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Quelques résultats sur les systèmes dynamiques gaussiens réels

Thierry de la Rue

To cite this version:

Thierry de la Rue. Quelques résultats sur les systèmes dynamiques gaussiens réels. Probabilités [math.PR]. Université de Rouen, France, 1994. Français. �tel-01546012�

QUELQUES R´ ESULTATS SUR LES

SYST` EMES DYNAMIQUES GAUSSIENS R ´ EELS

Th`ese pr´esent´ee `a l’universit´e de Rouen

par

Thierry de la Rue

pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´ E DE ROUEN

Sp´ecialit´e : Math´ematiques–Probabilit´es

soutenue le 22 juin 1994 devant le jury compos´e de :

Monsieur ClaudeDellacherie . . . Pr´esident Monsieur MariuszLemanczyk . . . Rapporteur Monsieur Jean-PaulThouvenot . . . Rapporteur Monsieur Emmanuel Lesigne . . . Examinateur Monsieur Jos´e deSam Lazaro . . . Examinateur Monsieur Jean-MarieStrelcyn . . . Examinateur

Je commence par une pens´ee ´emue pour mes professeurs et amis de l’ ´Ecole Normale Sup´erieure, qui m’ont fait faire mes premiers pas dans le monde des probabilit´es. M’´eloigner d’eux pour retouner en terre normande fut un choix d´elicat, que je n’eus pas `a regretter par la suite.

Parce qu’il m’a accueilli chaleureusement dans le DEA qu’il dirigeait `a l’´epoque, et pour avoir accept´e ensuite d’encadrer cette th`ese, je voudrais expri- mer ici toute ma reconnaissance `a Jos´e de Sam Lazaro, ainsi qu’`a Jean-Marie Strelcyn qui, le premier, m’a fait d´ecouvrir les joies de la th´eorie ergodique.

Comment ne pas ´evoquer ma rencontre d´ecisive avec Jean-Paul Thouvenot : ses questions sont `a l’origine de ce travail, et l’int´erˆet constant qu’il a port´e `a mes recherches fut pour moi le meilleur encouragement. Qu’il soit ici vivement remerci´e, ainsi que tous les participants au s´eminaire de th´eorie ergodique de Paris 6 aupr`es desquels j’ai pass´e des moments fort enrichissants.

Ces remerciements s’adressent ´egalement `a Mariusz Lemanczyk, pour l’hon- neur qu’il m’a fait en rapportant mon travail, ainsi qu’`a Emmanuel Lesigne, que je suis fier de compter au nombre des membres de mon jury.

Je n’oublie pas bien sˆur tous les membres du Laboratoire d’Analyse et Mod`eles Stochastiques de Rouen, `a commencer par Claude Dellacherie et G´erard Grancher, pour la formidable convivialit´e qui r`egne entre professeurs et docto- rants. Je r´eserve une pens´ee particuli`ere pour Jean Calbrix (sans qui je ne saurais toujours pas ce qu’est un espace de Lebesgue), Lucien Verney (`a qui je dois une jolie d´emonstration), Philippe Andary et Olivier Benois (pour leur aide TEXnique), R´egine Debeurre, Sylvie Patenere et Marc Jolly (pour leur disponiblilit´e et leur gentillesse).

Quant `a Isabelle, je n’ai qu’un souhait : partager toujours avec elle les bonheurs et les doutes de la vie d’un math´ematicien. . .

Sommaire

Introduction . . . 1

Bibliographie . . . 7

Chapitre I. Entropie d’un syst`eme dynamique gaussien . . . 11

I.1. Cas d’une mesure spectrale absolument continue . . . 13

I.2. G´en´eralisation au cas d’une action de ^d . . . 16

R´ef´erences . . . 16

Chapitre II. Mouvement moyen et syst`eme dynamique gaussien 19 II.1. Le mouvement moyen classique . . . 21

II.2. Une transformation de la trajectoire brownienne . . . . 22

II.3. Insertion de T dans un flot et mouvement moyen . . . . 28

R´ef´erences . . . 32

Chapitre III. Syst`emes dynamiques gaussiens d’entropie nulle, lˆachement et non lˆachement Bernoulli . . . 33

III.1. Introduction et notations . . . 35

III.2. Un gaussien d’entropie nulle non lˆachement Bernoulli . 39 III.3. Un gaussien-Kronecker lˆachement Bernoulli . . . 50

R´ef´erences . . . 61

Introduction

Le travail pr´esent´e ici concerne certains syst`emes dynamiques de la forme (Ω,A, µ, T), o`u (Ω,A, µ) est un espace de Lebesgue, et T une transformation mesurable de Ω, qui pr´eserve la mesure de probabilit´e µ : pour tout A ∈ A, µ(T⁻¹A) =µ(A). On supposera toujours T bijective, et grˆace aux bonnes pro- pri´et´es des espaces de Lebesgue, il est `a noter qu’alorsT⁻¹est aussi mesurable.

De tels syst`emes se construisent naturellement en th´eorie des probabilit´es `a partir d’un processus stationnaire (Xp)p∈ : si on note E l’espace dans lequel les variables al´eatoiresX_p prennent leurs valeurs, on pose Ω =E , sur lequelµ est la loi du processus ;Aest la tribu engendr´ee par les projections sur chaque coordonn´ee (not´ees encoreXp, p∈ ) compl´et´ee pourµ, et T est le d´ecalage : pour tout ω= (x_p)_p∈ dans Ω, l’image deω parT est la suite d´ecal´ee (x_p⁰)_p∈ , o`u pour toutp,x<sub>p</sub><sup>0</sup> =x<sub>p+1</sub>. Le cas o`u les variablesX_p sont ind´ependantes est bien connu, le syst`eme dynamique obtenu est alors nomm´ed´ecalage de Bernoulli.

