E583– Les extrêmes se rapprochent
Soit E un ensemble de 13 entiers positifs distincts. Pris deux à deux ils sont relativement premiers entre eux. La différence entre le plus grand terme et le plus petit terme prend la plus petite valeur possible d. Déterminer d et donner un exemple de l’ensemble E.
Solution proposée par Patrick Gordon
La première idée est de prendre 13 nombres premiers. Comme leur densité va (lentement) décroissant, l'intuition est qu'on ne perd rien à prendre les plus petits, soit de 2 à 41 inclus. On a alors d = 39.
On remarque toutefois que l'on peut remplacer 2, 3, 5, 7 par 14 et 15 – et donc commencer à 11 – ce qui amène à ajouter à droite 43 et 47. On a alors d = 47 – 11 = 36.
La suite à laquelle on arrive est :
11 13 14 15 17 19 23 29 31 37 41 43 47 avec d = 36.
Poursuivons la recherche.
Supprimer 11 en tête conduirait à ajouter in fine 53, sauf à insérer un nombre composé, mais ce nombre ne pourrait être multiple d'aucun des nombres premiers jusqu'à 47 !
Allons jusqu'à supprimer 11, 13, 14, 15, 17, 19 en tête. Cela libérerait les facteurs 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et l'on ne pourrait insérer que 4 nombres (autant que de paires de facteurs) et il resterait à placer 2 nombres in fine, soit a minima 53 et 59. On aurait alors d = 59 – 23 = 36. On n'aurait donc rien gagné.
Essayons une autre voie.
Le nombre 15 est, par construction, le seul multiple de 3 et de 5. On peut donc le remplacer par 5²
= 25 et 33 = 27, ce qui fait tomber le dernier nombre à 43 et donc d à 32.
La suite à laquelle on arrive est :
11 13 14 17 19 23 25 27 29 31 37 41 43 avec d = 32.
