Recherche des points multiples à l'infini dans les courbes algébriques

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

P ^AINVIN

Recherche des points multiples à l’infini dans les courbes algébriques

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 3 (1864), p. 241-248

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(Mi )

RECHERCHE DES POINTS MULTIPLES A L'INFINI DANS LES COURBES ALGÉBRIQUES

(voir page 193) ; PAR M. PAINVIN.

§ IV. — Exemples,

XL — Je vais maintenant indiquer plusieurs courbes faciles à construire complètement, et présentant les di- verses particularités que je viens de signaler.

J'appliquerai aux deux premiers exemples la méthode générale que je viens de développer.

XII. — i° Soit la courbe

ou, en rendant l'équation homogène,

( i ) lyX* J23 * — X7? = O.

Les directions asymptotiques sont données par l'équa- tion

y x^% = o*

Étudions d'abord le point à l'infini I ( ^ t= o, £ = 0) : l'axe des a: est la direction asymptotique. Pour cela, cher- chons l'intersection de la courbe (1) par la droite quel- conque passant par ce point

(2) y = l*\

on a

(3) î\xH — **» — Vz* = Oj

donc une droite quelconque passant par le point (y = o,

Ann. de Mathémat., 2e série, t. III. (Juin 1864.) 1 6

z = o) ne rencontre la courbe qu'en un seul point, car le premier membre de l'équation (3) n'admet que le fac- t e u r s ; donc le point I est un point simple. Exprimons que la droite (i) est tangente : il faut faire pour cela X=o, et le premier membre de l'équation (3) est divisible par z*\ donc la droite ( 7 = 0) rencontre la courbe au point simple I en trois poinls coïncidents; le point I à l'infini est donc un point d'inflexion, la droite y = o est la tangente d'inflexion.

Etudions le point J (x = o, z = o) : l'axe des y est la direction asymptotique. Pour cela, cherchons l'intersec- tion de la courbe (1) par la droite quelconque passant par le point J

(4) \x — z = o;

on a, en remplaçant z par \ x ,

( 5 ) — l2y2x2 -h iyx? — Vx* = o ;

le premier membre de l'équation (5) est divisible par x*

quel que soit à, le point J est donc un point double. Pour que la droite (4) soit tangente, il faut annuler le coeffi- cient d e x2, ce qui donne X2= o ; ainsi, au point double J, les deux tangentes proprement dites se confondent avec la droite z = o; donc le point J est un point de rebrousse- ment > la tangente de rebroussement est la droite à l'infini parallèle à la direction asymptotique. Lorsqu'on fait A = o, le premier membre de l'équation (5) devient divi- sible par x% et seulement par x*\ c'est donc un rebrous- sement de première espèce.

XIII. — 20 Soit la courbe

ou, en rendant l'équation homogène,

Les directions asymptotiques sont données par l'équa tion

On a donc la seule direction asymptotiquejy = o, c'est- à-dire l'axe des x\ le point à l'infini correspondant I est (y = o, z = o). Cherchons l'intersection de la courbe (i) par une droite quelconque passant par ce point

(2) ly—z = o.

(Je prends ici, comme dans le second cas de la courbe précédente, ly — z = o au lieu de y — lz = o ; c'est qu'en prenant cette seconde forme on est conduit à une valeur infinie pour X; la première forme est alors plus commode pour la discussion, et on pourra constater, dans l'étude des autres courbes, Futilité de cette remarque.)

Cherchons l'intersection de la cfroite (2) avec la courbe (1), on a

(3) — v«7-a — \y8 + js = o.

Le premier membre de l'équation (3) est divisible par jy% quel que soit X-, le point I est donc un point double. Pour que la droite (2) soit tangente, il faut annu- ler le coefficient dej^², ce qui conduit à X² = o ; ainsi, au point double I, les deux tangentes proprement dites se confondent avec la droite z = o \ le point I est donc un point de rebrous sèment: la tangente de rebroussement est la droite à l'infini, parallèle à la direction asymptotique.

Lorsqu'on fait X = o, le premier membre de l'équation (3) est et ne peut être divisible que parj>'3, c'est un rebrous- sement de première espèce»

XIV. — Exemples.

( I ) 2 y x^% — y² —- x = o.

Un point d'inflexion à l'infini, la direction asymptotiquc 16.

( 244 )

est l'axe des a:, la tangente d'inflexion est Taxe des x.

Un point double à l'infini, dont les deux tangentes se con~

fondent avec la droite à l'infini, c'est-à-dire un point de rebroussement dont la tangente est la droite à l'infini pa- rallèle à la direction asymptotique ; la direction asympto- tiqtie est l'axe des y. Courbe de neuvième classe.

(II) J3 —jr'—.r=O.

Un point double à l'infini, dont les deux tangentes se con- fondent avec la droite à l'infini, c'est-à-dire un point de rebroussement dont la tangente est la droite à l'infini pa- rallèle à la direction asymptotique, laquelle est l'axe des a:.

Courbede troisième classe.

(III) xz—2.r

Un point d'inflexion à l'infini, la tangente d'inflexion est la droite à l'infini parallèle à la direction asymptotique, laquelle est l'axe des y. Point double à l'origine. Courbe de quatrième classe.

(IV) ^ 2 ^ 2 - ^ = 0.

Un point d'inflexion à l'infini, la direction asymptotique est l'axe des jy. Un point double à l'infini, la direction asymptotique est l'axe des x. Courbe de quatrième classe.