Syst`emes dynamiques gaussiens

On appelle syst`eme dynamique gaussien (r´eel) le syst`eme obtenu lorsque le processus stationnaire (X_p) est gaussien r´eel centr´e. La loi de ce processus, et donc toutes les propri´et´es du syst`eme dynamique gaussien, d´epend alors uniquement des covariances

c_p ^d´ef= [X₀X_p] (p∈ ),

que l’on peut ´ecrire grˆace au th´eor`eme de Bochner-Herglotz-Khinchin sous la forme

c_p = Z _π

−π

e^iptdγ(t), (1)

o`u γ est une mesure finie positive et sym´etrique sur [−π, π[, appel´ee mesure spectrale du syst`eme. Inversement, une telle mesure γ ´etant donn´ee, on peut toujours construire sur la loi µ d’un processus gaussien stationnaire, dont les covariances sont donn´ees par la formule (1).

On peut aussi donner une d´efinition plus g´en´erale d’un syst`eme dynamique gaussien, et c’est celle-ci que nous retiendrons par la suite :

Le syst`eme dynamique (Ω,A, µ, T) est appel´e syst`eme dyna- mique gaussien de mesure spectrale γ si on peut trouver un pro- cessus gaussien r´eel centr´e (X_p)_p∈ v´erifiant :

– Xp =X0◦T^p pour tout p∈ ,

– la plus petite tribu rendant mesurables tous les X_p co¨ıncide avecA,

– [XpXq] =^R₋^π_πe^i(p−q)tdγ(t).

En fait, cette d´efinition signifie simplement que (Ω,A, µ, T) est isomorphe au syst`eme gaussien “canonique” construit sur `a partir de la mesure spectraleγ.

Propri´et´es spectrales et entropie

Pour tout syst`eme dynamique (Ω,A, µ, T), on d´efinit un op´erateur unitaire U_T sur l’espace L²(µ) par

∀f ∈L²(µ), U_T(f)^d´ef= f◦T.

3

Dans le cas d’un syst`eme dynamique gaussien, on sait d´ecomposerL<sup>2</sup>(µ) en une somme dechaos de Wiener(voir [1] ou [16]), sur lesquels on connaˆıt relativement bien l’action de l’op´erateur U<sub>T</sub>. Ceci permet de relier des propri´et´es spectrales de T comme l’ergodicit´e ou le m´elange `a des conditions simples sur la mesure spectrale γ. Ainsi,T est ergodique si et seulement si γ est diffuse, c’est `a dire γ({t}) = 0 pour tout t (et dans ce cas, T est mˆeme faiblement m´elangeante), et T est fortement m´elangeante si et seulement si les coefficients de Fourrier cp

de γ tendent vers 0 quand|p| −→+∞.

L’entropie d’un syst`eme dynamique gaussien se calcule aussi facilement `a partir de sa mesure spectrale : elle ne peut valoir que 0 ou +∞, suivant respecti- vement queγ est ou n’est pas singuli`ere par rapport `a la mesure de Lebesgueλ.

Bien qu’il soit d´ej`a ´enonc´e en 1966 ([5]), on ne connaissait de ce r´esultat qu’une d´emonstration partielle, dans le cas o`u la mesure spectrale est singuli`ere par rapport `a λ. Le but du chapitre 1 est de compl´eter cette d´emonstration en

´etablissant que si γ est absolument continue par rapport `a λ, alors l’entropie est effectivement infinie. De plus, on remarque que ce r´esultat se g´en´eralise `a une action de ^d(d ∈ ^∗), c’est `a dire au syst`eme dynamique construit `a partir d’un processus gaussien stationnaire (X<sub>p</sub>)<sub>p∈</sub> d. (Il y a cette fois dtransformations `a consid´erer, qui sont les d´ecalages dans les d directions possibles.)

De ce calcul de l’entropie et du fameux th´eor`eme d’Ornstein ([19]) r´esulte alors la cons´equence remarquable suivante :

Tous les syst`emes gaussiens `a mesure spectrale absolument conti- nue par rapport `a λsont isomorphes.

En effet, le gaussien de mesure spectrale λ est un d´ecalage de Bernoulli, car les coefficients de Fourrier de λ´etant nuls pourp 6= 0, les variables al´eatoires X_p, p ∈ sont ind´ependantes. Puis, tout gaussien de mesure spectrale abso- lument continue par rapport `a λ est un facteur de ce syst`eme, donc aussi un Bernoulli. Or, deux Bernoulli de mˆeme entropie sont toujours isomorphes.

Il n’y a donc, `a isomorphisme pr`es, qu’un seul gaussien de mesure spectrale absolument continue par rapport `a λ. La partie int´eressante de l’´etude des sys- t`emes gaussiens concerne donc le cas de l’entropie nulle. On trouve notamment dans cette cat´egorie des syst`emes dynamiques aux propri´et´es ´etranges, qui sont pr´esent´es dans le paragraphe suivant.

Les gaussiens-Kronecker et la question du rang

Rappelons qu’une partieKdu cercle unit´eS¹, identifi´e `a l’intervalle [−π, π[, est appel´ee ensemble de Kronecker si toute application continue de K dans S¹ est la limite uniforme surK d’une suite d’applications de la forme

ϕ_p : t7−→e^ijpt (j_p ∈ ).

On sait construire des ensembles de Kronecker parfaits (voir [1]), et il existe donc des mesures diffuses port´ees par des ensembles de Kronecker. On appelle justement gaussien-Kronecker un syst`eme dynamique gaussien dont la mesure

ensemble de Kronecker dans [0, π[. Un ensemble de Kronecker ´etant toujours de mesure de Lebesgue nulle, un gaussien-Kronecker est toujours d’entropie nulle.

Ces syst`emes ont ´et´e introduits en 1967 par Foias et Stratila ([7]), qui leur ont d´ecouvert une inhabituelle propri´et´e de stabilit´e spectrale, partag´ee avec les syst`emes `a spectre discret :

D`es qu’un syst`eme dynamique est spectralement isomorphe `a un gaussien-Kronecker, il lui est m´etriquement isomorphe.

Autre propri´et´e peu commune des gaussiens-Kronecker : le “Weak-Closure Theo- rem” ([11]). En clair : toute transformation S qui pr´eserve µ et qui commute avecT est une limite faible de puissances deT.

