3 Un syst` eme gaussien-Kronecker lˆ achement Bernoulli

Il est maintenant clair que si m_n+1 est assez grand, on a pour toutω₀6∈M_n et tout l≥1

µA(ω₀, l) ≤ η_n+1(l_nk_n+1m_n+1), i.e.(Hn+1) est v´erifi´ee.

2.5 La transformation limite T_σ

On peut donc construire comme pr´evu les transformations T_n; il ne reste plus qu’`a trouver leur limite. Soit σ l’unique mesure de probabilit´e sur [0,2π[

qui v´erifie (9) pour tout n. Alors σ est diffuse et singuli`ere par rapport `a la mesure de Lebesgue. De plus, comme T_σ v´erifie (10) pour tout n, on a

µW|^l₀ⁿ(ω, T_σ)6= W|^l₀ⁿ(ω, T_n)−−−−→_n

→+∞ 0.

A cause des propri´et´es (` Hn),T_σ ne peut donc pas ˆetre lˆachement Bernoulli.

3 Un syst` eme gaussien-Kronecker lˆ achement Bernoulli

Apr`es avoir trouv´e un exemple non lˆachement Bernoulli parmi les syst`emes dynamiques gaussiens d’entropie nulle, la question se pose de savoir si certains de ces syst`emes peuvent ˆetre lˆachement Bernoulli. La r´eponse est oui, comme on va le voir maintenant.

La construction qui va suivre ´etant totalement ind´ependante de la pr´ec´e-dente, toutes les notations introduites dans la partie 2 peuvent (et doivent !) ˆetre oubli´ees. On a besoin tout d’abord d’´etablir une propri´et´e concernant le mouvement brownien complexe.

3.1 Le module du mouvement brownien complexe fonction de certains angles form´es par la trajectoire

Lemme 3.1 SoitB une sous-tribu de A, et soit Y une variable al´eatoire com-plexe int´egrable, de module presque sˆurement non nul, et qui v´erifie

h

|Y| | B^iµ-p.s.= [Y | B],

Preuve— ´Ecrivons [Y | B] =ρe^iϕ(ϕest alorsB-mesurable), et soitY =Re^iψ. On a alors ^h|Y| | Bⁱ= [R | B], et

[Y | B] = ^hY e^−iϕ | Bⁱ

= ^hRe^i(ψ−ϕ) | Bⁱ

= ^hRcos(ψ−ϕ) | Bⁱ (car c’est r´eel !).

Finalement, on obtient ^hR1−cos(ψ−ϕ) | Bⁱ = 0, d’o`u ψ ^µ-p.s.= ϕ; ainsi, ψ= arg(Y) est bien B-mesurable.

D´efinissons maintenant la variable al´eatoire Θ, uniform´ement distribu´ee sur [0,2π[, par

Θ ^d´ef= arg B_1/2−B₁ B_1/2

! . On d´efinit aussi deux transformationsGet D de Ω par

∀t∈[0,1], B_t◦G ^d´ef= √ 2B_t/2, et B_t◦D ^d´ef= √

2B_(t+1)/2−B_1/2.

Remarquons que G et D pr´eservent la mesure µ, et que les tribus G⁻¹(A) et D⁻¹(A) sont ind´ependantes.

Notons Γ ^d´ef= {G, D}; pour tout n ∈ , Γⁿ est l’ensemble des mots de longueurnsur l’alphabet Γ. On pose aussi

Γ^{<n d´ef}= Γ⁰∪ · · · ∪Γⁿ⁻¹ (n≥1), et Γ^{∗ d´ef}= ^[

n∈

Γⁿ.

On d´efinit Θ_G^d´ef= Θ◦G, Θ_D ^d´ef= Θ◦D, puis, ayant d´efini les variables al´eatoires ΘW pour tout W ∈ Γn, on pose ΘGW d´ef

= ΘW ◦G et ΘDW d´ef

= ΘW ◦D. On obtient ainsi r´ecursivement une famille de variables al´eaoires (Θ_W)_W∈Γ^∗, Θ correspondant bien entendu au mot de longueur nulle (voir la figure 3 page 40).

