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I. Notion de nombres relatifs :
Les nombres connus jusqu’à présent étaient des nombres positifs.
Il existe aussi des nombres négatifs. (Introduits pour que toutes les soustractions de nombres positifs aient un résultat) Les nombres positifs et les nombres négatifs constituent les nombres relatifs.
Remarque : Les nombres relatifs qui sont des entiers sont les nombres entiers relatifs.
II. Repérage :
1) Repérer un point sur une droite graduée :
Remarque : L’origine d’une demi-droite graduée a pour abscisse .
Les nombres relatifs sont constitués de nombres positifs et de nombres négatifs.
Un nombre relatif positif s’écrit avec le signe ou sans signe.
Un nombre relatif négatif s’écrit avec le signe . est le seul nombre à la fois positif et négatif.
Deux nombres relatifs qui ne différent que par leur signe sont opposés.
Définition :
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a fixé :
Un point appelé origine de la droite graduée
Un sens
Une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine Définition :
(Déjà connu sous la notation ) est un nombre relatif positif.
est un nombre relatif négatif.
et sont des nombres opposés.
Exemple :
Le point est repéré par le nombre , on dit que l’abscisse du point est . On note Sur le même modèle, on a : ; et
Exemple :
Voici une droite graduée d’origine O.
Exemple :
Tout point d’une droite graduée est repéré par un unique nombre relatif appelé abscisse de ce point.
Propriété :
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Remarque : Sur une droite graduée, deux symétriques par rapport à l’origine ont des abscisses opposées.
2) Repérer un point dans un plan :
Remarque : Lorsque les deux droites sont perpendiculaires, on parle de repère orthogonal.
Un repère du plan est formé de deux droites graduées sécantes.
Leur point d’intersection est l’origine du repère.
Définition :
Voici un plan muni d’un repère orthogonal :
L’abscisse du point est ; l’ordonnée est . Les coordonnées du point sont donc .
L’abscisse du point est – ; l’ordonnée est – . Les coordonnées du point sont donc
Placer les points et de coordonnées respectives :
( )
Exemple :
La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre sans son signe.
Sur une droite graduée, cela correspond à la distance entre l’origine et le point qui a pour abscisse ce nombre.
Définition :
La distance à zéro du nombre est ; celle du nombre – est .
Repérer la distance à zéro du nombre sur la droite graduée de l’exemple précédent.
Exemple :
Sur la droite graduée précédente, les points et sont symétriques par rapport à l’origine donc leurs abscisses sont opposées. En effet, et – sont deux nombres opposés.
Exemple :
Deux nombres relatifs opposés sont deux nombres qui ont la même distance à zéro et des signes contraires.
Définition :
Dans un plan muni d’un repère, tout point est repéré par un couple de nombres relatifs appelé ses coordonnées.
Le premier est son abscisse et le second est son ordonnée.
Propriété :
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III. Comparaison et opérations :
1) Comparaison de deux nombres relatifs :
2) Additions de deux nombres relatifs :
3) Soustractions de deux nombres relatifs :
4) Application au calcul de distances entre deux points :
Deux nombres relatifs positifs sont rangés dans l’ordre de leur distance à zéro.
Un nombre relatif négatif est inférieur à un nombre relatif positif.
Deux nombres relatifs négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leur distance à zéro.
Propriété :
car est positif alors que – est négatif.
car (Comparaisons de nombres positifs connues en classe de 6
ème)
car (Il faut ranger les nombres dans l’ordre inverse de leur distance à zéro) Exemple :
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro.
Propriété :
On a gardé le signe commun aux deux nombres, puis on a fait l’addition.
On a pris le signe de la plus grande distance à zéro et on a fait la soustraction.
Exemple :
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.
Définition :
Exemple :
Pour calculer la distance entre deux points sur une droite graduée, on effectue la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.
Propriété :
Retour à l’exemple du II :