Curieusement, cette propri´et´e se retrouve dans une autre famille de sys- t`emes dynamiques, qui n’ont apparemment rien `a voir avec les gaussiens : les syst`emes de rang un. Ce sont les syst`emes pour lesquels toute partie mesurable de Ω peut ˆetre approch´ee arbitrairement bien par une r´eunion finie d’atomes d’une partition de la forme

{B, T B, . . . , T^h−1B, R},

la mesure du “r´esidu” R pouvant ˆetre aussi petite que l’on veut. On trouve parmi les syst`emes de rang un les syst`emes `a spectre discret, mais on sait aussi en construire d’autres qui sont faiblement ou fortement m´elangeants.

Outre l’ergodicit´e, l’entropie nulle et le Weak-Closure Theorem, les syst`emes de rang un partagent avec les gaussiens-Kronecker la propri´et´e d’avoir spectre simple L<sup>p</sup> pour tout p ∈ [1,+∞[, c’est-`a-dire que l’on peut trouver f ∈ L^p(µ) tel que le sous-espace engendr´e par lesf◦T^k, k∈ soit dense dansL^p. Devant tant de points communs, il est alors bien naturel de se demander s’il existe des gaussiens-Kronecker de rang un. . .

L’int´erˆet d’une r´eponse `a cette question r´eside essentiellement dans le fait que la structure des facteurs d’un gaussien (Kronecker ou non) est infiniment plus riche que celle de tous les syst`emes de rang un connus jusqu’`a pr´esent. Les gaussiens sont en effet “infiniment divisibles” : pour tout intervalleI ⊂[0,1], on peut trouver un facteur BI (qui est encore un gaussien), de telle sorte que si I est la r´eunion de deux intervalles disjointsI₁etI₂, alorsBI est le produit deBI1

et BI2; de plus, B[0,1] est le syst`eme initial, et pour toute famille d´ecroissante (In)n∈ d’intervalles dont la longueur tend vers 0,^T_n∈ BInest la tribu triviale.

S. Ferenczi ([4]) a cru construire un gaussien-Kronecker de rang un, mais une erreur cruciale dans son travail fait que l’existence ou non d’un gaussien de rang un demeure un probl`eme compl`etement ouvert `a ce jour. C’est pourtant l’espoir d’une r´eponse d´efinitive `a cette question qui fut `a l’origine des chapitres 2 et 3 de cette th`ese.

Transformations de la trajectoire brownienne

Il y avait dans la construction de Ferenczi une id´ee qui m´eritait d’ˆetre d´eve- lopp´ee, car elle semblait bien adapt´ee `a l’´etude de la dynamique des gaussiens : il s’agissait de voir un syst`eme dynamique gaussien non pas comme le d´ecalage

5

sur muni d’une certaine mesure, mais comme une transformation d’un es- pace d’applications continues. Il s’av`ere que ces applications sont en fait des trajectoires browniennes planes. On peut ainsi construire les syst`emes dyna- miques gaussiens (ergodiques) sur l’espace canonique du mouvement brownien complexe, c’est-`a-dire l’espace des applications complexes continues sur [0,1], nulles en 0, muni de la mesure de Wiener.

Le d´etail de cette construction est expos´e dans le chapitre 2 ; en voici les principales ´etapes :

– Si σ est une mesure de probabilit´e sur [0, π], concentr´ee en un nombre fini de pointsα₁, . . . , α_p de masses respectivesm₁, . . . , m_p, on d´efinit une transformationTσ qui consiste `a faire tourner de l’angleα<sub>k</sub>le morceau de trajectoire correspondant `a l’intervalle de temps [t_k−1, t_k], o`u

t₀^d´ef= 0, t_k^d´ef= Xk

j=1

m_j (1≤k ≤p).

– Siσ est cette fois diffuse sur [0, π], on peut trouver une suite (σ_n)_n∈ de mesures atomiques qui converge suffisamment bien versσ pour que, avec probabilit´e 1, la suite de trajectoires (T_σnω) converge uniform´ement vers une trajectoire not´ee T_σω. Bien sˆur, les T_σn et T_σ pr´eservent la mesure.

On montre alors que le processus gaussien r´eel (X_p)_p∈ d´efini par X_p ^d´ef= <e(B₁◦T_σ^p) (p∈ )

est stationnaire, de mesure spectrale la mesure γ sym´etrique sur [−π, π]

construite `a partir deσ, et qu’il engendre toute la tribu bor´elienne. Ainsi, le syst`eme dynamique obtenu est un syst`eme dynamique gaussien, de mesure spectraleγ.

On peut remarquer une ´etrange ressemblance entre cette construction, et la dy- namique du mouvement des plan`etes dans le syst`eme de Ptol´em´ee, expos´ee par exemple dans [5]. Cette derni`ere situation donne lieu au calcul d’un mouvement moyen, c’est-`a-dire la limite d’une vitesse angulaire moyenne entre l’instant 0 et l’instant t. Le reste du chapitre 2 est consacr´e `a un calcul de mouvement moyen dans le cadre d’un syst`eme dynamique gaussien : la transformationT_σ peut ˆetre ins´er´ee dans un flot (T_σ^t)_t∈ , et si on ´ecrit B₁◦T_σ^t =ρ_texp(iA_t) avec t7−→A_t continue (ce qui est presque sˆurement possible), alors avec probabilit´e 1, A_t/t a une limite quandt−→+∞, qui est la moyenne de σ.

Lˆache-Bernoullicit´e

Le chapitre 3 montre que mod´eliser les syst`emes dynamiques gaussiens par une transformation de la trajectoire brownienne complexe peut permettre de mieux comprendre certaines de leurs propri´et´es. Comme on l’a d´ej`a remarqu´e, l’´etude des gaussiens `a mesure spectrale absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue ne pr´esente pas beaucoup d’int´erˆet, puisqu’ils sont tous isomorphes. En revanche, lorsque la mesure spectrale est singuli`ere par rapport

tous les gaussiens `a mesure spectrale singuli`ere ne sont pas tous isomorphes, puisqu’on sait en construire des m´elangeants, qui ne peuvent donc pas ˆetre isomorphes `a un gaussien rigide comme par exemple un gaussien-Kronecker.

Les r´esultats ´etablis dans ce chapitre 3 prouvent que l’on peut mˆeme trouver deux gaussiens d’entropie nulle non ´equivalents au sens de Kakutani.