Pour tout n ∈ , on note An la tribu engendr´ee par les ΘW, W ∈ Γⁿ, puis Bnd´ef

= A0∨ · · · ∨ An, etB∞

d´ef= ^W_n∈ An. Th´eor`eme 3.2 |B₁| estB∞-mesurable.

Notons R ^d´ef= |B₁|, et de la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, d´efinis-sons r´ecursivement la famille (RW)W∈Γ^∗. Pour tout n ∈ , les 2ⁿ variables R_W, W ∈Γⁿ sont ind´ependantes, de mˆeme loi que R. Si on note Fn la tribu qu’elles engendrent, on v´erifie ais´ement que pourn≥1,Fnest ind´ependante de Bn−1. De plus, comme on va le voir maintenant,|B₁|est (Bn−1∨Fn)-mesurable.

51

Si (r_W)_W∈Γ est une famille de r´eels positifs, etθ∈[0,2π], on pose -mesurable. De plus, on a aussi pour tout n≥1

Z_n(Θ_W),(R_W)=Z^d´ef= 1

√2

R_G+e^i(π−Θ)R_D.

Pour tout n≥1, notonsXn l’ensemble des familles (r_W)_W∈Γⁿ de r´eels positifs, et soit µ_n la probabilit´e surXn qui rend les 2ⁿ coordonn´ees ind´ependantes, de mˆeme loi queR. Grˆace `a l’ind´ependance de Bn−1 et Fn, la variance condition-nelle de R sachant Bn−1 s’´ecrit

V_n ^d´ef= ^hR² | Bn−1 toutes les int´egrales sont µ-p.s. finies. Posons pour toutn≥1

D_n^d´ef= [R | Bn−1]²−

[Z | Bn−1]².

On a aussi D_n ≥0 µ-p.s., et par un th´eor`eme de convergence de martingales, on obtient

On va maintenant montrer l’´egalit´e suivante, valable pour tout n≥2 :

Pour cela, ´ecrivonsV_n sous la forme

[cos(π−Θ)] = 0, l’esp´erance du troisi`eme terme est nulle. Il reste alors

[Y_n] = 1

on obtient bien l’´egalit´e (17).

Comme D_n et V_n sont µ-p.s. positifs, on en d´eduit que la suite [V_n]

n≥1

est d´ecroissante positive. Elle admet donc une limitel≥0. On a alors

En comparant ce qui pr´ec`ede avec (16), on obtient

[R | B∞] = [Z |B_∞]. 53

On peut donc appliquer le lemme 3.1 avec Z =Y et B∞=B; arg(Z) est donc B∞-mesurable. On en d´eduit par le th´eor`eme de Thal`es que le rapport R_G/R_D est aussi B∞-mesurable. Consid´erons maintenant les tribus B^G_∞ ^d´ef= G⁻¹(B∞), et B^D_∞ ^d´ef= D⁻¹(B∞). On a B∞ = B_∞^G ∨ B_∞^D ∨ A0, les trois sous-tribus ´etant ind´ependantes. On v´erifie facilement l’´egalit´e

Prenons enfin l’esp´erance conditionnelle des deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente par rapport `a la tribuG⁻¹(A) ; on obtient

est aussi B∞-mesurable.

Corollaire 3.3 Si pour tout n ≥ 0 on note Tn la tribu engendr´ee par les va-riables

Preuve — Il suffit d’´etablir le r´esultat pourn = 0. En effet, on remarque les

´egalit´es suivantes

Une r´ecurrence imm´ediate prouvera alors la propri´et´e pour tout entier n ≥0.

Posons -mesurable. Clairement, B1 = Rexp(iΦ⁰₀) est A⁰-mesurable. Puis, connaissant B₀= 0,R_G,R_D, Θ etB₁, on en d´eduit ais´ement la valeur de B_1/2, qui est donc lui aussiA⁰-mesurable. De cette fa¸con, on montre par r´ecurrence surnque pour

3.2 Construction d’une mesure σ sur [0, π[

Rappelons que des r´eels α₁, . . . , α_p sont dits rationnellement ind´ependants si toute combinaison lin´eaire de la forme^Pp_k=1n_kα_k (o`u lesn_k sont entiers) ne peut ˆetre multiple de 2π que si les n_k sont tous nuls.

