Master M1 Recherche- Module ”Probabilit´es”
Examen de rattrapage
Exercice 1. Une formule asymptotique obtenue grˆace `a la loi exponentielle. Soit n un entier naturel etXn la variable al´eatoire de densit´e
fn(x) = xn−1
(n−1)!e−x1{x≥0}
(avec la notation 0! = 1).
(a) Montrer que la transform´ee de Laplaceϕn(λ) =E[e−λXn] vaut 1
(1 +λ)n
pour tout λ ≥ 0. Remarquer que ϕn(λ) = (ϕ1(λ))n et en d´eduire que Xn a la mˆeme loi que la somme den copies ind´ependantes de X1.
(b) On consid`ere la transform´ee de Fourier ψn(λ) = ϕn(−iλ) = E[eiλXn] pour tout λ∈ R. Montrer que ψn(n−1λ)→ eiλ quand n → +∞ et en d´eduire par un th´eor`eme de Paul L´evy que
Xn n
−→d 1, n →+∞.
(c) CalculerE[X1].En utilisant les r´esultats du (a) et la loi forte des grands nombres, red´emontrer que
Xn n
−→d 1, n →+∞.
(d) Soit{Yn, n≥1}une suite quelconque de v.a. telle que Yn−→d 1 quandn →+∞.
En consid´erant une fonction f positive continue valant 1 sur [1−ε,1 +ε]c et 0 sur [1−ε/2,1 +ε/2], montrer queP[|Yn−1| ≥ε]→0 quand n→+∞, et en d´eduire
Yn −→(P) 1, n →+∞, (o`u (P) signifie ”en probabilit´e”).
(e) On consid`ere `a nouveau les variablesXnd´efinies pr´ec´edemment. En effectuant con- venablementn int´egrations par parties successives (ou en raisonnant par r´ecurrence), montrer que
P[Xn≥x] = e−x
n−1
X
k=0
xk k!
!
, x≥0.
(f) En utilisant le (d), montrer sans calcul que la limite quandn→+∞deP[Xn ≥nx]
vaut 0 si x > 1 et 1 si x < 1. D´eduire du (e) la limite quand n → +∞, pour tout x6= 1 positif, de
e−nx X
k≥n
(nx)k k!
! .
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Exercice 2. Loi Gamma et statistique d’ordre de la loi uniforme. Soit U1, . . . , Un une suite de v.a. ind´ependantes et de mˆeme loi uniforme sur [0,1]. On r´eordonne cette suite en consid´erant U(1) = min(U1, . . . , Un) puis U(2) = min({U1, . . . , Un} − {U(1)}), U(3) = min({U1, . . . , Un} − {U(1), U(2)}). . . et enfin U(n) = max{U1, . . . , Un}.
On a donc p.s.
0 ≤ U(1) ≤ . . . ≤ U(n) ≤ 1.
(a) CalculerP[U(1) ≥x] pour toutx∈[0,1] et montrer queP[nU(1) ≥x]→e−x quand n→+∞. En d´eduire que
nU(1) −→d X1, n→+∞, o`u X1 est la variable Γ(1) vue dans l’exercice pr´ec´edent.
(b) En comptant le nombre de cas favorables, montrer que P[U(2) ≥ x ≥ U(1)] = nx(1− x)n−1. En d´eduire une expression de P[U(2) ≥ x] pour tout x ∈ [0,1] (on utilisera U(2) ≥ U(1) p.s.) Montrer ensuite que P[nU(2) ≥ x] → e−x(1 +x) quand n→+∞et en d´eduire que
nU(2) −→d X2, n→+∞, o`u X2 est la variable Γ(2) vue dans l’exercice pr´ec´edent.
(c) En comptant le nombre de cas favorables, montrer que P[U(k) ≥ x ≥ U(k−1)] = Cnk−1xk−1(1− x)n+1−k pour tout x ∈ [0,1] et k ≤ n. En ´ecrivant P[U(k) ≥ x] = P[U(k−1) ≥ x] +P[U(k) ≥ x ≥U(k−1)] et en raisonnant par r´ecurrence sur k, montrer que
P[U(k) ≥x] =
k−1
X
i=0
Cnixi(1−x)n−i, x∈[0,1].
(d) Montrer que
P[nU(k) ≥x] → e−x
k−1
X
i=0
xi i!
!
, n→+∞
pour toutx≥0,et en d´eduire que
nU(k) −→d Xk, n→+∞, o`u Xk est la variable Γ(k) vue dans l’exercice pr´ec´edent.
Exercice 3. Temps d’atteinte de ponts al´eatoires. Soit {Xn, n ≥1} une suite de variables al´eatoires i.i.d. de loi donn´ee par P[X1 = 1] = P[X1 = −1] = 1/2. Soit Fn =σ{X1, . . . , Xn} etSn =X1+· · ·+Xn pour toutn ≥1.On pose
Ta = inf{n ≥1, Sn ≥a} = inf{n≥1, Sn =a}
pour touta∈N={1,2, . . .}.
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(a) En comptant le nombre de +1 et de -1, montrer que P[S2n−1 = 0] = 0 et que
P[S2n= 0] = C2nn
22n = (2n)!
22n(n!)2
pour tout entier n. En appliquant la formule de Stirling n! ∼ √
2πn(n/e)n, montrer que
P[S2n= 0] ∼ 1
√πn quand n→+∞.
(b) En comptant le nombre de +1 et de -1, montrer que P[S2n = k] = 0 pour tout entier k impair ou tel que |k|>2n, et que
P[S2n= 2k] = C2nn+k
22n = (2n)!
22n(n+k)!(n−k)!
pour tout entierk ∈ {−n, . . . ,0, . . . , n}.En appliquant la formule de Stirling, montrer que
P[S2n= 2k] ∼ 1
√πn quand n→+∞.
(c) On s’int´eresse maintenant `a la quantit´e
P[Ta >2n|S2n= 0] = 1 − P[Ta ≤2n, S2n = 0]
P[S2n= 0]
qui est la probabilit´e que la marche n’ait pas d´epass´e le seuilasachant qu’elle est rev- enue en 0 au temps 2n. En effectuant une r´eflexion par rapport `a la droite horizontale y=a de la partie de la trajectoire de la marche situ´ee apr`es le tempsTa,montrer que le nombre de trajectoires telles queTa≤2netS2n = 0 est ´egal `a celui des trajectoires telles queS2n = 2a. En d´eduire par le (b) que
P[Ta≤2n, S2n= 0] = P[S2n= 2a] = (2n)!
22n(n+a)!(n−a)!
puis, `a nouveau par Stirling, que
P[Ta>2n|S2n = 0] = 1 − (n!)2
(n+a)!(n−a)! → 0 quand n →+∞.
(d) En utilisant la formule de Stirling pr´ecis´een! =√
2πn(n/e)n(1 + 1/12n+O(1/n2)) et en effectuant soigneusement un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1, montrer que
P[Ta >2n|S2n= 0] ∼ a2
n quand n→+∞.
(e) Question subsidiaire. Un autre calcul asymptotique (plus long) donne
P[Ta > n] ∼ r2
π
√a
n quand n→+∞.
Comment interpr´eter le r´esultat du (d) au vu de ce comportement asymptotique ?
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