Rappelons ici une des d´efinitions possibles de cette ´equivalence : Deux syst`emes dynamiques (Ω,A, µ, T) et (Ω⁰,A⁰, µ⁰, T⁰) sont dits ´equivalents au sens de Kakutani si on peut trouver A ∈ A et A⁰ ∈ A⁰, chacun de mesure strictement positive, tels que les trans- formations T_A et T_A⁰0 induites respectivement sur A et A⁰ parT et T⁰ soient isomorphes.

La formule d’Abramov sur l’entropie d’une transformation induite : h(T_A) = 1

µ(A)h(T)

montre que siT etT⁰sont ´equivalentes en ce sens, et sih(T) = 0, alors n´ecessai- rement h(T⁰) = 0. Mais jusqu’`a l’introduction de la “lˆache-Bernoullicit´e” par Feldman en 1976 ([3]), on ne savait pas si deux syst`emes d’entropie nulle ´etaient toujours ´equivalents. Feldman montre dans cet article que la lˆache-Bernoullicit´e (dont on donne la d´efinition dans le cas de l’entropie nulle au d´ebut du cha- pitre 3) est n´ecessaire `a un syst`eme d’entropie nulle pour ˆetre ´equivalent `a une rotation irrationnelle<sup>1</sup>. En construisant un syst`eme d’entropie nulle non lˆache- ment Bernoulli, il a donc r´epondu n´egativement `a ce probl`eme.

On construit dans le chapitre 3 deux syst`emes gaussiens `a mesure spec- trale singuli`ere par rapport `a la mesure de Lebesgue, l’un (qui est un gaussien- Kronecker) est lˆachement Bernoulli, et l’autre non. En cons´equence, ces deux syst`emes ne sont pas ´equivalents au sens de Kakutani.

Sous-jacente `a cette ´etude de la lˆache-Bernoullicit´e des gaussiens demeure la question du rang un : en effet, tout rang un ´etant lˆachement Bernoulli, l’es- poir ´etait de prouver qu’un gaussien d’entropie nulle ne pouvait jamais ˆetre lˆachement Bernoulli, ce qui aurait d´efinitivement r´egl´e le probl`eme. Mais cette conjecture se r´ev´elant fausse, et l’exemple lˆachement Bernoulli trouv´e ´etant justement un gaussien-Kronecker, la question reste plus ouverte que jamais.

Il semblerait toutefois d’apr`es les r´esultats (provisoires !) de travaux en cours que le gaussien-Kronecker lˆachement Bernoulli construit icine soit pas de rang un (ni mˆeme de rang fini). Est-il alors vraiment impossible qu’un syst`eme dyna- mique gaussien soit de rang un ? Et si tel est le cas, peut-on tout de mˆeme construire un rang un qui soit infiniment divisible ?

A suivre. . .`

Bibliographie

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1En fait, c’est mˆeme une condition suffisante : voir [7].

7

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Teubner Texte zur Mathematik.

[29] H.Weyl. Mean motion. American Journal of Mathematics, 60 : 889–896, 1938.

9

Chapitre I

Entropie d’un syst`eme dynamique gaussien ; cas d’une action de

Thierryde la Rue

Abstract

We show that the entropy of a Gaussian dynamical system is 0 or∞, according as its spectral measure is singular with respect to the Lebesgue measure or not ; then we extend this result to the case of a ^d−action.

R´esum´e

On montre ici que l’entropie d’un syst`eme dynamique gaussien est 0 ou

∞, suivant que sa mesure spectrale est ou n’est pas singuli`ere par rapport

`

a la mesure de Lebesgue ; on ´etend ensuite ce r´esultat au cas d’une action de ^d.

1 Calcul de l’entropie dans le cas d’une mesure spec- trale absolument continue par rapport ` a la mesure de Lebesgue

Soit σ une mesure finie sym´etrique sur [−π, π], et (Ω,A, µ, T) un syst`eme dynamique gaussien de mesure spectraleσ. Cela signifie qu’il existe un processus gaussien r´eel centr´e (X_p)_p∈ v´erifiant

– X_p =X₀◦T^p pour tout p∈ ,

– la plus petite tribu rendant mesurables tous les X_p co¨ıncide avec A, – E_µ[X_pX_q] =

Z _π

−πe^i(p−q)tdσ(t).

Notons λ la mesure de Lebesgue sur [−π, π]. Si σ =λ, les variables al´eatoires X_p, p ∈ , sont ind´ependantes, et il est tr`es facile alors de montrer queT est d’entropie infinie. On va en fait ´etablir le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 1.1 D`es queσ est absolument continue par rapport `aλ,T est d’en- tropie infinie.

Remarque. Dans [5], Newton et Parry attribuent ce r´esultat `a Pinsker, mais nous n’en avons trouv´e la preuve ni dans la r´ef´erence cit´ee ([6]), ni ailleurs.

Si σ et ˜σ sont deux mesures finies sym´etriques ´equivalentes sur [−π, π], deux syst`emes dynamiques gaussiens de mesures spectrales respectivesσ et ˜σ sont m´etriquement isomorphes. Pour prouver le th´eor`eme 1.1, Il suffit donc de consid´erer le cas o`u σ=σ_A, la mesure σ_A´etant d´efinie pour toutA mesurable dans [0, π] par

dσ_A dλ

d´ef= 1A+ 1₋A. 13

Dans la suite, on notera h_A l’entropie d’un syst`eme dynamique gaussien de mesure spectraleσ_A.

Lemme 1.2 Pour toutM >0, il existeθM ∈]0, π[tel que, pour toutA⊂[0, π], λ([0, π]\A) ≤ θ_M entraˆıne h_A≥M.

Preuve — Soit (Ω,A, µ, T) un syst`eme dynamique gaussien de mesure spec- trale λ, et soit (X_p)_p∈ le processus gaussien sous-jacent. ´Etant donn´eM >0, fixons n∈ tel que lnn≥M + 1, et consid´erons une partition de en n in- tervalles R₁, . . . , R_n, tels que pour tout k, µ(X₀∈R_k) = _n¹. On construit alors la partitionP ={P1, . . . , Pn} de Ω d´efinie par P_k ^d´ef= (X0 ∈R_k). Les partitions T^jP, j∈ , ´etant ind´ependantes, on a

h(P, T) =H(P) = lnn≥M+ 1.