La premi`ere ´etape de la construction consiste `a choisir deux r´eels α¹₀ et α¹₁ dans ]0, π[, rationnellement ind´ependants. On d´etermine ensuite un r´eelδ₁ >0, assez petit pour que les intervalles ouverts I₀¹ et I₁¹, centr´es respectivement en α¹₀ et α¹₁ et de diam`etre δ₁ soient disjoints.

A la` n-i`eme ´etape, on a ainsi obtenu 2ⁿ intervalles ouverts deux `a deux disjointsI<sub>0</sub><sup>n</sup>, . . . , I<sub>2</sub><sup>n</sup>n−1, centr´es respectivement enα<sup>n</sup><sub>0</sub>, . . . , α<sup>n</sup><sub>2</sub>n−1, et de diam`etre δ_n > 0. `A la (n+ 1)-i`eme ´etape, on choisit dans chaque intervalle I_kⁿ deux r´eelsαⁿ⁺¹_2k et αⁿ⁺¹_2k+1, de sorte `a ce queαⁿ⁺¹₀ , . . . , αⁿ⁺¹_2n+1

−1 soient rationnellement ind´ependants. (C’est toujours possible, car pour tout entier p ≥1, l’ensemble desp-uplets (α₁, . . . , α_p)∈]0, π[^p constitu´es de r´eels non rationnellement ind´e-pendants est de mesure de Lebesgue nulle.) On choisit ensuite un r´eelδ_n+1>0, assez petit pour que les intervalles ouverts I₀ⁿ⁺¹, . . . , I₂ⁿ⁺¹n+1−1, centr´es respecti-vement enαⁿ⁺¹₀ , . . . , αⁿ⁺¹₂n+1−1 et de diam`etre δ<sub>n+1</sub> soient deux `a deux disjoints, et de sorte `a ce que pour toutk ∈ {0, . . . ,2ⁿ−1}, I_2kⁿ⁺¹∪I_2k+1ⁿ⁺¹ ⊂ I_kⁿ (voir la figure 4 page 40). Pour tout entier n≥ 1, on note σn la probabilit´e sur [0, π[

d´efinie par

∀k ∈ {0, . . . ,2ⁿ−1}, σn({αⁿ_k}) = 2⁻ⁿ,

et on pose T_n ^d´ef= T_σn. On appelle enfin σ l’unique mesure de probabilit´e sur [0, π[ qui v´erifie

∀n≥1, ∀k ∈ {0, . . . ,2ⁿ−1}, σ(I_kⁿ) = 2⁻ⁿ.

Il est clair que si, `a chaque ´etapen, on choisitδ<sub>n</sub>suffisamment petit, alorsσ est singuli`ere par rapport `a la mesure de Lebesgue. Par ailleurs, σ est diffuse, et donc d’apr`es le th´eor`eme 1.2, (Ω,A, µ, T<sub>σ</sub>) est un syst`eme dynamique gaussien r´eel d’entropie nulle. La suite est consacr´ee `a la preuve du th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 3.4 Si, `a chaque ´etape n, on choisit δ_n assez petit, alors T_σ est lˆachement Bernoulli.

3.3 Lˆache-Bernoullicit´e de T_σ

SiP ={Pu, u∈ U} et Q ={Qu, u∈ U} sont deux partitions finies de Ω, on d´efinit une distance entreP et Q par

|P − Q| ^d´ef= ^X

u∈U

µ(P_u∆Q_u).

Fixons-nous une suite strictement d´ecroissante (εp)p≥1 de r´eels tendant vers 0.

Fixons aussi une famille d´enombrable (B_p)_p≥1 de parties de Ω, qui engendre la tribuA. Pour toutp≥1, notonsP(B₁, . . . , B_p) la partition finie de Ω engendr´ee par B₁, . . . , B_p. On va construire par r´ecurrence une suite (n_p)_p≥1 d’entiers,

55

strictement croissante. Posons pour commencer n₁ = 1 ; puis, connaissant n_p, on choisit n_p+1 assez grand pour que, si on note

Gp d´ef

on puisse trouver une partition finie Qp, Gp-mesurable, v´erifiant

|P(B₁, . . . , B_p)− Qp| ≤ 1 2ε_p.