( V ) ar'

La droite à l'infini est une tangente double, les directions asymptotiques sont Taxe des x et l'axe des y. Un point triple à l'origine dont les trois tangentes se confondent, une seule branche est réelle. Courbe de quatrième classe.

(vi) *7j2{y - ^ - ( x + j l ^ o .

La droite à l'infini est une tangente triple, les directions

asyinptotiques sont Taxe des #, Taxe des j " , et la bissec- trice des axes. L'origine est un point quintuple dont les cinq tangentes se confondent, une seule branche est réelle. Courbe de sixième classe.

(VII)

Un point double à l'infini, dont les asymptotes sont à des distances finies et réelles, la direction asymptotique est la deuxième bissectrice des axes. Un point simple à l'infini, la direction asymptotique est Taxe des y. Courbe de quatrième classe.

(vin)

Un point de rebroussement à l'infini^ la direction asymp- totique est la deuxième bissectrice des axes. Un point simple à l'infini, la direction asymptotique est l'axe des y.

Courbe de troisième classe.

= o.

Un point double isolé à l'infini, la direction asymptotique est la deuxième bissectrice des axes. Un point simple à l'infini, la direction asymplotique est l'axe desy. Courbe de quatrième classe.

{A.) y yx ij {x o) — î .

Un point triple à l'infini, dont fait partie un point de re- broussement isolé, la direction asymptotique est l'axe des y. Un point de rebroussement réel à l'infini, Ja direction asymptotique est l'axe des x. Courbe de dixième classe.

(XI) y*—xy+x=o.

Un point double à l'infini, dont une des tangentes est la droite à l'infini parallèle à la direction asymptotique, laquelle est l'axe des x. Courbe de quatrième classe.

(

(XII) •** — ix¹

Point simple à l'infini, la tangente est la droite à l'infini parallèle à la direction asymptotique \ cette tangente a avec la courbe, en ce point, un contact du troisième ordre; la direction asymptotique est l'axe des y. Un point triple à l'origine. Courbe de sixième classe.

(xiii) (•

Les deux points circulaires à l'infini (points imaginaires) sont des points doubles de la courbe. L'origine est un point de rebroussement. Courbe de cinquième classe.

(XIV) ^2j3+ 3 ^2j r - f - j2 — 4 ^2= o .

Un point double isolé à l'infini, la direction asympto- tique est l'axe des y. Un point double à l'infini, la direc- tion asymptotique est l'axe des x. Un point double à l'origine. Courbede sixième classe.

(XV) .z'j'-f- 2j(x2 —j2) 4- & = o.

Un point simple à l'infini dont la tangente est la droite à l'infini parallèle à la direction asymptotique, laquelle est Taxe desy. Un point de rebroussement isolé à l'infini, la direction asymptotique est Taxe des x. Un point de rebroussement à l'origine. La courbe est de sixième classe.

(XVI) xy>+ 2xy{x-{-7.y) -+- (x — 2j)2^= o.

Deux points de rebroussement à l'infini, les directions asymptotiques sont l'axe des x et l'axe des y. Un point de rebroussement à l'origine. Courbe de troisième classe.

(XVII) ,r/3— 7 H - i = o.

Un point triple à l'infini dont les trois tangentes se con- fondent, une seule branche est réelle} la direction asymp-

( M7 )

totique est l'axe desa:. Un point d'inflexion à l'infini ayant pour tangente l'axe des y. Courbe de quatrième classe.

(XVIII) j'-f- 3 j4 — 2 j ^ ~ **•+-1 = o.

Un point triple à l'infini dont deux tangentes coïncident avec la droite à l'infini parallèle à la direction asympto- tique, laquelle est l'axe des x\ les tangentes au point triple ont avec la courbe un contact du second ordre.

Courbe de treizième classe.

(XIX) œ> j< — ix* y* + I5 - I = O.

Un point septuple à l'infini dont les sept tangentes coïn- cident avec Taxe desj^, le contact est du quatrième ordre ; une seule branche est réelle. Un point quadruple à l'infini, dont les quatre tangentes coïncident avec l'axe des x\ le contact est du deuxième ordre. La courbe est de la quarante-septième classe.

(XX) ^ 3J3 ^ ,r /,4.I = o.

Deux points triples dont les trois tangentes se confondent, les directions asymptotiques sont Taxe des y\ suivant l'axe des y, le contact est du troisième ordre; suivant l'axe des .r, le contact est aussi du troisième ordre \ une seule branche est réelle. Courbe de quatorzième classe.

XV. — L'importance de la recherche des points mul- tiples à l'infini est incontestable. Cette étude permet, en effet, de voir plus nettement la manière dont la courbe se dirige vers l'infini, et de construire avec plus de sûreté les branches paraboliques, pour lesquelles l'asymptote est transportée à l'infini, mais parallèlement à une di- rection déterminée5 elle est surtout indispensable pour reconnaître la cause de la diminution de la classe pour la courbe, car cette diminution tient à la présence des points multiples, situés tant à l'infini qu'à distance finie.

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On verra aussi, par les exemples que j'ai cités, la ma- nière dont les branches de la courbe sont disposées par rapport à l'asymptote, suivant que le point à l'infini cor- respondant est ou un point simple ordinaire, ou un point simple d'inflexion, ou un point double, ou un point de rebroussement, etc.

Je donnerai bientôt l'étude des points à l'infini sur les surfaces; cette recherche présente un grand intérêt, et rattache à des idées générales les notions partielles qu'on donne, dans les cours, sur les cônes asymptotes des sur- faces du second ordre.