L’espace gaussien r´eelHrengendr´e par lesX_p est isomorphe au sous-espace de L²([−π, π], λ) form´e des fonctions f v´erifiant f(−t) =f(t), chaque X_p cor- respondant `a e<sup>ip·</sup> (voir [1]). Pour A ⊂[0, π], on peut trouver Y<sub>0</sub> ∈ Hr corres- pondant `a 1_A+ 1_−A. Posons pour tout p ∈ , Y_p ^d´ef= Y₀◦T^p. (Y_p correspond

`a e<sup>ip·</sup>(1<sub>A</sub>+ 1<sub>−A</sub>).) Construisons une autre partition Q = {Q<sub>1</sub>, . . . , Q<sub>n</sub>} de Ω, d´efinie parQ<sub>k</sub><sup>d´ef</sup>= (Y<sub>0</sub> ∈R<sub>k</sub>). Le facteur de (Ω,A, µ, T) engendr´e par lesY<sub>p</sub>´etant un syst`eme dynamique gaussien de mesure spectraleσA, il suffit de montrer que h(Q, T)≥M d`es queλ([0, π]\A) est assez petit.

La distance entre les partitions P et Q est donn´ee par

|P − Q| ^d´ef= Xn

k=1

µ(P_k∆Q_k) = 2µ [n

k=1

P_k\Q_k

! .

La partition P ´etant fix´ee, on montre facilement que pour tout ε >0, il existe δ_ε >0 tel que |P − Q| ≤ δ_ε entraˆıne H(P | Q) ≤ ε. De plus, on a l’in´egalit´e

h(P, T) ≤ h(Q, T) +H(P | Q).

Ainsi, si |P − Q| ≤δ₁, on obtient h(Q, T)≥h(P, T)−1≥M. Il reste donc `a voir que|P − Q| −→0 quandλ([0, π]\A)−→0.

Pour cela, consid´erons les bornes finiesa₁, . . . , a_n−1des intervallesR₁, . . . , R_n, et posons pour touts >0

M_s ^d´ef=

n−1

[

k=1

[a_k−s, a_k+s].

Fixons ε > 0, et choisissons s assez petit pour que µ(X₀ ∈ M_s) ≤ ^ε₄. Re- marquons que Z₀ ^d´ef= X₀−Y₀ est une variable al´eatoire gaussienne centr´ee, de variance 2λ([0, π]\A). Ainsi, siλ([0, π]\A) est assez petit, on aµ(|Z₀| ≥s)≤ ^ε₄ et alors

|P − Q| = 2µ [n

k=1

P_k\Q_k

!

≤ 2µ(X₀ ∈M_s) + 2µ(|Z₀| ≥s) ≤ ε.

Lemme 1.3 SoientM etθ_M comme au lemme 1.2, etn∈ ^∗. SiAest contenu dans un intervalle de la forme ^hk_nπ,^k+1_n πⁱ, et si λ(A) ≥ _n¹(π −θ_M), alors h_A≥ ^M_n.

Preuve— Soit (Ω,A, µ, T) un syst`eme dynamique gaussien de mesure spectrale σA, et (Xp)p∈ le processus gaussien sous-jacent. On v´erifie ais´ement que pour toutq∈ , on a

E_µ[X₀X_nq] = 1 n

Z _π

−π

e^iqtdσ_B(t),

o`u B ⊂ [0, π] et λ(B) ≥π−θ<sub>M</sub>. Le facteur de (Ω,A, µ, T<sup>n</sup>) engendr´e par les (X<sub>nq</sub>)<sub>q∈</sub> ´etant un syst`eme dynamique gaussien de mesure spectrale σ_B, il est d’apr`es le lemme 1.2 d’entropie sup´erieure ou ´egale `aM. On a donch(Tⁿ)≥M, i.e.h(T)≥ ^M_n.

On peut maintenant achever la preuve du th´eor`eme 1.1. Soit A ⊂[0, π] et M >0. Pour tout n∈ , soit An l’alg`ebre des parties de [0, π] engendr´ee par les intervalles ^h₂^knπ,^k+1₂n πⁱ, k d´ecrivant {0, . . . ,2ⁿ−1}. On sait que pour tout ε >0, il existe n assez grand et A_ε ∈ An v´erifiant λ(A∆A_ε) ≤ ε. Prenons en particulier ε^d´ef= θMλ(A)

4π ≤ ^λ(A)₂ . ´Ecrivons alors A_ε =

[p

j=1

k_j

2ⁿπ,k_j+ 1 2ⁿ π

.

On a forc´ement λ(A_ε) =p₂^πn ≥ ^λ(A)₂ , d’o`up≥2^{n λ}_2π^(A). Appelons r le nombre d’entiers k_j v´erifiant

λ kj

2ⁿπ,kj+ 1 2ⁿ π

\A

> θM

2ⁿ. On a aussi r^θ₂^Mn ≤ λ(Aε\A) ≤ θMλ(A)

4π , d’o`ur ≤ 2^{n λ}_4π^(A).

Il existe donc un entierq ^d´ef= p−r ≥2^{n λ}_4π^(A), et q entiersk⁰₁, . . . , k⁰_q v´erifiant chacun

λ "

k_j⁰

2ⁿπ,k⁰_j+ 1 2ⁿ π

#

\A

!

≤ θ_M 2ⁿ. Pour toutj∈ {1, . . . , q}, posonsAj d´ef

= A∩ k⁰_j

2ⁿπ,^k

0 j+1 2ⁿ π

. D’apr`es le lemme 1.3, on ah<sub>Aj</sub> ≥ <sup>M</sup><sub>2</sub><sup>n</sup>. Mais lesA<sub>j</sub> ´etant deux `a deux disjoints, le produit deqsyst`emes dynamiques gaussiens de mesures spectrales respectives σ_A1, . . . , σ_Aq est un facteur de (Ω,A, µ, T). On a donc

h_A ≥ h_A1 +· · ·+h_Aq ≥ q

2ⁿM ≥ λ(A) 4π M.

CommeM est arbitraire, on obtient le r´esultat annonc´e.