L’existence de np+1 est assur´ee grˆace au corollaire 3.3. Rappelons alors que pour tout p ≥ 1, Gp est engendr´ee par les variables Φⁿ_k^p (0 ≤ k ≤ 2^np −1) et Θ_W (W ∈ Γ^np∪ · · · ∪Γ^np+1−1). Remarquons que pour tout n ≥ 0 et tout W ∈Γⁿ, on peut trouver unk ∈ {0, . . . ,2ⁿ−1}tel que Θ_W ≡Φⁿ⁺¹_2k+1−Φⁿ⁺¹_2k [2π].

Gp est donc engendr´ee par les variables Φⁿ_k^p (0 ≤k≤2^np−1) et

∆ⁿ_k ^d´ef= Φⁿ_2k+1−Φⁿ_2k (n_p+ 1≤n≤n_p+1, 0≤k≤2ⁿ⁻¹−1),

toutes ces variables ´etant uniform´ement distribu´ees dans le tore = /2π , que l’on peut toujours identifier `a l’intervalle [0,2π[.

Pour tout entierr≥1 et toute variable al´eatoire Φ uniform´ement distribu´ee sur [0,2π[, on considre la partition de Ω

P(Φ, r) ^d´ef= {P₁(Φ, r), . . . , P_r(Φ, r)},

Comme Qp estGp-mesurable, il est facile de voir que si l’on choisit un entierrp

assez grand, alors on peut trouver une partitionQ⁰p moins fine que la partition Pp d´ef

Les partitions Pp, p≥1 ´etant ainsi d´efinies, on va ´etablir le r´esultat suivant.

Proposition 3.5 Si lesδ_nsont choisis assez petits, alors pour tout entierp≥1 on peut trouver un entier l_p ≥1/ε_p et un ensembleM_p de mesure µ(M_p)≤ε_p, en dehors duquel on a pour tous ω et ω⁰

fW|^l0^p(ω, T_σ,Pp), W|^l0^p ω⁰, T_σ,Pp

≤ ε_p. (18) Par construction, toute partition finie P de Ω peut ˆetre approch´ee

arbi-On d´eduit donc facilement de la proposition pr´ec´edente que T_σ est lˆachement Bernoulli si lesδ_n sont assez petits.

On va montrer le r´esultat annonc´e pourp= 1, le mˆeme raisonnement pou-vant s’appliquer par la suite `a tous les entiersp. Pour tout r´eel η >0, posons

f(η)^d´ef= 2^p2η+ 2η.

Choisissonsη₁ >0 assez petit pour que fⁿ²⁻¹(η₁)≤ ¹₂ε₁, et posons, pour tout n∈ {2, . . . , n₂}, η_n^d´ef= fⁿ⁻¹(η₁). Notons

R1 d´ef

= P(Φ¹₀, r₁)∨ P(Φ¹₁, r₁), et Rn d´ef

=

2ⁿ⁻¹−1

_

k=0

P(∆ⁿ_k, r₁) (2≤n≤n₂).

L’action de la transformationT₁sur la tribuT1 est celle d’une rotation irration-nelle d’angle (α¹₀, α¹₁) sur le tore ². Or, une rotation irrationnelle est toujours lˆachement Bernoulli. Comme la partitionR1 estT1-mesurable, on peut trouver un entier h₁ assez grand, et un ensemble E₁ de mesure µ(E₁) ≤η₁, en dehors duquel on a pour tousω et ω⁰

fW|^h0¹(ω, T₁,R), W|^h0¹ ω⁰, T₁,R

≤ η₁.

Formulons maintenant l’hypoth`ese de r´ecurrence suivante, pour 1≤n≤n₂. (Hn)—On peut trouver un entier h_n arbitrairement grand, et un ensemble E_n de mesureµ(E_n)≤η_n, en dehors duquel pour tousω et ω⁰ on a

fW|^h0ⁿ(ω, T_n,R∨ · · · ∨ Rn), W|^h0ⁿ ω⁰, T_n,R∨ · · · ∨ Rn

≤ η_n.

