E635 – Jeux d’enfants sur un grand champ de foire [*** à la main]
Solution de Michel Boulant Jeu n°1:
Soient A B et C 3 enfants disposés comme suit
A arrose B (le plus près) qui arrose C(le plus près de B). C ne peut arroser A, car si C était plus près de A que de B, A aurait arrosé C. Le plus près de C est B . A reste donc au sec. On a établi une chaîne qui ne peut se boucler. Le dernier élément ne peut se boucler sur le
premier ni aucun autre de la chaîne, sauf l‘avant dernier . L’ensemble des élèves forme donc un ensemble de chaînes dont un élément est toujours au sec, si la chaîne comporte plus de deux éléments. 2 cas particuliers:
1) il y a seulement des chaînes à deux éléments: dans ce cas, il y a 1003 chaînes, tous les enfants de ces chaînes sont arrosés, mais le 2007ème ,esseulé, reste au sec.
2) une chaîne unique de 2007 éléments: le premier élément reste au sec.
Jeu n°2:
Soit un enfant référent à un sommet du polygone; Il a à sa droite 1003 enfants, à sa gauche autant. Il suffit que chaque déplacement de 2 enfants soit symétrique par rapport au référent et converge vers lui pour qu’à la fin tous se retrouvent à son sommet .
Jeu n°3
Observation 1:
Le plus grand nombre ne peut augmenter! 32 précédé de 30 restera stable. (-16+15 et +1 pour la parité) et 32 précédé de 28 deviendra 30 (-16+14=-2)
Observation 2: le plus petit nombre augmente toujours!
2 précédé de 4 donnera 4 (-1+2 et +1 pour la parité). Un...2; 2... précédé de 4 donnera …4 ;2...
Puis ….4;4 ...
Ainsi, de ces 2 observations, il vient que, au bout d’un certain nombre d’itérations, tous les éléments sont affectés du même nombre.