15

2 G´ en´ eralisation au cas d’une action de

(d ≥ 1)

On consid`ere maintenant un groupeG= (T^z)_z∈ d de transformations pr´e- servant la mesure sur l’espace de Lebesgue (Ω,A, µ), telles que pour tous z, z⁰ dans ^d, T^z◦T^z0 =T^z+z0 (en particulier,G est un groupe ab´elien). Cette fois, on suppose l’existence d’un processus gaussien r´eel centr´e (X_z)_z∈ d v´erifiant

– X_z =X₀◦T^z pour tout z∈ ^d,

– la plus petite tribu rendant mesurables tous lesXz co¨ıncide avec A, – E_µ[X_zX_z⁰] =

Z

[−π,π]^d

e^i<z−z0,t>dσ(t), o`uσest une mesure finie sym´etrique sur [−π, π]<sup>d</sup>, appel´ee mesure spectrale du syst`eme.

De mˆeme que dans le cas d’une action de , on peut d´efinir l’entropie de ce syst`eme dynamique, not´ee h(G) (voir [1]). Notons λ_d la mesure de Lebesgue sur [−π, π]^d; on a alors le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 2.1 Si σ est singuli`ere par rapport `a λ_d, alors h(G) = 0. Dans le cas contraire, h(G) = +∞.

Preuve— Le soin est laiss´e au lecteur d’adapter la d´emonstration du th´eor`eme 1.1 au cas d’une action de <sup>d</sup>. Ceci ne pr´esente aucune difficult´e car toutes les pro- pri´et´es de l’entropie dont on a besoin restent valables (voir toujours [1]). Ainsi, si σ est absolument continue par rapport `a λ_d, on ah(G) = +∞.

Si σ n’est pas singuli`ere par rapport `a λ_d, on peut ´ecrire σ =σ₁+σ₂, o`u σ1 est singuli`ere et σ2 absolument continue par rapport `a λ<sub>d</sub>. On peut alors trouver un facteur de (Ω,A, µ, G) qui soit un syst`eme dynamique gaussien de mesure spectrale σ₂, et donc d’entropie infinie. Dans ce cas, on obtient bien h(G) = +∞.

Consid´erons maintenant le cas o`u σ est singuli`ere par rapport `a λ<sub>d</sub>. La d´emonstration donn´ee dans ce cas par Newton ([4]) se g´en´eralise sans probl`eme au cas d’une action de ^d: supposons par l’absurdeh(G)>0, et notonsπ(G) la tribu de Pinsker du syst`eme,i.e.le plus grand facteur d’entropie nulle. SoitH0le sous-espace deL<sup>2</sup>(µ) form´e des fonctionsπ(G)−mesurables, et H1 l’orthogonal deH0. Puisque la tribu engendr´ee par lesT<sup>z</sup>X<sub>0</sub> estAtout enti`ere,X₀ n’est pas dans H0 (autrement, on aurait h(G) = 0). On peut donc ´ecrire X₀ = Y +Z, o`u Y ∈ H0, et Z ∈ H1, Z 6= 0. Or, d’apr`es [3], G a dans H1 un spectre de Lebesgue d´enombrable, et donc la mesure spectrale de Z est absolument continue par rapport `a λ<sub>d</sub>. Mais alors la mesure spectrale σ de X<sub>0</sub>, qui est la somme des mesures spectrales respectives de Y et Z, n’est pas singuli`ere par rapport `aλ_d. La contradiction prouve queh(G) = 0.

R´ ef´ erences

[1] J.P. Conze. Entropie d’un groupe ab´elien de transformations. Z. Wahr- scheinlichkeitstheorie verw. Geb., 25 : 11–30, 1972.

[2] I.P. Cornfeld, S.V. Fomin, et Ya.G. Sinai. Ergodic Theory. Springer-

[3] B.Kami´nski. The theory of invariant partitions for ^d-actions. Bull. Acad.

Pol. Sci., Ser. Sci. Math., 29 : 349–362, 1981.

[4] D. Newton. Coalescence and spectrum of automorphisms of a lebesgue space. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 19 : 117–122, 1971.

[5] D.Newtonet W.Parry. On a factor automorphism of a normal dynamical system. Ann. Math. Statistics, 37 : 1528–1533, 1966.

[6] M.S.Pinsker. Dynamical systems with completely positive or zero entropy.

Dokl. Akad. Nauk., 133 : 1025–1026, 1960.

17

Chapitre II

Mouvement Moyen et Syst`eme Dynamique Gaussien

Thierryde la Rue

Abstract

From a given nonatomic probability measureσ on [0, π], we construct a transformationT of the complex brownian path (Bu)⁰≤u≤1. In this way we get a real gaussian dynamical system, whose spectral measure is the symetric probability on [−π, π] obtained from σ. The transformation T can be inserted in a flow (T^t)^t∈ , and the “orbits” t 7−→ Z^t =B¹◦T^t have almost surely a mean motion : if we writeZt =ρte^iAt wheret7−→At

is continuous, then with probability 1, ¹_tAt has a limit when t −→+∞, which is the mean of σ.

R´esum´e

Etant donn´e une mesure de probabilit´e diffuse´ σsur [0, π], on construit une transformation T de la trajectoire brownienne complexe (Bu)0≤u≤1. On obtient ainsi un syst`eme dynamique gaussien r´eel dont la mesure spec- trale est la probabilit´e sym´etrique sur [−π, π] obtenue `a partir de σ. La transformation T peut ˆetre ins´er´ee dans un flot (T^t)t∈ , et les “orbites”

t 7−→ Zt d´ef

= B1◦T^t ont presque sˆurement un mouvement moyen : si on note Zt=ρte^iAt o`ut7−→At est continue, alors avec probabilit´e 1, ¹_tAt a une limite quandt−→+∞, qui est la moyenne deσ.

1 Le mouvement moyen “classique”

La situation classique du calcul du mouvement moyen a pour origine l’´etude du mouvement des plan`etes. Dans une vision (tr`es) simplifi´ee de l’univers, on imagine n astres qui se d´eplacent dans un plan dont l’origine est la Terre.

L’astre 1 d´ecrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayona₁, `a une vitesse angulaireα<sub>1</sub>; de mani`ere g´en´erale, l’astrek+ 1 tourne autour de l’astrek `a une distancea<sub>k+1</sub> de celui-ci, et avec une vitesse angulaire α<sub>k+1</sub>. On s’int´eresse au mouvement de l’astrenpar rapport `a la Terre.