Soit n∈ {1, . . . , n₂−1}tel que (Hn) soit v´erifi´ee. On va montrer que si δ_n est choisi assez petit, alors (Hn+1) est aussi v´erifi´ee. D´efinissons l’´ev´enement

Dn+1 d´ef

= W|^h₀ⁿ(ω, Tn,R∨ · · · ∨ Rn)6= W|^h₀ⁿ ω⁰, Tn,R∨ · · · ∨ Rn . Grˆace au lemme 1.3, si on choisit δn assez petit, on a µ(Dn+1) ≤ ηn. Posons U ^d´ef= T_n+1^hn . L’action deU sur la tribuTn+1 est celle d’une rotation irrationnelle sur le tore ²ⁿ⁺¹. Comme _n+1 est Tn+1-mesurable, on peut trouver un entier m_n+1 assez grand, et un ensemble E_n+1⁰ de mesure µ(E_n+1⁰ ) ≤ η_n en dehors duquel on a pour tousω et ω⁰

fW|^m0ⁿ⁺¹(ω, U,Rn+), W|^m0ⁿ⁺¹ ω⁰, U,Rn+

≤η_n. (19) D´efinissons pourω∈Ω

g(ω) ^d´ef= 1 m_n+1

mn+1−1

X

k=0

11En∪Dn+1(ω).

57

On a Z

Ωg dµ=µ(E_n∪D_n+ 1)≤2η_n, et donc µg >^p2η_n ≤ ^p2η_n. Posons maintenant E_n+1 ^d´ef= E_n+1⁰ ∪ g >√

2η_n : on a bien µ(E_n+1) ≤ η_n+1. Fixonsω et ω⁰ en dehors deE_n+1; alors, de (19) et des in´egalit´es g(ω)≤√

2η_n, g(ω)≤√

2η_n, on d´eduit l’existence d’un entier r ≥ 1−η_n+ 2√

2η_nm_n+1, et de 2r entiers

0 ≤ k₁ < · · · < k_r ≤ m_n+1−1 et 0 ≤ k₁⁰ < · · · < k_r⁰ ≤ mn+1−1, tels que pour tout s∈ {1, . . . , r}

– Rn+1

U^ksω=Rn+1

U^k0sω⁰, – U^ksω 6∈E_n∪D_n+1,

– U^ks0ω⁰ 6∈E_n∪D_n+1.

Remarquons maintenant que les variables ∆ⁿ⁺¹_k sont invariantes par T_n. En cons´equence, on a aussi pour tout entier l∈ {0, . . . , h_n−1}

Rn+1

T_n^lU^ksω=Rn+1

T_n^lU^ks0ω⁰,

mais comme U^ksω et U^ks0ω⁰ sont en dehors deD_n+1, on obtient Rn+1

T_n+1^l U^ksω=Rn+1

T_n+1^l U^ks0ω⁰.

En utilisant en plus le fait queU^ksω et U^ks0ω⁰ ne sont pas dansE_n, on peut en d´eduire

fW|^h₀ⁿU^ksω, Tn+1,R∨ · · · ∨ Rn+

, W|^h₀ⁿU^ks0ω⁰, Tn+1,R∨ · · · ∨ Rn+

≤ η_n. On en conclut ais´ement que pour tous ω et ω⁰ dans Ω\En+1, on a

fW|^m0^n+1hn(ω, Tn+1,R∨ · · · ∨ Rn+), W|^m0^n+1hn ω⁰, Tn+1,R∨ · · · ∨ Rn+

≤ 2η_n+ 2^p2η_n = η_n+1. On v´erifie donc bien (Hn+1) avec hn+1 d´ef

= mn+1hn.

