc il reste 3 inconnus pour 3 équations.
Question 4 : Peut-on résoudre le problème dans le cas de la modélisation 3, justifier ?
Il est possible de résoudre, car 3 inconnus supplémentaires (composantes tangentielles) ont été rajoutés, mais 3 relations supplémentaires (lois de Coulomb) ont, elles aussi, été rajoutées :
3 . 3
b b
X Y Y193 . X193 Y53 . X53 (si on se place à la limite du glissement)
2 2
2 2
Question 5 : Placer sans notion d’échelle les résultantes : Rb3, R193, R53 et R63 : - pour le modèle 2 sur la 1ère figure,
- pour le modèle 3 sur la 2ème figure.
Griffe 3 : 1ère figure.
Griffe 3 : 2ème figure.
3
Rb
5 3
R
19 3
R
Pour obtenir le sens, regarder quelle action est "motrice" (ici
19 3
R ) et quelles actions sont
"réceptrices" (ici Rb3 et
5 3
R ) sachant que E est le centre de rotation de 3/6.
3
Rb
5 3
R
19 3
R
3/
A b
V
19/3
VB
3/5
VC
Rappel lois de Coulomb : une composante tangentielle de frottement
de ab s'oppose au glissement de b/a
6 3
R
6 3
R
Corrigé Exercice 4 : ROUES CONIQUES DE FRICTION.
Question 1 : Déterminer le vecteur rotation de pivotement et le vecteur rotation de roulement au point I en fonction de r r1 2, ,1et.
Il faut tout d’abord déterminer le vecteur rotation des 2 solides en contact.
1/2 1/0 0/2 ( 1 2).z0
avec 1 1 2
2 1
( 1) .r r
1
1/2 1 0
2
.(1 r ).
r z
Le vecteur rotation de pivotement est la composante du vecteur rotation suivant la normale au contact,
donc ici suivant z.
Le vecteur rotation de roulement est la composante du vecteur rotation suivant le plan tangent au
contact, donc ici suivant y.
1/2 1/2 .
p z z
1
1/2 1 0
2
.(1 ). .
p
r z z z r
1
1/2 1
2
.(1 ).cos( ) .
p 2
r z
r
1 1/2 1
2 (1 ) sin . p
r z
r
1/2 1/2 .
r y y
1
1/2 1 0
2
.(1 ). .
r
r z y y r
1/2 1 1 2
.(1 ).cos . r
r y
r
Question 2 : Selon
T2 1 , donner en fonction de X, Y, Z, L, M et N les 4 vecteurs N2 1 , T2 1 ,
,2 1
MpI et MrI,2 1 .
où N2 1 est la résultante normale,
T2 1 est la résultante tangentielle (de résistance au glissement),
,2 1
MpI est le moment de résistance au pivotement en I,
,2 1
MrI est le moment de résistance au roulement en I.
2 1 00
. . .
. . .
I
X x Y y Z z L x M y N z
T
donc N2 1 Z z.2 1 . 0 .
T X x Y y
,2 1 . MpI N z
,2 1 . 0 .
MrI L x M y
Question 3 : Sachant que 1 ne glisse pas sur 2 au point I, déterminer l’inégalité entre X, Y et Z ?
S’il n’y a pas de glissement, l’action de 2 sur 1 est à l’intérieur du cône d’adhérence : T2 1 . N2 1 . (où T est la norme de la composante tangentielle et N la norme de la composante normale de la résultante de l’action de 21).
Or ici T2 1 X x. 0 Y y. et N2 1 Z z. donc X x. 0 Y y. . Z z. soit X2 Y2 Z
Question 4 : Sachant que 1 pivote sur 2 au point I, déterminer le signe de N puis la relation entre N et Z ?
Question 5 : Sachant que 1 roule sur 2 au point I, déterminer L et le signe de M, puis la relation entre M et Z.
Comme le moment de résistance au pivotement de 2 sur 1 (MpI,2 1 N z. ) s’oppose au pivotement de 1/2 (p1/2 qui est suivant + z) on a : N 0.
Comme le moment de résistance au roulement de 2 sur 1 (MrI,2 1 L x. 0M y. ) s’oppose au roulement de 1/2 (r1/2 qui est suivant + y ) on a : L0 et
0 M . Lorsqu’il y a pivotement, la relation entre la norme
du moment de résistance au pivotement (c'est-à-dire N ) et la norme de la résultante normale (c'est-à- dire Z ) est telle que N .Z
Lorsqu’il y a roulement, la relation entre la norme du moment de résistance au roulement (c'est-à-dire M ) et la norme de la résultante normale (c'est-à- dire Z ) est telle que M .Z
Comme N0 et Z 0 on a : N .Z Comme M0 et Z0 on a : M .Z