Si on rep`ere chaque point du plan par une affixe complexe, la position de l’astre n`a l’instant test

z(t) =a₁e^i(α1t+β1)+· · ·+a_ne^i(αnt+βn)

o`u les β<sub>k</sub> sont les angles rep´erant les astres les uns par rapport aux autres `a l’instant t= 0.

Pour un choix g´en´eral des a_k et des β_k, z(t) ne s’annule jamais. On peut donc ´ecrire la position `a l’instanttsous la forme

z(t) =ρ(t)e^iϕ(t)

o`u ρ(t) > 0, et t 7−→ ϕ(t) est une fonction r´eelle continue (en fait, de classe C^∞).

21

C’est Lagrange ([3]) qui pose le premier la question du mouvement moyen : ϕ(t)−ϕ(0)

t repr´esente la vitesse angulaire moyenne entre l’instant 0 et l’ins- tant t. Lagrange se demande si cette moyenne a une limite lorsque ttend vers l’infini. Le mouvement moyen, lorsqu’il existe, est alors m= lim

t→+∞

ϕ(t) t · On peut facilement calculer le mouvement moyen dans un cas simple. Remar- quons que l’astre n est toujours dans le disque de centre l’astre 1 et de rayon a₂+· · ·+a_n. Supposons donc quea₁ soit plus grand que la somme de tous les autres rayons. Dans ce cas, la diff´erence entre ϕ(t) et ϕ₁(t) ^d´ef= α₁t+β₁ n’est alors jamais plus grande que ^π₂. On a donc m=α₁.

Hartman fut le premier `a montrer l’existence du mouvement moyen dans le cas g´en´eral. Weyl a ensuite ´etabli une formule pour ce mouvement moyen, qui avait ´et´e conjectur´ee par Wintner : lorsque les α_k sont rationnellement ind´ependants, le mouvement moyen existe et vaut

m=p₁α₁+· · ·+p_nα_n

o`u les p_k sont des coefficients positifs ne d´ependant que des rayons a_k. Plus exactement, soient θ₁, . . . , θ_k−1, θ_k+1, . . . , θ_n n−1 variables al´eatoires ind´epen- dantes, de loi uniforme sur [0,2π]. p_k est alors la probabilit´e que la somme

a₁e^iθ1 +· · ·+a_k−1e^iθk−1+a_k+1e^iθk+1+· · ·+a_ne^iθn

soit de module inf´erieur `a a_k. On a de plus le r´esultat remarquable suivant : p₁+· · ·+p_n= 1.

Ainsi, m est une combinaison lin´eaire convexe des vitesses angulaires. (Cette

´egalit´e peut ˆetre obtenue en prenant tous lesα_k´egaux, auquel cas le mouvement moyen est clairement α₁; malheureusement, ce cas sort du cadre pr´ec´edent puisque lesα_kne sont pas ici rationnellement ind´ependants. . .) Bien sˆur, lorsque a₁ > a₂ +· · ·+a_n, on retrouve le r´esultat pr´ec´edent. En effet, on a alors clairement p₁ = 1, etp₂=· · ·=p_n= 0.

Intuitivement, la formule de Wintner peut se comprendre ainsi : l’astre k ne contribue au mouvement moyen que lorsqu’il est assez pr`es de la Terre pour tourner autour !

Le lecteur curieux pourra trouver tous les d´etails concernant les r´esultats de ce paragraphe dans [2], [5] et [6].

On va maintenant ´etablir l’existence d’un mouvement moyen dans une autre situation, qui peut s’interpr´eter comme la limite du cadre pr´ec´edent lorsque le nombre n de plan`etes tend vers l’infini. La courbe obtenue en reliant chaque astre k `a l’astre k + 1 ressemble alors ´etrangement `a une trajectoire brow- nienne. . .

2 Une transformation de la trajectoire brownienne

Notons (Ω,A, µ) l’espace canonique du mouvement brownien complexe issu

– Ω est l’ensemble des applications continues de [0,1] dans , qui s’annulent en u = 0. Pour ω ∈ Ω et 0 ≤ u ≤ 1, on note B_u(ω) la position de la trajectoire ω `a l’instant u.

– µ est la mesure de Wiener sur Ω.

– A est la tribu bor´elienne compl´et´ee pourµ.

Soitσ une mesure de probabilit´e sur [0, π], suppos´ee diffuse (i.e. pour tout x∈[0, π],σ({x}) = 0). Pour toutx∈[0, π], posons

f(x)^d´ef= σ([0, x]) ;

l’applicationf est alors continue et croissante de [0, π] sur [0,1].

2.1 D´ecouper, tourner et recoller

Pour tout entiern≥0, on d´efinit une transformation T_n de (Ω,A, µ) de la fa¸con suivante :

– Pour k ∈ {0, . . . ,2ⁿ−1}, on fixe un r´eel αⁿ_k appartenant `a l’intervalle J_k^nd´ef=

k

2ⁿπ,k+ 1 2ⁿ π

.

– Soitω ∈Ω : la trajectoireω est “coup´ee” en 2ⁿ morceaux, correspondant aux intervalles de tempsf(J₀ⁿ), . . . , f(J₂ⁿn−1). Le morceau correspondant

`a f(J<sub>k</sub><sup>n</sup>) est tourn´e de l’angle α<sup>n</sup><sub>k</sub>. La trajectoire Tn(ω) est obtenue en recollant bout `a bout les nouveaux morceaux.

Plus pr´ecis´ement, notons pour toutk∈ {0, . . . ,2ⁿ−1} Rⁿ_k ^d´ef= B_f(^k+1₂n π)−B_f(₂^knπ). Soitu un r´eel dans [0,1], et k tel queu∈f(J_kⁿ). On a alors

B_u◦T_n=

k−1

X

j=0

e^iαnjRⁿ_j +e^iαnkB_u−B_f(₂^knπ) .

Sous µ, (B_u◦T_n)_0≤u≤1 est encore un mouvement brownien complexe issu de z´ero, et doncTnpr´eserve la mesure µ.