On a ainsi prouv´e par r´ecurrence que si l’on choisit lesδ_nassez petits, (Hn) est vraie pour tout n ∈ {1, . . . , n₂}. Posons alors l₁ ^d´ef= h_n2; comme m_n2 peut ˆetre choisi arbitrairement grand, on peut s’arranger pour quel₁≥1/ε₁. Il suffit maintenant de prendreδ_n2 assez petit pour avoir

µW|^l0¹(ω, T_n2,P)6= W|^l0¹(ω, T_σ,P) ≤ 1 2ε₁,

(toujours grˆace au lemme 1.3), et la proposition 3.5 est ´etablie pour p= 1. Le mˆeme raisonnement ´etant valable pour tout entierp, on peut ainsi obtenir une

3.4 Obtention d’un gaussien-Kronecker

Une partieK du tore est appel´eeensemble de Kroneckersi toute fonction continueϕ : K−→ est limite uniforme surK d’une suite (ϕ_p) de fonctions de la forme

ϕ_p :

( K−→

t7−→j_pt [2π], o`u lesj_p sont entiers.

On appellesyst`eme gaussien-Kroneckerun syst`eme dynamique gaussien r´eel dont la mesure spectraleγ est diffuse et concentr´ee surK∪(−K), o`uK est un ensemble de Kronecker dans [0, π[. Un ensemble de Kronecker ´etant toujours de mesure de Lebesgue nulle, les syst`emes gaussiens-Kronecker sont toujours d’entropie nulle (et ergodiques, car leur mesure spectrale est diffuse) ; mais ils poss`edent aussi quelques propri´et´es moins habituelles :

– ils ont spectre simple L^p pour tout p≥1 (voir [1] et [5]),

– ils v´erifient leWeak Closure Theorem(voir [11]),i.e.toute transformation S pr´eservantµet commutant avecT est limite faible de puissances deT : on peut trouver une suite d’entiers (j_p) telle que pour tout A∈ A,

µS⁻¹A∆T^−jpA−−−−→_p

→+∞ 0.

Curieusement, ces deux propri´et´es sont partag´ees par les syst`emes de rang un (voir [4] et [6]). De plus, les gaussiens-Kronecker ont en commun avec les syst`emes `a spectre discret (qui sont de rang un) la propri´et´e de stabilit´e spec-trale : tout syst`eme qui est specspec-tralement isomorphe `a un gaussien-Kronecker lui est en fait m´etriquement isomorphe ([1] et [2]). Il est alors bien naturel de se demander si il existe un gaussien-Kronecker qui soit de rang un. S. Ferenczi ([4]) a r´epondu affirmativement `a cette question, mais malheureusement un argument crucial manque dans sa d´emonstration.

L’exhibition d’un gaussien-Kronecker de rang un aurait quelques cons´equen-ces int´eressantes : on aurait ainsi trouv´e un syst`eme de rang un infiniment divisible ; de plus, M. Lemanczyk et S. Ferenczi s’appuient sur l’existence d’un tel syst`eme pour prouver que le rang n’est pas un invariant spectral ([4]).

Il se trouve que la transformation T_σ construite ici pourrait ˆetre un bon candidat au poste de gaussien-Kronecker de rang un. En effet, on peut voir dans [1] que le supportS=^T_n≥1^S_0≤k≤2n−1I_kⁿdeσest un ensemble de Kronecker si lesδ_n sont assez petits. On peut donc s’arranger pour queT_σ soit un gaussien-Kronecker lˆachement Bernoulli. Peut-on ainsi obtenir un syst`eme gaussien de rang un ?

Terminons enfin par une derni`ere question, qui se pose in´evitablement `a la suite des deux constructions expos´ees ici : pour quelle mesure spectrale un syst`eme dynamique gaussien d’entropie nulle est-il lˆachement Bernoulli ?

59

0 2π

0 2π

σ_n :

σn+1 :

αⁿ₁ αⁿ_pn−1

αⁿ₀

m_n+1 points z}|{

2π lnkn+1

Fig. 2 – Passage deσ_n `aσ<sub>n+1</sub> (premi`ere construction)

Θ

Θ_G

Θ_D

Θ_GG Θ_GD

Θ_DG

Θ_DD

B0= 0 B_1/8

B_1/4

B_3/8

B_1/2

B_5/8

B_3/4

B_7/8 B₁

R R_G/√

2 RD/√

2

Fig. 3 – Les angles ΘW, W ∈Γ^<3

αⁿ⁺¹_2k αⁿ_k αⁿ⁺¹_2k+1

δ_n+1

δ_n

| {z }

I_kⁿ

| {z } I_2k+1ⁿ⁺¹

Fig. 4 – Dans l’intervalleI_kⁿ (seconde construction)

R´ ef´ erences

[1] I.P. Cornfeld, S.V. Fomin, et Ya.G. Sinai. Ergodic Theory. Springer-Verlag, 1982.

