ADK – Mathématiques – 3

Nombres relatifs

I Addition et soustraction de nombres relatifs

1) Nombres relatifs de même signe

La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre :

- Dont la distance à zéro est égale à la somme des distances à zéro des deux nombres

2) Nombres relatifs de signes contraires

La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre :

- Dont la distance à zéro est égale à la différence des distances à zéro des deux nombres.

Exemples :

Règle :

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé Exemples :

II Enchaînement d’additions et de soustractions Calculer en détaillant les étapes

𝐴= +3 − −5 +(−14) 𝐵= −10 + −3 − +4 −(+5)

III Multiplications et divisions de nombres relatifs

Règle des signes :

∗ le produit de deux nombres relatifs de MEME SIGNE est POSITIF

∗ le produit de deux nombres relatifs de SIGNES CONTRAIRES est NEGATIF.

Pour calculer le produit de deux nombres relatifs :

∗ on applique la règle des signes

∗ on multiplie les distances à zéro

Exemples : Nombres de même signe Nombres de signes contraires

Application : Compléter

−4 × +6 = −5 × −6 = −3×7= 2) Division

Règles des signes

• Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est NEGATIF

• Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est POSITIF

Remarque :

Différents types d’écriture :

𝟔

=

!𝟔

= −

𝟔

= −𝟕

Application : Compléter 𝟏𝟖

−𝟐= −𝟐𝟖

−𝟒 = −𝟐𝟓

−𝟓= 6

) 3 ( ) 2 (

6 ) 3 ( ) 2 (

=

−

×

−

= +

× +

6 ) 3 ( ) 2 (

6 ) 3 ( ) 2 (

−

= +

×

−

−

=

−

× +

IV Puissances

1) Puissances d’un nombre relatif

Quel que soit le nombre relatif a et quel que soit l’entier positif n supérieur à 1 :

$ !# … ! "

facteurs n

n

a a

a = × ×

= ¹ ( a ≠ ⁰ )

a

a

De plus,

a

= a

^a

^{= 1} ( ^{a ≠ 0} )

^a

a

an^{se lit} aexposant n.

a2se lit également a au carré.

a3se lit également a au cube.

Exemples : •

2

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2

• 3,2¹ =3,2 • 7⁰ =1 • ³ ₃ 4 4⁻ = 1 Application :

Calculer

5^! = 2014^! =

−6 ^! =

−6^! = (−2)^! =

2) Règles de priorités

• En l’absence de parenthèses, on calcule les puissances avant d’effectuer les autres opérations.

Exemple : 7−3²×4=7−9×4=7−36=−29 Application :

Calculer 𝐴=18−4^!×5 Calculer 𝐵=48÷2^!+4^!÷8

• En présence de parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.

Exemple : (3+5)²×(3²+5²)=8²×(9+25)=64×34=2176

Calculer A = Calculer B =

3) Puissances et calcul

Quels que soient les nombres relatifs aet bet quels que soient les nombres entiers m et n :

n m n

m

a a

a × =

m

a a

a

=

a

× b

= ( ab )

Exemples :

• 3²×3⁴ =3²⁺⁴ =3^{6 car} 3²×3⁴ =(3×3)×(3×3×3×3)=3⁶

• ₃ ^{5 3 2}

5

4 4 4

4 = ⁻ = ^car ₃ ²

5

4 4 4 4

4 4

4 4 4 4 4 4

4 = × =

×

×

×

×

×

= ×

• ₇ ^{3 7 4}

3

5 5 5

5 _{− −}

=

= ^car _{7 4} ⁴

3

5 5 1 5 5 5 5

1 5

5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

5 ₋

=

× =

×

= ×

×

×

×

×

×

×

×

= ×

• 3⁷×2⁷ =6⁷

Remarque : Ces règles ne s’appliquent pas pour des sommes ou des différences.

Application : 𝐴= ^!!×!!!

!^!×!^!! 𝐵=^(!!)!

!^!

!

"

# …

$

$ !

$

$ "

# …

zéros n à

égaux facteurs n

n

10 10 10 1 00 0

10

10

=

×

×

×

=

1 0 0 , 0 0 00 1

1 10

10 1 # " … !

!

"

# …

zéros n n

n

= = =

−

V Cas particulier : les puissances de 10

1) Ecriture décimale des puissances de 10 nest un entier supérieur ou égal à 1 :

(en n’oubliant pas la virgule après le premier 0)

10n se lit : dix « exposant » n

Exemples : !

zéros

facteurs 3

3

3 10 10 10 1000

10 =%"$× "#× = ^{et 6}

6

10 000 000 1$!#!" =

zéros

10 0,00001

5 5 #"!

zéros

− =

Par convention, 10⁰ =1

2) Produit par une puissance de 10 Exemples :

• 25,1×10⁵ =2510000 la virgule est décalée de 5 rangs vers la droite

• 25,1×10⁻⁵ =0,000251 la virgule est décalée de 5 rangs vers la gauche 3) Opérations sur les puissances de 10

a) Multiplication et division des puissances de 10 Soient met ndeux entiers relatifs.

Règles de calcul Exemples

m n m

n +

=

×10 10

10 10⁻²×10⁵ =10⁻²⁺⁵ =10³

10n 10⁶

4) Notation scientifique

Propriété : Un nombre décimal admet plusieurs écritures de la forme a×10ⁿdans laquelle adésigne un nombre décimal et nun entier relatif.

Exemples : 2540000=254×10⁴ =25,4×10⁵ =2,54×10⁶ =0,254×10⁷ 0,00138=138×10⁻⁵ =13,8×10⁻⁴ =1,38×10⁻³ =0,138×10⁻²

Définition : La notation scientifique d’un nombre décimal est l’unique forme a×10ⁿ dans laquelle le nombre apossède un seul chiffre non nul avant la virgule.

Remarque : la notation scientifique permet d’obtenir un ordre de grandeur ou des encadrements d’un nombre.

Exemple :

Soit A=123456789×987654321.

On a calculé A et on a obtenu l’écran suivant : 1,219436049×10¹⁹

• 1,2≈1 ^donc 1×10¹⁹est un ordre de grandeur de A.

• Les encadrements suivants indiquent aussi un ordre de grandeur de A :

19

19 2 10

10

1× < A< × et 10¹⁹ < A<10²⁰

Application : Puissances de 10 Donner l’écriture scientifique de :

𝐴 =3,4×10^!×0,02×10^!"

𝐵=18×10^!"

4×10^!