De la mˆeme mani`ere, pour tout r´eel t on peut d´efinir la transformation T_n^t, obtenue en rempla¸cant l’angle αⁿ_k par tαⁿ_k. La famille (T_n^t)_t∈ est alors un groupe de transformations de Ω pr´eservantµ.

2.2 D´efinition de la transformation T Consid´erons la partie Ω₀ de Ω d´efinie par

Ω₀^d´ef= (

ω∈Ω/

2ⁿ−1

X

k=0

|R_kⁿ(ω)|² −−−−→_n→∞ 2 )

.

La mesureσ ´etant diffuse, on a sup

k

f

k+ 1 2ⁿ π

−f k

2ⁿπ

= sup

k

σ(J_kⁿ)−−−−→_n→∞ 0.

23

α²₀ α²₁

α²₂

α²₃

B0 = 0 B_f(π/4) B_f(π/2)

B_f(3π/4) B₁

B_f(π/4)◦T₂

B₁◦T₂

Fig.1 – Action deT₂ sur une trajectoire continue.

Par une propri´et´e classique du mouvement brownien¹, on a doncµ(Ω₀) = 1.

Proposition 2.1 Pour toutω∈Ω₀, la suite des trajectoires(T_n(ω))_n∈ conver- ge uniform´ement par rapport `a usur [0,1]vers une trajectoire continue et issue de z´ero, not´eeT(ω). Sousµ,(B_u◦T)_0≤u≤1 est encore un mouvement brownien, et donc T pr´eserve la mesure µ. Enfin, pour tout ω ∈Ω₀, T(ω)∈Ω₀.

Preuve— Soit u un r´eel dans [0,1], et k tel queu∈f(J_kⁿ). Pour tout x r´eel, notons [x] la partie enti`ere dex, et posonsl= [k/2]. On a alors

|B_u◦T_n+1−B_u◦T_n|

=

k−1

X

j=0

e^iαn+1j Rⁿ⁺¹_j +e^iαn+1k

B_u−B_f k 2n+1π

−

l−1

X

j=0

e^iαnjRⁿ_j −e^iαnl B_u−B_f(₂^lnπ)

≤

k−1

X

j=0

e^iαn+1j −e^iαn[j/2]

B_f j+1

2n+1π−B_f j 2n+1π

+e^iαn+1k −e^iαn[k/2]

B_u−B_f k 2n+1π

≤

k−1

X

j=0

π 2ⁿ

B_f j+1

2n+1π−B_f j 2n+1π

+ π

2ⁿ

B_u−B_f k 2n+1π

≤ s

(k+ 1) π

2ⁿ 2

vu uu t

k−1

X

j=0

B_f j+1

2n+1π−B_f j 2n+1π

2

+

B_u−B_f k 2n+1π

2

.

Or, comme la trajectoire est uniform´ement continue sur [0,1], on a pournassez grand

B_u−B_f k 2n+1π

2

≤1.

De plus, commeω ∈Ω₀, on a aussi pourn assez grand

k−1

X

j=0

B_f j+1

2n+1π−B_f j 2n+1π

2

≤3.

Ainsi, pournassez grand (“assez grand” d´ependant deω, mais pas deu), on a

|B_u◦T_n+1−B_u◦T_n| ≤ 2π 1 2^n/2,

ce qui suffit `a montrer la convergence uniforme de la suite de trajectoires (Tn(ω)). La trajectoire limiteT(ω) est forc´ement continue et issue de z´ero.

En utilisant des r´esultats classiques sur la convergence en probabilit´e des variables al´eatoires gaussiennes, on obtient imm´ediatement que (B_u◦T)_0≤u≤1

1voir par exemple [4].

25

est un processus gaussien centr´e. De plus, la convergence ayant lieu aussi dans L², on montre facilement que ce processus est encore un mouvement brownien.

Montrons enfin que pour toutω ∈Ω₀,T(ω)∈Ω₀. En utilisant la majoration obtenue ci-dessus, on trouve

2ⁿ−1

X

k=0

|Rⁿ_k◦T −Rⁿ_k◦Tn| ≤ ^X

p≥n

2π 1

2^p/2 −−−−→_n

→∞ 0.

On en d´eduit

2Xⁿ−1

k=0

|Rⁿ_k◦T|²−

2Xⁿ−1

k=0

|R_kⁿ|²

=

2ⁿ−1

X

k=0

|Rⁿ_k◦T|²−

2ⁿ−1

X

k=0

|Rⁿ_k◦T_n|²

≤ sup

k

(|R_kⁿ◦T|+|Rⁿ_k|)

2ⁿ−1

X

k=0

|Rⁿ_k◦T−Rⁿ_k◦T_n| −−−−→_n→∞ 0.

Dans la suite, on se restreindra donc `a l’espace probabilis´e (Ω₀,A, µ).

Proposition 2.2 Soitγ la mesure de probabilit´e sym´etrique sur[−π, π] d´efinie par

γ(A)^d´=^ef σ(A∩[0, π]) +σ(−A∩[0, π])

2 ·

Alors (Ω₀,A, µ, T) est un syst`eme dynamique gaussien r´eel de mesure spec- trale γ.

Preuve — Soit H1 le sous-espace gaussien de L²(µ) engendr´e par la famille (B_u)_0≤u≤1, et notons λ la mesure de Lebesgue sur [0,1]. Il existe un isomor- phisme entreH1 etL²([0,1],2λ), qui fait correspondre 11_[0,u]`aBu. De mani`ere g´en´erale, si f ∈L²([0,1],2λ), on note

Z 1 0

f(u)dB_u l’´el´ement deH1 correspon- dant.

Pour toutu∈[0,1], et toutn∈ , on a alors par d´efinition de T_n Bu◦Tn=

Z ₁

0 11_[0,u]ϕn(v)dBv = Z _u

0 ϕn(v)dBv, o`u ϕ_n(v)^d´ef=

2ⁿ−1

X

k=0

e^iαnk 11_f(Jⁿ

k)(v).

Or, on v´erifie facilement la convergence presque sˆure et dansL²(2λ) deϕ_n vers e^iψ, o`u

ψ(v)^d´ef= inf{t∈[0, π]/ σ([0, t]) =v}. On a donc

B ◦T = lim B ◦T = Z _u

e^iψ(v)dB .