[2] A.Del Junco. Transformations with discrete spectrum are stacking trans-formations. Canadian Journal of Mathematics, 28 : 836–839, 1976.

[3] J. Feldman. New K-automorphisms and a problem of Kakutani. Israel Journal of Mathematics, 24 : 16–38, 1976.

[4] S.Ferenczi. Syst`emes de rang fini. Th`ese de doctorat d’ ´Etat, Universit´e d’Aix-Marseille 2, 1990.

[5] A. Iwanik et J. De Sam Lazaro. Sur la multiplicit´e L^p d’un automor-phisme gaussien. C. R. Acad. Sci. Paris, S´erie I, 312 : 875–876, 1991.

[6] J. King. The commutant is the weak closure of the powers, for rank-1 transformations. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 6 : 363–384, 1986.

[7] D.S.Ornstein, D.J.Rudolph, et B.Weiss.Equivalence of Measure Pre-serving Transformations. Memoirs of the American Mathematical Society 262, 1982.

[8] A.Rothstein. Versik processes : First steps. Israel Journal of Mathema-tics, 36 : 205–224, 1980.

[9] T. de la Rue. Mouvement moyen et syst`eme dynamique gaussien.

[10] T. de la Rue. Entropie d’un syst`eme dynamique gaussien : Cas d’une action de ^d. C. R. Acad. Sci. Paris, S´erie I, 317 : 191–194, 1993.

[11] J.P.Thouvenot. The metrical structure of some gaussian processes. In Ergodic Theory and Related Topics II, pages 195–198, Georgenthal, 1986.

Teubner Texte zur Mathematik.

61

Abstract

The first chapter of this thesis proves that the entropy of a gaussian dyna-mical system is zero or infinite, according as its spectral measure is singular or not with respect to the Lebesgue measure. This result is extended to the case of a multidimensional action.

In the second chapter, we develop a new model for gaussian systems, which are viewed as a transformation of the plane brownian path. This transformation can be inserted in a flow, for which we calculate a mean motion.

This model is used in the third chapter to construct two gaussian systems of zero entropy which are not Kakutani-equivalent : one of them is not loo-sely Bernoulli, whereas the other one (a gaussian-Kronecker system) is looloo-sely Bernoulli. For this, we also need to show a property of the plane brownian mo-tion : the whole path can be recovered knowing only some angles formed by the trajectory.

Keywords :stationary gaussian process, plane brownian motion, entropy, mean motion, loose-Bernoullicity, gaussian-Kronecker.

R´esum´e

Le premier chapitre de cette th`ese ´etablit que l’entropie d’un syst`eme dyna-mique gaussien est soit nulle, soit infinie, suivant respectivement que sa mesure spectrale est singuli`ere ou non par rapport `a la mesure de Lebesgue. Ce r´esultat est ´etendu au cas d’une action multidimensionnelle.

Dans le second chapitre, on d´eveloppe un nouveau mod`ele pour les syst`emes gaussiens, qui sont vus comme une transformation de la trajectoire brownienne plane. Cette transformation peut ˆetre ins´er´ee dans un flot, pour lequel on calcule un mouvement moyen.

Ce mod`ele est utilis´e dans le troisi`eme chapitre pour construire deux syst`emes gaussiens d’entropie nulle non ´equivalents au sens de Kakutani : l’un n’est pas lˆachement Bernoulli, alors que l’autre, qui est un gaussien- Kronecker, est lˆachement Bernoulli. Pour cela, on a aussi besoin de montrer une propri´et´e du mouvement brownien plan : certains angles form´es par les accroissements du

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 57-71)